数学（江苏镇江卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

1 2025 年中考第三次模拟考试（镇江卷） 数学·答题卡 (请用 2B 铅笔填涂) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分） 1._________________ 2．_________________ 3._________________ 4._________________ 5._________________ 6._________________ 7._________________ 8._________________ 9._________________ 10._________________ 11._________________ 12._________________ 二、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （6 分） 22.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（6 分） 24.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6 分） 26.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（11 分） 28. （11 分） ( 11 ) 2025年中考第三次模拟考试（镇江卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 ( 一、 填空题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1. _________________ 2 ． _________________ 3. _________________ 4. _________________ 5. _ ________________ 6. _________________ 7. _________________ 8. _ ________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ ) (请用2B铅笔填涂) ( 二、 选择题（本大题共6 个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、 解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （ 8 分） 20 . （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 . （ 6 分） 2 2. （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 .（ 6 分） 2 4 .（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25.（6分） 26.（8分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 27.（11分） 28. （11分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（镇江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的倒数是 ． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 3．分解因式： ． 4．如图，已知．，如果，，那么的大小是 ． 5．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ． 6．某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是 ℃． 7．反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限，点在该反比例函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 8．《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是 ． 9．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 ． 10．今年是世界反法西斯战争胜利80周年，也是中国人民抗日战争胜利80周年，某校对学生进行抗战历史知识问卷调查，在该校某年级1000名学生中，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有190名学生熟知这段历史．由此，估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有 名． 11．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 12．如图，在等边中，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是 ． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至立方米．将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（    ） A． B． C． D． 16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（10分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 21．（6分）为引导青少年爱读书、读好书、善读书，教育部开展了“读经典我思考”主题读书活动，彭励中小学校及师生在国家智慧教育读书平台上分享读经典作品，九年级王莹和张毅想要多加此次分享活动，他们都想从A：《三国演义》、B：《国家记忆》、C：《红岩》和D：《朝花夕拾》这4本书中随机挑选一本阅读． (1)王莹选择B：《国家记忆》这本书的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法、求他们两人恰好选中同一本书的概率． 22．（6分）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有名学生，八年级有名学生，九年级有名学生，七年级学生成绩达优秀等级的有，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 23．（6分）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 24．（6分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，，求的面积． 25．（6分）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 26．（8分）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 27．（11分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 28．（11分）如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 数学试题 第2页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，属于常见考题，正确得列式计算是解题的关键． 利用二次根式中被开方数非负性进行不等式计算即可． 【详解】解：二次根式有意义，则， 得． 故答案为：． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了本提公因式法分解因式，把多项式中各项的公因式提出来即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 4．如图，已知．，如果，，那么的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质可得，进而利用平角定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，则． 【详解】解：∵2和分别是一元二次方程的两根， ∴， 解得， 故答案为：4． 6．某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是 ℃． 【答案】 【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：． 7．反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限，点在该反比例函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 由反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限得随的增大而增大，又、两点的横坐标的关系为，所以，变形即可得到结论． 【详解】解：反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限， ∴在每一象限，随的增大而增大， 又、两点的横坐标的关系为， ， ， 故答案为：． 8．《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是 ． 【答案】2.6 【分析】本题考查了加权平均数的应用，根据扇形图以及权重，进行列式计算即可作答． 【详解】解：依题意，． 故答案为：2.6． 9．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答． 【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且， ∴和的位似比为，则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 10．今年是世界反法西斯战争胜利80周年，也是中国人民抗日战争胜利80周年，某校对学生进行抗战历史知识问卷调查，在该校某年级1000名学生中，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有190名学生熟知这段历史．由此，估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有 名． 【答案】 【分析】本题考查用样本估计总体，用该校全体学生人数乘以样本中熟知抗日战争的学生所占的比例求解即可． 【详解】解：估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有名 故答案为：． 11．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 12．如图，在等边中，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】上取点，使得，连接，证明得出过点作于点，过点作于点，证明垂直平分，可得关于对称，则，的最小值是的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取点，使得，连接， ∵等边中， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 过点作于点，过点作于点， ∴ ∴ ∴ ∴ 即垂直平分， ∴关于对称，则， ∴的最小值是的长， 在中，， ∴ ∵ 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，轴对称求线段和的最值问题，得出的最小值是的长，是解题的关键． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 14．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至立方米．将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于或等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”、几何体的展开图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义可得这个几何体是五棱柱，由此即可得． 【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个五棱柱， 五棱柱的展开图是 故选：C． 16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 17．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．如图，连接，交于点由菱形的性质可得，，设菱形的边长为，则，，，勾股定理求得，进而根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 由菱形的性质可得，， 设菱形的边长为，由图形为全等的含角的小菱形组成的网格， ∴，，，． ∴． 故选：B． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，轴，，，可得轴；利用，可得，得到，；利用，四边形是菱形，可得．设，则，由勾股定理可得，，可得，所以，由于为矩形，，可得点，进而得，；利用，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题主要考查了负整数指数幂，零次幂，分式的乘除混合运算． （1）根据负整数指数幂，零次幂以及有理数的乘方计算，再计算加减即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1） ；………………………………4分 （2） ．………………………………8分 20．（10分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了分式方程的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关的解法及注意事项是解答本题的关键． （1）先化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 两边同时乘以得：， ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是；………………………………5分 （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为．………………………………10分 21．（6分）为引导青少年爱读书、读好书、善读书，教育部开展了“读经典我思考”主题读书活动，彭励中小学校及师生在国家智慧教育读书平台上分享读经典作品，九年级王莹和张毅想要多加此次分享活动，他们都想从A：《三国演义》、B：《国家记忆》、C：《红岩》和D：《朝花夕拾》这4本书中随机挑选一本阅读． (1)王莹选择B：《国家记忆》这本书的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法、求他们两人恰好选中同一本书的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，其中选中《国家记忆》的有1种， ∴选中《国家记忆》的概率．………………………………3分 （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中王莹和张毅恰好选中同一本书的结果有4种， 王莹和张毅恰好选中同一本书的概率为．………………………………6分 22．（6分）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有名学生，八年级有名学生，九年级有名学生，七年级学生成绩达优秀等级的有，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)；；； (2)九年级学生的成绩更好，理由见解析； (3)共有人． 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知根据八年级学生成绩为的人数最多，所以八年级成绩的众数是，九年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知九年级的中位数为；根据九年级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出； 根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，九年级学生的众数比八年级学生的众数高，且九年级学生的方差小，说明九年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 用样本估计总体，分别求出七年级、八年级、九年级达到优秀的人数，三数之和即为该校七、八、九年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【详解】（1）解：八年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是， ； 从扇形统计图可知，九年级学生达到的人数有人， 九年级名学生竞赛成绩从大到小排列，第名和第名的成绩分别是和， 九年级名学生竞赛成绩的中位数是； 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，， ， ； 故答案为：；；；………………………………2分 （2）解：九年级学生的成绩更好， 理由如下： 两个年级的平均成绩相同，九年级学生成绩的众数和中位数都比八年级学生的高； 九年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，说明九年级学生的成绩更稳定， 九年级学生的成绩更好；………………………………4分 （3）解：八年级名学生的竞赛成绩达到优秀的人数有人，占抽查总人数的， 估计八年级学生成绩达到优秀的有人， 从扇形统计图中可知：九年级学生成绩达到优秀的占， 估计九年级学生成绩达到优秀的有人， 七年级有名学生，成绩达优秀等级的有， 七年级学生成绩达到优秀的有人， 估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． ………………………………6分 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 23．（6分）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，继而得到，根据矩形的性质得到，继而得到，进而可证明是等边三角形，即可得到，进而求得，，即可求得矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴．………………………………3分 （2）解：如图，连接， ∵，由（1）知， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即点是矩形对角线的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，，， ∴矩形的面积．………………………………6分 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 24．（6分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于的不等式 x的取值范围； （3）求出一次函数与轴交点的坐标为，由此面积和差可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，得， 点的坐标为． 将代入，得，即． 该反比例函数的表达式为；………………………………2分 （2）解：将点代入，得， 解得， 的取值范围是或；………………………………4分 （3）解：将代入，得， 点的坐标为． 由（1），（2）知，， 的面积．………………………………6分 25．（6分）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，推出，结合，可得，推出，得到，推出，得到，进而得到，由，，可推出是的直径，即可得证； （2）由（1）可知，是的直径，，得到，，设，，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，即， ，， ， 为半圆弧， 是的直径， ， 是的切线；………………………………3分 （2）解：由（1）可知，是的直径，， ，， 的半径为， ， ， 设，， 在中，，即， 解得：， ．………………………………6分 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 26．（8分）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； ………………………………4分 （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为．………………………………8分 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 27．（11分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，根据角平分线的性质定理可得点即为所求，先求出点的坐标，证出，根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得； （3）先根据二次函数与直线只有唯一一个公共点可得，，再将点代入两条直线的解析式可得，，从而可得是方程的两个实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为．………………………………2分 （2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点， ∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求， 由（1）已得：， 当时，，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ∴点的坐标为．………………………………6分 （3）解：联立得：， ∵抛物线与直线只有唯一一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式，即， 同理可得：， ∵点在直线和直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是方程，即的两个实数根， ∴．………………………………11分 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、角平分线的性质定理、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 28．（11分）如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①，，②见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到，代入a，b值并化简即可得出结论； （2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②利用①中的方法类比解答即可； （3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到的中点M，过O，M画直线即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．………………………………3分 （2）①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点；………………………………5分 ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点；………………………………7分 （3）解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， ………………………………11分 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（镇江卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 7. 8. 2.6 9. / 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13 14 15 16 17 18 C B C D B A 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解：（1） ；………………………………4分 （2） ．………………………………8分 20．（10分） 【详解】解：（1）， 两边同时乘以得：， ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是；………………………………5分 （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为．………………………………10分 21．（6分） 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，其中选中《国家记忆》的有1种， ∴选中《国家记忆》的概率．………………………………3分 （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中王莹和张毅恰好选中同一本书的结果有4种， 王莹和张毅恰好选中同一本书的概率为．………………………………6分 22．（6分） 【详解】（1）解：八年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是， ； 从扇形统计图可知，九年级学生达到的人数有人， 九年级名学生竞赛成绩从大到小排列，第名和第名的成绩分别是和， 九年级名学生竞赛成绩的中位数是； 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，， ， ； 故答案为：；；；………………………………2分 （2）解：九年级学生的成绩更好， 理由如下： 两个年级的平均成绩相同，九年级学生成绩的众数和中位数都比八年级学生的高； 九年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，说明九年级学生的成绩更稳定， 九年级学生的成绩更好；………………………………4分 （3）解：八年级名学生的竞赛成绩达到优秀的人数有人，占抽查总人数的， 估计八年级学生成绩达到优秀的有人， 从扇形统计图中可知：九年级学生成绩达到优秀的占， 估计九年级学生成绩达到优秀的有人， 七年级有名学生，成绩达优秀等级的有， 七年级学生成绩达到优秀的有人， 估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． ………………………………6分 23．（6分） 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴．………………………………3分 （2）解：如图，连接， ∵，由（1）知， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即点是矩形对角线的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，，， ∴矩形的面积．………………………………6分 24．（6分） 【详解】（1）解：将点代入，得， 点的坐标为． 将代入，得，即． 该反比例函数的表达式为；………………………………2分 （2）解：将点代入，得， 解得， 的取值范围是或；………………………………4分 （3）解：将代入，得， 点的坐标为． 由（1），（2）知，， 的面积．………………………………6分 25．（6分） 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，即， ，， ， 为半圆弧， 是的直径， ， 是的切线；………………………………3分 （2）解：由（1）可知，是的直径，， ，， 的半径为， ， ， 设，， 在中，，即， 解得：， ．………………………………6分 26．（8分） 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； ………………………………4分 （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为．………………………………8分 27．（11分） 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为．………………………………2分 （2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点， ∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求， 由（1）已得：， 当时，，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ∴点的坐标为．………………………………6分 （3）解：联立得：， ∵抛物线与直线只有唯一一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式，即， 同理可得：， ∵点在直线和直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是方程，即的两个实数根， ∴．………………………………11分 28．（11分） 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．………………………………3分 （2）①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点；………………………………5分 ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点；………………………………7分 （3）解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， ………………………………11分 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（镇江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的倒数是 ． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 3．分解因式： ． 4．如图，已知．，如果，，那么的大小是 ． 5．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ． 6．某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是 ℃． 7．反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限，点在该反比例函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 8．《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是 ． 9．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 ． 10．今年是世界反法西斯战争胜利80周年，也是中国人民抗日战争胜利80周年，某校对学生进行抗战历史知识问卷调查，在该校某年级1000名学生中，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有190名学生熟知这段历史．由此，估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有 名． 11．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 12．如图，在等边中，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是 ． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至立方米．将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（    ） A． B． C． D． 16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（10分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 21．（6分）为引导青少年爱读书、读好书、善读书，教育部开展了“读经典我思考”主题读书活动，彭励中小学校及师生在国家智慧教育读书平台上分享读经典作品，九年级王莹和张毅想要多加此次分享活动，他们都想从A：《三国演义》、B：《国家记忆》、C：《红岩》和D：《朝花夕拾》这4本书中随机挑选一本阅读． (1)王莹选择B：《国家记忆》这本书的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法、求他们两人恰好选中同一本书的概率． 22．（6分）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有名学生，八年级有名学生，九年级有名学生，七年级学生成绩达优秀等级的有，估计全校学生都参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 23．（6分）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 24．（6分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，，求的面积． 25．（6分）如图，在中，，，延长至点，连接，，为的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 26．（8分）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 27．（11分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 28．（11分）如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$