精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市道外区中考一模数学试题

2024-2025学年度下学期九年级升学考试调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1~10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第五名！15347000000科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 如图， 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点 距离墙， 长，则梯子长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相交于点 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11~20题，每小题3分，共计30分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 12. 将多项式因式分解的结果是_______． 13. 如图与 相切于点是 的弦，连接，若，则______°． 14. 笔简中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是_____． 15. 在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻 的取值范围是______． 16. 不等式组的整数解有______个． 17. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____度． 18. 规定一种新运算：，若，则x的值为______． 19. 如图有一个矩形纸片 中，，，将此矩形纸片沿对角线剪开后再把两个直角三角形拼成一个等腰三角形，则此等腰三角形的内切圆半径为______． 20. 如图，在中，，在或的延长线上取点，连接，再作，其中，，取中点，连接 ，则下列结论正确的是____ ，，，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数的值，其中：． 22. 图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 23. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 24. 如图1点E是正方形 内部一点，连接，作于点F， （1）求证：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中正切值为的所有角． 25. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 26. 如图1， 内接于 ，连接，的度数为度 （1）的度数为______度； （2）如图2若，，求证：四边形为菱形； （3）如图3在（2）的条件下，作直径 ，连接 ，在上取点G，连接并延长交 于点F，在 上取点E，连接，平分，，，求弦的长． 27. 如图 ，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交 轴的正半轴于点 ，， （1）______； （2）在第二象限的抛物线上取点，连接交于，连接，若点的横坐标为 ，的面积为，求与 的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围） （3）在（2）的条件下，与交于点，在第二象限取点 ，（点 不在抛物线上），再做于，连接，当，时，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级升学考试调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1~10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 3. 据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第五名！15347000000科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：15347000000科学记数法表示为 故选：D． 4. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、同底数幂相除法则，积的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点为即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点左边为． 故选：B 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 8. 如图， 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点 距离墙， 长，则梯子长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点，则可得△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点， 则，， ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 设， 则， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，找准相似三角形，理解并熟练运用相似三角形的性质是解题关键． 9. 如图，中，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线 ，与 相交于点 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知， 平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积． 【详解】解：由图2可知： 当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4， 当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面积为4×5＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11~20题，每小题3分，共计30分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≤1 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解： ∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 12. 将多项式因式分解的结果是_______． 【答案】m（m+n）（m﹣n） 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： = =m（m+n）（m﹣n）． 故答案为m（m+n）（m﹣n）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 如图 与 相切于点是 的弦，连接，若，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】该题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，连接，根据切线的性质得出，即可求出，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：连接， ∵ 与 相切于点 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 14. 笔简中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：抽到编号是3的倍数的概率是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 15. 在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解函数图形，根据图示求自变量取值范围的方法是关键． 根据函数图象，由函数值求自变量取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，电流， ∴当电路中的电流不超过时，电路中电阻 的取值范围是， 故答案为： ． 16. 不等式组的整数解有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 17. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____度． 【答案】36 【解析】 【分析】利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 18. 规定一种新运算：，若，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 19. 如图有一个矩形纸片中， ，，将此矩形纸片沿对角线 剪开后再把两个直角三角形拼成一个等腰三角形，则此等腰三角形的内切圆半径为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑：①矩形纸片的边和边重合，②矩形纸片的边和边重合，结合内切圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理即可得解． 【详解】解：矩形纸片中，，， ，， ①当矩形纸片的边和边重合时，如下图， 点为内切圆圆心， 作交于点，交于点，连接、， 此时即为重合的边和边， ，，， 内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点， ，，， 在和中， ， ， ， 同理可证，， ，， 设，则， 中有， ， 解得； ②当矩形纸片的边和边重合时，如下图， 点为内切圆圆心， 作交于点，交于点，连接、 此时即为重合的边和边， ，，， 内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点， ，，， 在和中， ， ， ， 同理可证，， ，， 设，则， 中有， ， 解得． 综上，内切圆半径为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、内切圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是关注到拼成的等腰三角形有多种情况． 20. 如图，在中，，在或的延长线上取点，连接 ，再作，其中，，取中点 ，连接，则下列结论正确的是____ ，，，连接，则的最小值为． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接 ，得到，可得，判断①错误；可得到点四点共圆，得出，故正确；可证明，得到，得出，故正确；在射线 上取点，使，连接，得到点 在的边上运动，当时，最小，得到，故④正确；即可得到答案． 【详解】解：如下图所示：连接 ， ，点 为中点， 由等腰三角形三线合一性质可知，，且 平分， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， ， 故错误； 如下图所示，与的斜边是 ， 点四点共圆， ， 故正确； 如下图所示， 由可知， ， 由可知， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ， ， 由可知，， ， ， 故正确； 如下图所示，在射线 上取点，使，连接， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点 在的边上运动， 当时，最小，如图所示： ， ， 作于， ， ，， ， ，， ， ，， 设，， 在中，，即， 在中，，即， 由①，②得，（不合题意的已舍去）， ，故④正确； 故答案为：． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数的值，其中：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律去括号，然后通分化简，接着根据特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 22. 图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 【答案】 （1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为； （2）如图2所示：四边形ABCD即为所求． 【解析】 【分析】（1）通过数格子可得到点P关于AC的对称点，再直接利用勾股定理可得到周长； （2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形. 【详解】（1）； （2）略 考点：1轴对称；2勾股定理. 23. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如图所示： （2）D （3）300人 【解析】 【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． 24. 如图1点E是正方形内部一点，连接，作于点F， （1）求证：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中正切值为的所有角． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，，结合，证明，即可证出，即可得． （2）根据周角为，，得出，连接 ，即可得，根据正方形性质和勾股定理得出，，，得出，证明，即可得，，得出，即可得，由（1）知，得出，即可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图中正切值为的角有． 理由如下： ，， ， 连接 ， ， ∵四边形为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 由（1）知， ， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴正切值的角有． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】（1）120千克，100千克 （2）480千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得， 经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． 【小问2详解】 解：设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 26. 如图1， 内接于 ，连接，的度数为度 （1）的度数为______度； （2）如图2若，，求证：四边形为菱形； （3）如图3在（2）的条件下，作直径 ，连接，在上取点G，连接 并延长交 于点F，在上取点E，连接 ，平分，，，求弦的长． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形； （3）． 【解析】 【分析】（1）在优弧 上取点 ，连接 和，利用圆周角定理定理求得的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可； （2）利用（1）的结论求得，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为菱形； （3）延长至N，，连接 ，作于H，证明，推出，，证明，设，则，，作并交 延长线于点，解，求得，得到，再解，求得，证明，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，在优弧 上取点 ，连接 和， ∵的度数为度， ∴的度数为n度， ∵四边形内接于 ， ∴度， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至N，，连接 ，作于H， ∵四边形内接于 ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 作并交 延长线于点， ∵， ∴，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 作并于点 ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27. 如图，平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 、两点，交 轴的正半轴于点，， （1）______； （2）在第二象限的抛物线上取点，连接交于 ，连接，若点的横坐标为，的面积为 ，求 与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，与 交于点 ，在第二象限取点 ，（点 不在抛物线上），再做于 ，连接，当，时，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式得出、，由得出，求出后，将点坐标代入抛物线即可得到； （2）由抛物线解析式得，作于点 ，于点，证得，由相似三角形的性质可得，求出后即可表示出，最后由即可得到 与的函数关系式； （3）延长至，使，连接，交于 ，作于，于 ，证明，由相似三角形性质求出、、，由“边角边”证明，设，证得，，再由三线合一可得，设，，设，证明，由相似三角形性质得，解得，由求得，即可得、，证得，由相似三角形性质可得、、，得出 点坐标，并求出直线的解析式，结合直线解析式和抛物线解析式即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：依题得：，， ，， ， ， 解得， ， 将点坐标代入抛物线， 得， ． 【小问2详解】 解：依题得：， 作于点 ，于点， 则， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：延长至，使，连接，交于 ，作于，于 ， 中，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设， 又， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 设，，设， ，， ， ， ， ， 即， 得，（舍）， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 解析式， 点是抛物线与直线的交点， 则， 解得，（舍）， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的相关计算、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等角对等边、三线合一定理、解一元二次方程的实际应用、一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $