专题07 二元一次方程组的应用（12大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版2024）

专题07 二元一次方程组的应用 目录 【题型一 方案问题】 1 【题型二 行程问题】 2 【题型三 工程问题】 2 【题型四 数字问题】 3 【题型五 年龄问题】 4 【题型六 分配问题】 4 【题型七 销售、利润问题】 5 【题型八 和差倍分问题】 6 【题型九 几何问题】 6 【题型十 图标信息题】 7 【题型十一 古代问题】 8 【题型十二 其他问题】 8 【题型一 方案问题】 例题：（2025·黑龙江牡丹江·一模）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）徽州雪梨产于安徽省歙县，已有数百年的种植历史，皮薄肉厚，汁多味甜，口感细腻，还具有一定的药用价值．某果园现有一批雪梨，计划租用，两种型号的货车将雪梨运往外地销售，已知满载时，用3辆型车和2辆型车一次可运雪梨13吨；用2辆型车和3辆型车一次可运雪梨12吨．求1辆型车和1辆型车满载时一次分别运雪梨多少吨． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【题型二 行程问题】 例题：（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）甲、乙两人环绕长为400米的环形跑道散步．如果两人从同一点背道而行，那么经过2分钟相遇；如从同一点同向而行，那么经过20分钟两人相遇．若甲的速度比乙快，那么甲散步的速度是 米/分． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是 米/秒． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【题型三 工程问题】 例题：（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【题型四 数字问题】 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为7，符合条件的两位数有 个． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【题型五 年龄问题】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 2．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【题型六 分配问题】 例题：（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【题型七 销售、利润问题】 例题：（24-25八年级上·江西九江·期中）小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．则炼制A丹药与B丹药各多少颗？ 【题型八 和差倍分问题】 例题：（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．求炼制A丹药与丹药各多少颗？ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【题型九 几何问题】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【题型十 图标信息题】 例题：（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）若a、b表示非零常数，的值随x的取值而发生变化，如表，则关于x的一元一次方程的解为（   ） x 1 y 5 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）教师节来临之际，星是光花店准备推出三种花束，每束鲜花由枝鲜花包装而成，有康乃馨和水仙花，同一种鲜花每枝的价格相同．根据下表提供的信息，可求出第三束鲜花的价格是 元． 康乃馨枝数 水仙花枝数 价格/元 第一束 第二束 第三束 ？ 【题型十一 古代问题】 例题：（2025·广东中山·一模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为 ． 2．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【题型十二 其他问题】 例题：（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）2025年春晚中由张艺谋执导的《秧》节目受到了全国观众的追捧，彰显了我国在机器人技术这一领域处于世界领先地位．某科技公司分别研发出机器狗和人形机器人，并测试它们搬运物资的能力．已知1台机器狗和2台人形机器人一次可以运载物资，10台机器狗和5台人形机器人一次可以运载物资．求每台机器狗和人形机器人每次各能运载多少千克物资？ 【变式训练】 1．（2025·海南省直辖县级单位·二模）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元． 2．（2025·安徽·二模）公司开发了两款模型，分别为模型和模型．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型工作了3小时，模型工作了5小时，一共处理了550数据．已知模型每小时处理的数据量比模型少10，问模型和模型每小时分别处理多少的数据？ 一、单选题 1．（2025·山西运城·模拟预测）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025年天津市西青区中考数学一模试卷）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京·期中）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙育，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 4．（24-25九年级下·黑龙江·期中）小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 二、填空题 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组是 ． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知互补，比大，设的度数分别为，依据题意可列方程组 ． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期中）两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，这艘轮船在静水中的速度是 千米/时． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二元一次方程组的应用 目录 【题型一 方案问题】 1 【题型二 行程问题】 4 【题型三 工程问题】 5 【题型四 数字问题】 7 【题型五 年龄问题】 9 【题型六 分配问题】 10 【题型七 销售、利润问题】 12 【题型八 和差倍分问题】 13 【题型九 几何问题】 15 【题型十 图标信息题】 17 【题型十一 古代问题】 19 【题型十二 其他问题】 21 【题型一 方案问题】 例题：（2025·黑龙江牡丹江·一模）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可． 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）徽州雪梨产于安徽省歙县，已有数百年的种植历史，皮薄肉厚，汁多味甜，口感细腻，还具有一定的药用价值．某果园现有一批雪梨，计划租用，两种型号的货车将雪梨运往外地销售，已知满载时，用3辆型车和2辆型车一次可运雪梨13吨；用2辆型车和3辆型车一次可运雪梨12吨．求1辆型车和1辆型车满载时一次分别运雪梨多少吨． 【答案】3吨，2吨 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设1辆型车满载时一次运雪梨吨，1辆型车满载时一次运雪梨吨．根据题意列出方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设1辆型车满载时一次运雪梨吨，1辆型车满载时一次运雪梨吨． 根据题意，得 解得 答：1辆型车满载时一次运雪梨3吨，1辆型车满载时一次运雪梨2吨． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送、； (2)共有三种方案：方案一：租A型车1辆，B型车8辆；方案二：租A型车5辆，B型车5辆；方案三：租A型车9辆，B型车2辆； (3)租A型车1辆，B型车8辆费用最少，最少费用为890元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车8辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车5辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车2辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为890元． 【题型二 行程问题】 例题：（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）甲、乙两人环绕长为400米的环形跑道散步．如果两人从同一点背道而行，那么经过2分钟相遇；如从同一点同向而行，那么经过20分钟两人相遇．若甲的速度比乙快，那么甲散步的速度是 米/分． 【答案】110 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设甲散步的速度为x米/分，乙散步的速度为y米/分，利用相遇与追及问题建立方程组可得答案． 【详解】解：设甲散步的速度为x米/分，乙散步的速度为y米/分． 由题意，得 ， 解得 ， 故甲散步的速度是110米/分． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是 米/秒． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒，根据“如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙”列出二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒． 由题意可得：， 解得， 所以乙的速度是4米/秒． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【答案】(1)甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟 (2)甲、乙两人跑一圈各需要3分钟，6分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）由路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米， 依题意，得：， 解得：． 答：甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟； （2）解：甲跑一圈各需要（分钟）， 乙跑一圈各需要（分钟）， 【题型三 工程问题】 例题：（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 【题型四 数字问题】 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为7，符合条件的两位数有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，注意不要漏掉两位数的个位数可以为的情况．可以设两位数的十位数字是，个位数字为，根据两数之和为，分别讨论两未知数的取值即可．注意不要漏解． 【详解】设十位数字是，个位数字为，则有，根据十位数字的特点， 令分别取，，，，，，， 从而得到为，，，，，，， 即符合条件的两位数是：，，，，，，． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 【题型五 年龄问题】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 2．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【题型六 分配问题】 例题：（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 【题型七 销售、利润问题】 例题：（24-25八年级上·江西九江·期中）小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 【答案】中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元， 根据题意可知：， 解得：， 答：中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； (2)最多可以购买20副羽毛球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．则炼制A丹药与B丹药各多少颗？ 【答案】共炼制丹药5颗，炼制丹药6颗． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设炼制丹药颗，炼制丹药颗，根据题意列出二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设炼制丹药颗，炼制丹药颗． 根据题意，得 ， 解方程组，得 答：共炼制丹药5颗，炼制丹药6颗． 【题型八 和差倍分问题】 例题：（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．求炼制A丹药与丹药各多少颗？ 【答案】炼制A丹药5颗，炼制丹药6颗 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可． 【详解】解：设炼制A丹药颗，炼制丹药颗， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：共炼制A丹药5颗，炼制丹药6颗． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【题型九 几何问题】 例题：（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、邻补角的定义等知识．与互为邻补角，且比的3倍少，据此列出方程组，并解方程组即可． 【详解】解：由题意知 把②代入①，得 解得． 把代入②中，得 所以，，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ． 【答案】100 【分析】此题考查方程组的应用问题，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，并弄清小长方形的长与宽的关系．由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形宽的4倍小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， 则可列方程组， 解得， 则一个小长方形的面积， 故答案为：100． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为（平方厘米） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据图形列出方程组，解出x和y的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去8个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米， 由题意，得， 解得： ， 故阴影部分的面积为（平方厘米）． 【题型十 图标信息题】 例题：（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）若a、b表示非零常数，的值随x的取值而发生变化，如表，则关于x的一元一次方程的解为（   ） x 1 y 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确求出的值是解题的关键．根据题意，代入和到，得到关于的方程组，解出的值，再代入，即可求解． 【详解】解：代入和到，得， 解得：， 代入到，得， 解得：， 关于x的一元一次方程的解为． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键． 【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得 ， 解得， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）教师节来临之际，星是光花店准备推出三种花束，每束鲜花由枝鲜花包装而成，有康乃馨和水仙花，同一种鲜花每枝的价格相同．根据下表提供的信息，可求出第三束鲜花的价格是 元． 康乃馨枝数 水仙花枝数 价格/元 第一束 第二束 第三束 ？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键. 设枝康乃馨和水仙花的价格分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组求出的值，计算即可得到答案. 【详解】解：设枝康乃馨和水仙花的价格分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， ， 第三束鲜花的价格是元. 故答案为：17 【题型十一 古代问题】 例题：（2025·广东中山·一模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设马每匹x两，马四匹、牛六头，共价四十八两，牛每头y两，马二匹、牛五头，共价三十八两，据此列方程组即可． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选：B 【变式训练】 1．（2025·四川成都·一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金，得，根据将牛与羊互换其中一只（头），值金相同，得，即，由此即可求解． 【详解】解：今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金， ∴， 将牛与羊互换其中一只（头），值金相同， ∴，即， ∴方程组为， 故答案为： ． 2．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 【题型十二 其他问题】 例题：（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）2025年春晚中由张艺谋执导的《秧》节目受到了全国观众的追捧，彰显了我国在机器人技术这一领域处于世界领先地位．某科技公司分别研发出机器狗和人形机器人，并测试它们搬运物资的能力．已知1台机器狗和2台人形机器人一次可以运载物资，10台机器狗和5台人形机器人一次可以运载物资．求每台机器狗和人形机器人每次各能运载多少千克物资？ 【答案】每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资， 由题意得： 解得： 答：每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资 【变式训练】 1．（2025·海南省直辖县级单位·二模）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元． 【答案】购买1副乒乓球拍为28元，1副羽毛球拍为60元． 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是找对等量关系列出方程． 假设出两种球拍的单价，根据两种购买方式进行列出方程，解方程即可． 【详解】解：设购买1副乒乓球拍为元，1副羽毛球拍为元，根据题意得， 解方程组得， 所以，购买1副乒乓球拍为28元，1副羽毛球拍为60元． 2．（2025·安徽·二模）公司开发了两款模型，分别为模型和模型．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型工作了3小时，模型工作了5小时，一共处理了550数据．已知模型每小时处理的数据量比模型少10，问模型和模型每小时分别处理多少的数据？ 【答案】模型和模型每小时分别处理75、65个的数据 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设模型和模型每小时分别处理、个的数据，根据题意列出方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设模型和模型每小时分别处理、个的数据． 根据题意，得： 解，得： 答：模型和模型每小时分别处理75、65个的数据 一、单选题 1．（2025·山西运城·模拟预测）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意，找到等量关系：甲乙两种茶胎菊的和为580，甲乙两种茶枸杞的和为1180，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得方程组； 故选：C． 2．（2025年天津市西青区中考数学一模试卷）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 3．（23-24七年级下·北京·期中）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙育，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，根据当第1天、第2天的记录无误时，建立方程组求解，再进一步进行检验即可． 【详解】解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元， 当第1天、第2天的记录无误时， 依题意得：， 解得：， ∴（元）， （元）， 又∵， ∴第4天的记录有误． 故选：D． 4．（24-25九年级下·黑龙江·期中）小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由单价数量总价建立方程是关键． 【详解】解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解二元一次方程组，通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为，宽为， 由图图得出的值，再根据图，求出 的值， 即求出的值即可，将公式进行适当的变形，是得出答案的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由图得，， 即：； 由图得，， 即：； 则， 解得：， 由图得， 即阴影部分的面积为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知互补，比大，设的度数分别为，依据题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要查了列二元一次方程组，补角的性质．根据补角的性质，以及比大，列二元一次方程组即可． 【详解】解：设的度数分别为， ∵互补，比大， ∴依据题意可列方程组为． 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏南京·期中）两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得 ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，根据“甲、乙两种商品原来的单价之和为元，调价后两种商品的单价的和为元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，这艘轮船在静水中的速度是 千米/时． 【答案】17 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题． 【详解】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得 ， 解得：， 答：这艘船在静水中的速度为17千米/小时． 故答案为：17． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送、； (2)共有三种方案：方案一：租A型车1辆，B型车8辆；方案二：租A型车5辆，B型车5辆；方案三：租A型车9辆，B型车2辆； (3)租A型车1辆，B型车8辆费用最少，最少费用为890元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车8辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车5辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车2辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为890元． 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 【答案】九（1）班和九（2）班各有50、48人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可． 【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人， 由题意得：， 解得：． 答：九（1）班有50人，九（2）班有48人． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）随着长沙中考政策的调整和课间时间的延长，为了丰富孩子们的课余生活，提高孩子们体育锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳．已知盒乒乓球和根跳绳元，盒乒乓球和根跳绳共计元． (1)求盒乒乓球和根跳绳的售价分别为多少元？ (2)若吕老师计划正好用元零花钱购买以上两种体育器材，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元 (2)有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设购进盒乒乓球和根跳绳，根据题意得：，进而得到，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 盒乒乓球售价为元，根跳绳的售价为元； （2）设购进盒乒乓球和根跳绳， 根据题意得：， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，； 答：有种购买方案：①购进盒乒乓球和根跳绳；②购进盒乒乓球和根跳绳． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$