第八章整式的乘法 拔高训练2024-2025学年冀教版七年级数学下册

冀教版七年级下册第八章整式的乘法 拔高训练 1.下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A.（-x-y）（x+y） B.（2x+y）（2x-y） C.（x2-xy）（x2+xy） D.（x+y-m）（x-y-m） 2.若，则n=（ ）8个 A.8 B. 7 C. 6 D. 5 3.已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方.在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③②① 4.如图，M是AG的中点，B是AG上一点，分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF.设AB=a，BG=b，且a+b=10，ab=8，则图中阴影部分的面积为（ ） A.46 B. 59 C. 64 D. 817题图 5题图 变式 图 变式 现有甲乙两个正方形纸片，将甲乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A.3 B. 19 C. 21 D. 28 5.如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形.可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（ ） A. B. C. D.无法确定 6.诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接（重组）探究，已知纸板A与B的面积之和为52.如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积 为9.若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（ ） A.40 B. 41 6题图 C. 43 D. 45 7.已知，则的值是（ ）8题图 A.5 B.9 C. 13 D. 17 8.如图所示，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（ ） A.10 B.20 C. 30 D. 40 9.下列运算正确的是（ ） A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2 C.（-2a）3=-8a3 D.a4÷a4=a 10.将9.52变形正确的是（ ） A.9.52=92+0.52 B.9.52=（10+0.5）（10-0.5） C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 11.若k为任意整数，则（2k-3）2-4k2的值总能（ ） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被9整除 12.若，则k=（ ） A.12 B.10 C.8 D.6 13.若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ） A.-1 B.-2 C.0 D. 14.若（-3）+（-3）+（-3）+...+（-3）=（-3）5，则n的值为（ ） n个（-3） A. 5 B. 27 C. 36 D.81 15.若a为正整数，则（a·a·...·a）2+（a·a·...·a）2=（ ）a个a a个a A.a2a B.2aa C.a2+a D.2a2a 16.若33+33+33+...+33=3m（k>1，k，m都为正整数），则m的最小值为（ ） k个33 A. 3 B. 4 C. 6 D.9 17.若mn=m+3，则2mn+3m-5nm+10=_________. 18.化简：（4a+2b）（2a-b）+2b2=______. 19.已知5m=2，5n=4，求52m-n和25m+n的值. 20.有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为___________. （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形_______个. （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积. 21.已知，且m比n大3，求mn的值________. 22.如果ab=2，a+b=3，那么=________. 23.观察下列各式及其展开式： ； ； ； ；... 请你猜想的展开式中含项的系数是_________. 变式 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式. 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题： （1） 观察图②，请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系是_________________________； （2） 根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=，求（x-y）2的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式. （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_______________________________； （4）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值. 24.小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x-a）（3x+b），得到的结果为6x2-13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2-x-6. （1）式子中的a，b的值各是多少？ （2）请计算出原题的答案. 25.已知：（a+b）2=11，（a-b）2=7. 求 （1）a2+b2； （2）ab. 26.请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a>b）满足a2+b2=53，ab=14，求： ①a+b的值； ②a4-b4的值. 27.若（x2+nx+3）（x2-3x+m）的乘积中不含x2和x3项，求m，n的值. 28.阅读下列材料： 若x满足（9-x）（x-4）=4，求（4-x）2+（x-9）2的值. 设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5 ∴（4-x）2+（x-9）2=（x-4）2+（9-x）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17. 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）若x满足（5-x）（x-2）=2，求（5-x）2+（x-2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形. ①MF=____________，DF=____________；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积. 29.【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法. 【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图，若将图1中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图2所示的图形，根据两个图形中阴影部分的关系，回答下列问题. （1）写出图1所表示的数学等式：_________________________； 【解决问题】 （2）利用（1）中得到的结论，计算：若（6+x）x=7，求（6+x）2+x2的值； 【拓展应用】 （3）将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为16cm2，试求围成的长方体盒子的高. 变式 如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形. （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示） （2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积. （3）观察图2，用等式表示出（2a-b）2，ab和（2a+b）2的数量关系. 30.问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式. 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1. 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2，这就验证了两数和的完全平方公式. （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形. 则①的阴影面积表示为___________；②的阴影面积表示为___________； 由此可以得到的等式是阴影面积表示为___________. （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即2×2×2=23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形. 由此可得：13+23=32. 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）. （3）问题拓展： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+...+n3=______________（直接写出结论即可，不必写出解题过程）. 31.在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则.例如，平方差公式可以用图形①来解释.实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图②中的几何图形的面积来表示. （1）请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式_________________________； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形. 32.你能化简（x-1）（x99+x98+...+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手.然后归纳出一些方法. （1）分别化简下列各式： （x-1）（x+1）=_________； （x-1）（x2+x+1）=_________； （x-1）（x3+x2+x+1）=_________； ... （x-1）（x99+x98+...+x+1）=_________. （2）请你利用上面的结论计算：299+298+...+2+1. 变式1 已知（x3+mx+n）（x2-3x+4）的展开式中不含x3和x2项. （1）求m和n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2-mn+n2）的值. 变式2 （x+1）（x2-x+1）=x3+1； （x+3）（x2-3x+9）=x3+27； （x+6）（x2-6x+36）=x3+216； ...... （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（____________）=a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x+2y）（x2-2xy+4y2）. 33.定义：如果2m=n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m=D（n）. （1）根据D数的定义，填空：D（2）=________，D（16）=________； （2）D数有如下运算性质：D（s·t）=D（s）+D（t），D（）=D（q）-D（p），其中q>p.根据运算性质，计算： ①若D（a）=1，求D（a3）； ②若已知D（3）=2a-b，D（5）=a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）. 34.如果ac=b，那么我们规定（a，b）=c，例如：因为23=8，所以（2，8）=3. （1）根据上述规定，填空： （3，27）=________，（4，1）=________，（2，0.25）=________； （2）记（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c. 求证：a+b=c. 变式 定义：如果ax=N（a>0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x=.例如：因为72=49，所以=2；因为53=125，所以=3.则下列说法正确的个数为（ ） ①=0；②=3；③若=，则a=0；④=（x>0，y>0）. A.4 B. 3 C. 2 D. 37.阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得， ②，反过来，得， ③，反过来，得. 利用上面的材料的方法和结论计算下题： . 变式 （1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是_______________（写成平方差的形式）. （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______________（写成多项式相乘的形式）. （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式__________________. （4）利用所得公式计算：. 35.有一系列等式： 1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2， 2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2， 3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2， 4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2， ... （1） 根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果_____________. （2） 试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明. 36.（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______________（用式子表达）. （2）运用你所得到的公式，计算（a+2b-c）（a-2b-c）. 37.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a>b），连接AF、CF、AC. （1）用含a，b的代数式表示GC=__________； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2=60，又ab=20，求图中线段GC的长； （3）若a=8，△AFC的面积为S，则S=___________. 38.两个边长分别为a，b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2. （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b=10，ab=23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2=29时，求出图3中阴影部分的面积S3. 39.（2023河北21）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图①所示（a>1）.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图②和图③，其面积分别为S1，S2. （1）请用含a的式子分别表示S1，S2；当a=2时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由. 1.答案：A 2.答案：D 3.答案：D 4.答案：B 变式 答案：B 5.答案：B 6.答案：C 7.答案：C 8.答案：C 9.答案：C 10.答案：C 11.答案：B 12.答案：B 13.答案：A 14.D 15.D 16.B 17.答案：1 18.答案：8a2 19.答案（1）13；（2）7；（3）29. 20.答案：40 21.解析：∵ab=2，a+b=3， ∴ 22.解析：考查杨辉三角 ∵； ； ； ；... ∴ 倒数第三项的系数为1， 倒数第三项的系数为3=1+2， 倒数第三项的系数为6=1+2+3， ... ∵展开式有12项，其中含有的是第10项为：1+2+3+...+10=55， ∴含有项的系数为：. 变式 答案：（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab， （2）（x-y）2=（x+y）2-4xy=36-4×=14； （3）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3； （4）由（3）可知a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）， 把a+b=3，ab=1代入得：a3+b3=33-3×1×3=18， 所以=9. 本题有因式分解 26.答案：（1）a2+b2或（a+b）2-2ab； （2）a2+b2=（a+b）2-2ab； （3）∵a，b（a>b）满足a2+b2=53，ab=14， ①∴（a+b）2=a2+b2+2ab=53+2×14=81， ∴a+b=±9，又∵a>0，b>0，∴a+b=9. ②（a-b）2=a2+b2-2ab=25. ∴a-b=±5，又∵a>b>0， ∴a-b=5 ∴a4-b4=（a2+b2）（a+b）（a-b）=53×9×5=2385. 29.答案：m=6，n=3 30.答案：（1）（5-x）2+（x-2）2=5 （2）①x-1，x-3； ②阴影部分面积为28. 31.答案：（1）（a-b）2=a2-2ab+b2； （2）（6+x）2+x2=50； （3）长方体盒子的高为2cm. 42.答案：（1）S1=a2+3a+2，S2=5a+1； 当a=2时，S1+S2=4+6+2+11=23； （2）S1-S2=a2-2a+1=（a-1）2； ∵a>1 ∴（a-1）2>0， ∴S1-S2>0 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$