1.3 直角三角形全等的判定 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学八年级下册

1.3直角三角形全等的判定 同步练习 姓名：__________班级：__________学号：__________ 本节应掌握和应用的知识点 直角三角形全等的判定除了可以运用以前学过的 SAS、 ASA 、 AAS 、SSS 方法外,还有自己特殊的方法,即 斜边、直角边定理,其内容是：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等 ,也可简写成 HL ． 基础知识和能力拓展训练 一、选择题 如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≅△DAE的是（  ） A． AC=AE  B. BC=DE  C. ∠B=∠D    D. ∠C=∠E 下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．一锐角对应相等        B.两锐角对应相等           C.一条边对应相等        D.两条直角边对应相等 要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（   ） ①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等；  ⑥有两条边相等． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 下列说法不正确的是（   ） A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 下列说法中，正确的是（   ） A.直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B.三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2 C.以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形 D.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形 能使两个直角三角形全等的条件是（  ） A．斜边相等 B．两直角边对应相等 C．两锐角对应相等 D．一锐角对应相等 已知下列语句： ①有两个锐角相等的直角三角形全等；   ②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等； ③三个角对应相等的两个三角形全等； ④两个直角三角形全等． 其中正确语句的个数为（   ） A．0    B.1 C．2    D.3 如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（   ） A．SSS B．ASA C．SSA     D.HL 如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 二、填空题 如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”． 如图∠C=∠D=900 ， 要使△ABC≌△BAD需要添加的一个条件是________. ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有三角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； 上述判断正确的是________． 如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是________ 如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是________． ​ 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A．D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ________ 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= ________ ​ 三、解答题 如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2.求证：AD平分∠BDC。 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论． ​ 已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由． 如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ ​ 如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）求∠BFC的度数． 答案解析 一 、选择题 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】从得到的∠BAD=∠CAE，则∠BAC=∠DAE，从而在△BAC和△DAE中，有∠BAC=∠DAE，和AB=AD，所以只要根据“SAS”“ASA”“AAS”的判定定理判断即可. 解：已知∠BAD=∠CAE，则∠BAC=∠DAE，又AB=AD， 当根据“SAS”时，可添加“AC=AE”，故A能判定，故B不能判定； 当根据“ASA”时，可添加“∠B=∠D”，故C能判定； 当根据“AAS”时，可添加“∠C=∠E”，故D能判定； 故选B. 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA．HL五种，然后结合题目所给的条件进行判断即可. 解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A．C； 而B构成了AAA，不能判定全等； D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等． 故答案为：D． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可． 解：①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确； ②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误； ③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确； ④有一条直角边和一个锐角相等，可以利用AAS证明全等，正确； ⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；  ⑥有两条边相等，可以利用HL或SAS证明全等，正确； 故选B 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析即可． 解：A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确； B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确； C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误； D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确； 故选：C 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 解：A．应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故错误； B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为a，b，斜边为c则满足a2﹣b2=c2”，故错误； C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52 ， 能构成直角三角形，故错误； D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故正确． 故选D． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项B了． 解：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误． C、D选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此C、D选项错误． B选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选：B． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可． 解：①有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误； ④两个直角三角形全等，说法错误．故选：A． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】先证AO为角平分线，再根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP． 解：∵OD=OP，OD⊥AB且OP⊥AC， ∴AO为角平分线， ∴△ADO和△OPO是直角三角形， 又∵OD=OP且AO=AO ∴△AOD≌△AOP． 故选D． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD． 利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵AC=AB， ∵∠CAE=∠BAD， ∴△AEC≌△ADB； ∴CE=BD， ∵AC=AB， ∴∠CBE=∠BCD， ∵∠BEC=∠CDB=90°， ∴△BCE≌△CBD； ∴BE=CD， ∴AD=AE， ∵AO=AO， ∴△AOD≌△AOE； ∵∠DOC=∠EOB， ∴△COD≌△BOE； ∴OB=OC， ∵AB=AC， ∴CF=BF，AF⊥BC， ∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF． 共6对，故选D． 二 、填空题 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】首先根据三角形的高可得两个高所在的三角形是直角三角形，再根据由已知一组直角边和一组斜边相等，利用直角三角形的判断方法，可得两个直角三角形全等． 解： 因为BE，CD是△ABC的高，所以∠CDB=∠BEC=90°, △CDB和△BEC是直角三角形；且BD＝EC，BC=CB所以△BCD≌△CBE； 【考点】直角三角形全等的判定 解：∵∠C=∠D=90°，AB=BA， ∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定△ABC≌△BAD； 添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定△ABC≌△BAD. 故应填：AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA， 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理，针对每一个选项进行分析，可得答案． 解：①有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，错误； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确； ③有三角对应相等的两个直角三角形不一定全等，错误； ④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，正确； 故答案为：②④ 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD． 解：条件是AC=AD，∵∠C=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中 ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， 故答案为：AC=AD． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC． 解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 故填HL． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC． 解：∵MN∥PQ， AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ∴△ADE≌△BEC（HL）， ∴AE=BC， ∵AD+BC=7， ∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7． 【考点】直角三角形全等的判定，正方形的判定 【分析】作BF⊥CD交CD的延长线于点F，据条件可证得∠ABE=∠CBF，且由已知∠AEB=∠CFB=90°，AB=BC，所以△ABE≌△CBF，可得BE=BF；四边形ABCD的面积等于新正方形FBED的面积（需证明是正方形），即可得BE=3． 解：过B作BF垂直DC的延长线交于点F，∵∠ABC=∠CDA=90°，BF⊥CD， ∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC，∴∠ABE=∠CBF； 又∵BE⊥AD，BF⊥DF，且AB=BC， ∴△ABE≌△CBF，即BE=BF； ∵BE⊥AD，∠CDA=90°，BE=BF， ∴四边形BEDF为正方形； 由以上得四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9， ∴BE2=9，即BE=3． 三 、解答题 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】由∠1=∠2，根据等角对等边，可得BD=CD；在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD是公共边，根据HL定理可判定Rt△ABD≌Rt△ACD，进而得到∠ADB=∠ADC即AD平分∠BDC. 解：∵∠1=∠2∴BD=CD    ∵AD=AD ∴Rt△ABD≌Rt△ACD ∴∠ADB=∠ADC    即AD平分∠BDC 【考点】直角三角形的性质，直角三角形全等的判定 【分析】先利用HL判定△CAE≌△EBD，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可以得到线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直． 解：CE=DE，CE⊥DE，理由如下： ∵AC⊥AB，DB⊥AB， AC=BE，AE=BD， ∴△CAE≌△EBD． ∴∠CEA=∠D． ∵∠D+∠DEB=90°， ∴∠CEA+∠DEB=90°． 即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理AAS进行证明． 解：△ABC≌△ADC．理由如下： ∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90°． 在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS） 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】先由BF=EC得到BC=EF，再根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF． 证明：∵BF=EC， ∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ​ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行分析即可． 解：不正确， 因为AC不是△ABC和△ACD的对应边，故不能判定△ABC≌△ACD． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据已知条件BE=CF，由线段的和差，得到BF=CE，根据HL得到Rt△ABF≌Rt△DCE. 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， BC=CE，AB=CD， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC=BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF． 解：如图， 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC=BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ​ ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：AB=BE、BC=DE、∠ABC=∠E=90°，即可由SAS判定两个三角形全等． （2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到∠DBE=∠A，由于∠A．∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角． （1）证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠ABC=∠BED=90°， 在△ABC和△BED中， ​ ∴△ABC≌△BED（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△BED， ∴∠DBE=∠CAB， ∵∠ABC=90°， ∴∠CAB+∠ACB=90°． ∴∠DBE+∠ACB=90°． ∴在△BFC中，∠BFC=90°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$