第三讲 比和比例（18个重难点考点集训 共75题）小升初复习讲义-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第三讲 比和比例 （升学考向预测+知识梳理+18个考点分类真题训练 共75题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学考向预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度： 3 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：比 3 知识点梳理02：比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 5 考点分类真题汇编特训 5 重点难点考点01：比的意义 5 重点难点考点02：比的读法、写法及各部分的名称 6 重点难点考点03：比与分数、除法的关系 6 重点难点考点04：比的性质 7 重点难点考点05：求比值和化简比 7 重点难点考点06：比的应用 8 重点难点考点07：比例的意义和基本性质 10 重点难点考点08：正比例和反比例的意义 10 重点难点考点09：正比例 12 重点难点考点10：反比例 13 重点难点考点11：辨识成正比例的量与成反比例的量 13 重点难点考点12：解比例 15 重点难点考点13：比例的应用 15 重点难点考点14：按比例分配应用题 16 重点难点考点15：比例尺 17 重点难点考点16：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 19 重点难点考点17：应用比例尺画图 20 重点难点考点18：比例尺应用题 22 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 比例基本性质与化简（内项积=外项积、最简整数比转化）； 2. 按比例分配问题（如人数、成本分配，结合分数模型计算）； 3. 正反比例判断与应用（行程问题、工作效率等场景中的比例关系）； 4. 比例尺与图形缩放（含单位换算与实际距离计算）。 重点难点 • 复杂比例关系建模（如混合比例、动态变化比例问题）； • 比例与分数/百分数的综合应用（如阶梯折扣、浓度配比）； • 多变量比例推理（如甲给乙后比例变化、多对象联动问题）。 考察方向 • 生活化情境（购物优惠方案、水电阶梯计价）； • 跨知识点融合（与几何结合的比例尺，或与统计结合的分配问题）； • 逻辑推理题型（比例等式变形、反推未知数）。 预测难度： • 基础题50%（单一比例化简、正反比例判断）； • 中档题30%（两步分配问题、比例尺计算）； • 难题20%（混合比例动态分析、多变量联动推理），整体难度较2024年微升，侧重实际建模与多步逻辑转化能力。 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 重点难点考点01：比的意义 1．（2024•龙亭区校级模拟）如图是两个全等的正六边形，甲、乙分别是正六边形中的等边三角形。那么甲与乙的面积比是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•云阳县）如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，放入小球后水面的高是10cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（　　） A．3：11 B．3：5 C．3：2 D．9：7 3．（2024•交口县）“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng、shāng、jué、zhǐ、yǔ）是我国古代音乐的基本音阶。基本音阶“商”的发音管比基本音阶“徵”的发音管短，则“徵”和“商”的发音管长度比是（　　） A．3：2 B．2：3 C．4：3 D．3：4 4．（2024•南召县）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是 　 　 ．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是 　 　 dm2． 重点难点考点02：比的读法、写法及各部分的名称 5．（2024•四会市）　 　 ：2024÷　 　 ＝　 　 %＝　 　 折。 6．（2024•埇桥区）37.5%＝3÷　 　 ＝ 　 　 ：40。 7．（2024•共和县）0.3　 　 ：20＝　 　 %＝　 　 成。 重点难点考点03：比与分数、除法的关系 8．（2024•余姚市）　 　 %＝　 　 ÷40＝　 　 （填小数）＝　 　 成． 9．（2024•阿荣旗）观察如图，将阴影部分与整个图形的面积的关系，分别用分数、最简整数比、百分数表示：　 　 ＝　 　 ：　 　 ＝　 　 %。 10．（2024•隆昌市）24：　 　 ＝　 　 %　 　 ÷45＝　 　 成＝　 　 （填小数）。 11．（2024•福州）如图，手指的长度：手掌的长度＝ 　 　 （填最简整数比）＝ 　 　 （填最简分数）＝ 　 　 %。 重点难点考点04：比的性质 12．（2024•茌平区）如果，那么（A×9）：（B×9）＝（　　） A．1 B． C．1：1 D．1：81 13．（2024•保定）把5：6的后项加上24，要使比值不变，前项应该加上（　　） A．15 B．20 C．25 14．（2024•墨竹工卡县）如果把3：5的后项加上15，要使比值不变，它的前项应该（　　） A．加上15 B．乘3 C．加上6 D．加上9 15．（2024•巩义市）在横线里填上合适的数。 ①4：15＝12：　 　 ④　 　 dm3 ⑦12.9kg＝　 　 g ②2230cm＝　 　 m ⑤230公顷＝　 　 平方千米 ⑧ ③126mL＝　 　 L ⑥100分时 ⑨30.5km＝　 　 m 重点难点考点05：求比值和化简比 16．（2024•漳州）甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11：12，则甲、乙两名运动员所用的时间比（最简比）是（　　） A．11：12 B． C．12：11 D． 17．（2024•梁平区）两瓶糖水，第一瓶水有800克，糖有600克；第二瓶水有600克，糖有400克。第一瓶中，糖与糖水的最简整数比是 　 　 ；第二瓶糖水的含糖率是 　 　 ；第 　 　 瓶糖水较甜。 18．（2024•化州市）如图，甲正方形和乙正方形边长的比是 　 　 ，比值是 　 　 。 19．（2024•电白区）化简比或求比值。 （1）（化简比） （2）0.24：3.2（求比值） 20．（2024•扬州模拟）把下面的比化简． （1）27： （2）2.4：0.3 （3）：0.4 （4） 重点难点考点06：比的应用 21．（2024•余姚市）六年级某班男、女生人数的比是3：4，下列说法错误的是（　　） A．女生人数与男生人数的比是4：3。 B．女生比男生多。 C．男生占全班人数的。 D．全班人数不可能是45人。 22．（2024•江宁区模拟）“84”消毒液是一种无色或淡黄色的液体，其主要成分是次氢酸钠，有效含氨量为5.5%～6.5%，是一种高效消毒液，被广泛用于医院、宾馆、食品加工行业、家庭等的卫生消毒。红星小学的李老师要对一间教室的课桌椅、门把手和地面使用“84”消毒液进行清洁消毒。水桶中装有9.5升水，根据下面的说明，需要加入 　 　 毫升的消毒液。 “84”消毒液配比方法 教室地面、桌椅、门把手等物体表面：消毒液与水（冷水）按1：100的比进行稀释；消毒时间：30分钟；消毒方法：擦拭、喷洒、拖洗，消毒后用清水洗净。餐饮器具消毒：消毒液与水按1：80的比进行稀释，浸泡消毒20分钟，最后用清水洗净。 23． （2024•渝北区校级模拟）有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 24．（2024•厦门模拟）五星红旗是国家主权和尊严的象征，见证了中国每一次腾飞的时刻，在珠峰之巅、在南极科考站、在太空都有她的身影，她永远在每个中国人的心中高高飘扬。数学小组的同学在开展“五星红旗”主题式学习，发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究。 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC。 （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕BD交AC于点D，连接DE、DB，∠1的度数是多少？设AC＝1，BC＝x，请用含x的式子表示AE的长度。 （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比。当等腰三角形的底和腰的比等于黄金比时，这个三角形叫作黄金三角形。例如，图1中的△ABC、△BCD都是黄金三角形。根据上述结论，如果BC＝10cm，你能求出DC的长度吗？ 25．（2024•信都区）孔明灯俗称许愿灯，是一种古老的汉族手工艺品，根据热气球原理使空气受热膨胀而升空。手工艺人张师傅将总长420cm的竹篦制作成一个长方体孔明灯的框架，再将它的上面和四周用安全阻燃棉纸糊成灯罩，这个孔明灯长、宽、高的比是2：2：3。这个孔明灯的体积是多少立方厘米？（接头处忽略不计） 重点难点考点07：比例的意义和基本性质 26．（2024•雨花台区）在判断9：6和18：12能否组成比例时，如图是四位同学的判断过程，（　　）是根据比例的基本性质判断的。 A．乐乐 B．安安 C．笑笑 D．兰兰 27．（2024•柘城县）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是 　 　 ，用这四个数组成的比例是 　 　 （写出一个即可）。 28．（2024•芮城县）如果（m、n都不等于0），那么：m：n＝ 　 　 ：　 　 ， 　 　 。 29．（2024•大冶市）根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么，　 　 ：　 　 。 重点难点考点08：正比例和反比例的意义 30．（2024•泉港区）有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量有可能是（　　） A．一个人的身高与他的年龄。 B．路程一定时，行驶的速度和行驶的时间。 C．看一本书，已看的页数和未看的页数。 D．《儿童画报》的单价一定，订阅的总价和数量。 31．（2024•中牟县）如图所示图象表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成 　 　 比例关系。（填“正”或“反”） （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是 　 　 。（填“香蕉”或“苹果”） （3）买3千克苹果要用 　 　 元，20元可以买 　 　 千克香蕉。 32．（2024•迁安市）如图表示购买笔记本的数量和金额的关系。 （1）购买笔记本的数量和金额成 　 　 比例。 （2）购买30本笔记本，需要 　 　 元；480元能买 　 　 本笔记本。 33．（2024•伊川县）洛洛家新买了一辆家用小轿车，油箱可装油40升。小轿车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系如图所示。小轿车行驶2小时，用去了 　 　 升油。照这样计算，一箱油最多能连续行驶 　 　 小时。每小时耗油量与行驶的时间 　 　 。（①成正比例；②成反比例；③不成正比例，也不成反比例） 重点难点考点09：正比例 34．（2024•菏泽）如图是一个水龙头打开后出水量的变化情况。 （1）这个水龙头每分钟的出水量是 　 　 升。 （2）这个水龙头的出水量与时间成 　 　 比例关系。 （3）照这样的速度，从这个水龙头流出150升水，需要 　 　 小时。 35．（2024•江陵县）沿着直尺的方向拉橡皮筋（如图所示）。点A的位置固定不变，将橡皮筋拉长，使点C的位置到12cm处，此时点B的位置在 　 　 cm处。（橡皮筋各处均匀拉伸） 36．（2024•东方）张阿姨打字所用的时间和打字的总数如下表： 打字所用的时间/分 1 2 3 4 5 6 …… 打字的总个数/个 40 80 120 160 200 240 …… 打字的总个数随着打字的 　 　 变化，打字时间扩大2倍，总个数也 　 　 ，打字时间扩大3倍，总个数也 　 　 ……，因为打字的总个数与相对应的时间的比值都是 　 　 ，所以打字的总个数与打字的时间成 　 　 关系。 37．（2024•河北）一个机器人分拣邮包的时间和数量如下表： 分拣时间/小时 1 2 3 4 5 6 …… 分拣数量/件 150 300 450 600 750 900 …… （1）表中变化的量是分拣 　 　 和分拣 　 　 。 （2）4小时分拣 　 　 件邮包；分拣1950件邮包需要 　 　 小时。 （3） 表中的两种量成 　 　 比例关系。 重点难点考点10：反比例 38．（2024•晋州市）如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会（　　） A．减少20% B．增加20% C．减少25% D．增加25% 39．（2024•丹凤县）已知y与x成反比例关系，在表格的空格中填写合适的数。 x 12 24 y 10 4.8 30% 40．（2024•深圳模拟）单价一定，总价与数量成反比例。 　 　 （判断对错） 重点难点考点11：辨识成正比例的量与成反比例的量 41．（2024•庆云县模拟）下面是关于正比例和反比例的描述，其中正确的是（　　） ①正比例的图像是一条直线。 ②两种相关联的量，不成正比例就成反比例。 ③圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系。 ④圆的面积和半径成正比例。 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 42．（2024•黄山）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率。 B．平行四边形的面积一定，它的底与高。 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重。 D．三角形的高不变，它的底和面积。 43．（2024•东阳市）若平行四边形的面积一定，底和高成 　 　 比例；如果（x，y均不为0），则x和y成 　 　 比例。 44．（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间/h 1 2 3 4 …… 路程/km 80 160 240 320 …… 耗油量/L 10 20 30 40 …… 二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 …… ①观察如表，　 　 和 　 　 成 　 　 比例。 ②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？ 45．（2024•乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 60 …… （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买 　 　 本《成语故事》。 重点难点考点12：解比例 46．（2024•平昌县）由：：x，得到，依据是 　 　 。 47．（2024•雨花台区）解比例。 48．（2024•琼山区模拟）解方程。 ： 1.6x+1.5×4＝16 49．（2024•鼓楼区）解方程或比例。 1.2x﹣3.6＝6 x：1.2＝4：0.5 1.3x﹣0.6x＝15.4 重点难点考点13：比例的应用 50．（2024•奈曼旗）汽车厂按1：20的比生产了一批汽车模型。轿车模型长24.3cm，轿车的实际长度 　 　 ，公共汽车长11.76m，公共汽车模型的长度是 　 　 。 51．（2024•江陵县）小丽用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜与水的配比情况如表。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 12 12 10 16 水/mL 60 48 80 80 其中，最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第 　 　 杯。同样甜的两杯给爸爸和妈妈，这两组数据组成一个比例是 　 　 。 52． （2024•常州模拟）汽车从学校出发到太湖，小时行驶了全程的，这时距太湖边还有4千米．照这样的速度，行完全程共用多少小时？ 53． （2024•滨江区校级模拟）杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷，擦亮金名片”为主题，帮助农户线上销售枇杷。甲、乙两个农户开市前采摘的枇杷产量比是4：3。开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克，则此时甲、乙农户剩下的枇杷质量比是8：5。甲、乙两个农户开市前的枇杷产量各是多少千克？（方程解答） 重点难点考点14：按比例分配应用题 54．（2024•凤凰县）一个等腰三角形的底角与顶角的度数比是1：4，这个三角形的顶角是（　　） A．36° B．120° C．144° D．30° 55．（2024•巧家县校级模拟）在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向圆柱形烧杯内注水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止。在此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）的关系如图所示。 （1）图中点　 　 表示烧杯中刚好注满水，点　 　 表示水槽中的水面正好与烧杯中的水面平齐。 （2）求烧杯的底面积。 （3）求注水的速度与水槽注满水所用的时间。 56．（2024•阜宁县）如图表示一种混凝土所用材料的份数。如果这三种材料各有24吨，配制这种混凝土，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？石子已经增加了多少吨？ 重点难点考点15：比例尺 57．（2024•双流区）一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1 58．（2024•常州模拟）一种微型零件的实际长度是1mm，画在图纸上长3dm，画图时选用的比例尺是（　　） A．1：300 B．1：3 C．300：1 D．3：1 59．（2024•塔河县）如图图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）根据图象，可以求出这幅地图的比例尺是 　 　 。 （2）图上距离和实际距离成 　 　 比例。 （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的图上距离是10cm。一辆小汽车上午10：00从甲城开车到乙城，下午3：00到达。这辆小汽车平均每时行驶多少千米？ 60．（2024•房山区）爷爷每天跑步锻炼的路线是：从家先向正西方向跑800米到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向跑600米到达体育场，最后从体育场沿一条直路直接跑回家（方格图中每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）这幅图的比例尺是 　 　 ； （2）在图上标出体育场的位置，并补全爷爷每天跑步的路线； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是 　 　 厘米；爷爷每天跑步的实际距离共 　 　 米。 61．（2024•交城县）人们常说“地下文物看陕西，地上文物看山西。”山西晋祠是现存最古老的皇家园林。其中周柏是晋祠“三绝”之一，树龄已超3000年。树高21.9米，主干直径约2米。如图是周柏主干横截面示意图，奇思把它12等分。 （1）量得如图中圆O直径是 　 　 厘米，这幅图的比例尺是 　 　 。 （2）树干上点B在点O 　 　 　 　 °的方向上，距离点O 　 　 米。 （3）连接OB、AB，画出将三角形OAB绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （4）在示意图旁边画出这个周柏横截面按1：50缩小后的图形O′。 重点难点考点16：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 62．（2024•宝安区模拟）在一个比例尺是50：1的图纸上，量得一个零件的长是5厘米，这个零件实际的长度是（　　） A．250厘米 B．10厘米 C．0.1厘米 D．0.2厘米 63． （2024•任丘市）在比例尺是1：5000000的地图上，量得A，B两地的公路长是6cm．甲，乙两车同时从A，B两地相对开出，2小时后相遇．已知甲，乙两车速度的比是2：3，则甲车的速度是多少？ 64．（2024•江宁区） 如图是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 65（2024•忠县）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两城的公路长是9厘米．现有一辆客车和货车同时从甲、乙两城相对开出，客车每小时行100千米，货车的速度是客车的．两车出发多少小时相遇？ 66．（2024•唐县模拟）学校要建一个长80m、宽50m的长方形花坛。如果以1：2000的比例尺在纸上画出花坛的示意图，那么长应画 　 　 cm，宽应画 　 　 cm。 重点难点考点17：应用比例尺画图 67．（2024•永康市）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置． （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处． （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处． 68．（2024•威县）王爷爷家有一块一面靠墙、三面用篱笆围成的梯形菜地。梯形菜地的高是20m、上底是40m、下底是60m，按1：2000的比例尺画出来。 69．（2024•琅琊区）按要求画图并填空： （1）已知一块等腰三角形草坪底边长40m、高18m，请将它按比例画在如图的平面图上。 （2）该草坪画在图纸上的面积是 　 　 cm2。 70．（2024•南平）如图，要在张家村和李家村之间修建一个垃圾综合处理站，经过环保部门的监测和选址，确定从垃圾综合处理站到两个村庄的距离皆为3千米。请你在下图中画出垃圾综合处理站的具体位置。（请保留作图痕迹） 71．（2024•九江）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 重点难点考点18：比例尺应用题 72．（2024•玄武区）课堂上张老师请小组同学讨论问题“如图图纸中长方形花园的实际面积是多少平方米？”。一个学习小组的三位同学分享了不同的想法，你觉得想法合理的是（　　） 乐乐：先算花园的图上面积，图上面积除以比例尺得实际面积。 华华：根据比例尺分别算出花园的实际长和实际宽，再相乘。 青青：我觉得你们说的两种方法都可以，得数应该是一样的。 A．乐乐 B．华华 C．青青 73．（2024•新县）在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为（　　）km。 A．120 B．1200 C．12000 74．（2024•德城区）2023年受台风“杜苏芮”影响，河北省涿州市遭受到罕见的特大暴雨洪水灾害，全国各地时刻关注灾情发展，伸出援助之手。张叔叔负责驾车从德州到河北运送物资，通过导航系统查得行程信息如图。 （1）德州到涿州实际距离有多远？ （2）张叔叔驾驶的货车出发了2小时一共行驶了140km。照这样的速度，张叔叔还要行驶多长时间能到达河北省涿州市？（结果用分数表示） 75．（2024•福田区）项目式学习：中华文化行。 老师带领学生从深圳出发，前往历史悠久的甘肃开展中华文化研学活动。请你一起完成其中的三项任务吧！ （1）任务一：在一张比例尺为1：20000000的地图上，量得深圳到甘肃的距离大约是12cm，两地之间的实际距离是多少千米？ （2）任务二：同学们计划早上8点出发，乘车去距离120千米的甘肃博物馆参观，汽车的平均速度约为80千米/小时，10点前能否到达？ （3）任务三：“马踏飞燕”是甘肃博物馆的镇馆之宝。本次研学活动的纪念品就是按照1：5的比例制作的马踏飞燕模型，这个模型的身高为6.9厘米，身长为9厘米，宽为2.6厘米。它的实际身高、身长和宽分别是多少厘米？ 76．（2024•东莞市）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第三讲 比和比例 （升学考向预测+知识梳理+18个考点分类真题训练 共75题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学烤箱预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度： 3 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：比 3 知识点梳理02：比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 5 考点分类真题汇编特训 5 重点难点考点01：比的意义 5 重点难点考点02：比的读法、写法及各部分的名称 9 重点难点考点03：比与分数、除法的关系 10 重点难点考点04：比的性质 12 重点难点考点05：求比值和化简比 13 重点难点考点06：比的应用 16 重点难点考点07：比例的意义和基本性质 20 重点难点考点08：正比例和反比例的意义 22 重点难点考点09：正比例 25 重点难点考点10：反比例 27 重点难点考点11：辨识成正比例的量与成反比例的量 28 重点难点考点12：解比例 32 重点难点考点13：比例的应用 35 重点难点考点14：按比例分配应用题 37 重点难点考点15：比例尺 39 重点难点考点16：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 43 重点难点考点17：应用比例尺画图 46 重点难点考点18：比例尺应用题 50 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 比例基本性质与化简（内项积=外项积、最简整数比转化）； 2. 按比例分配问题（如人数、成本分配，结合分数模型计算）； 3. 正反比例判断与应用（行程问题、工作效率等场景中的比例关系）； 4. 比例尺与图形缩放（含单位换算与实际距离计算）。 重点难点 • 复杂比例关系建模（如混合比例、动态变化比例问题）； • 比例与分数/百分数的综合应用（如阶梯折扣、浓度配比）； • 多变量比例推理（如甲给乙后比例变化、多对象联动问题）。 考察方向 • 生活化情境（购物优惠方案、水电阶梯计价）； • 跨知识点融合（与几何结合的比例尺，或与统计结合的分配问题）； • 逻辑推理题型（比例等式变形、反推未知数）。 预测难度： • 基础题50%（单一比例化简、正反比例判断）； • 中档题30%（两步分配问题、比例尺计算）； • 难题20%（混合比例动态分析、多变量联动推理），整体难度较2024年微升，侧重实际建模与多步逻辑转化能力。 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 重点难点考点01：比的意义 1．（2024•龙亭区校级模拟）如图是两个全等的正六边形，甲、乙分别是正六边形中的等边三角形。那么甲与乙的面积比是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如图： 甲中阴影部分的面积占六边形的，乙中阴影部分的面积占六边形的，结合比的意义解答即可。 【完整解答】解： ： 故选：B。 【考点点拨】本题考查了组合图形面积计算及比的意义。 2． （2024•云阳县）如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm，放入小球后水面的高是10cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（　　） A．3：11 B．3：5 C．3：2 D．9：7 【思路点拨】根据题意，放入小球后水面增高了，用减法求出增高了几厘米，因为增高的水的体积就是小球的体积，可根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据计算求出小球的体积（结果用π表示）；再根据第一个圆柱中原来有的高度是8厘米，及圆柱体的体积＝πr2h，代入数据计算求出水的体积；因为两个容器的水的体积相同，再根据第二个圆柱的水的高度，求出总体积，再减去水的体积与小球的体积，即可求出小长方体的体积；最后根据比的意义，用小球的体积比小长方体的体积，并进行化简即可解答。 【完整解答】解：小球的体积：π×（18÷2）2×（10﹣8） ＝π×81×2 ＝162π（立方厘米） 长方体的体积：π×（12÷2）2×26﹣π×（18÷2）2×8﹣162π ＝π×36×26﹣π×81×8﹣162π ＝936π﹣648π﹣162π ＝126π（立方厘米） （162π）：（126π）＝9：7， 所以小球的体积与小长方体的体积比是9：7。 故选：D。 【考点点拨】此题考查了圆柱的体积，关键是依据圆柱的体积公式进行解答。 3．（2024•交口县）“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng、shāng、jué、zhǐ、yǔ）是我国古代音乐的基本音阶。基本音阶“商”的发音管比基本音阶“徵”的发音管短，则“徵”和“商”的发音管长度比是（　　） A．3：2 B．2：3 C．4：3 D．3：4 【思路点拨】根据题意，假设徵管的长度为a，则商管的长度为a，据此化简比即可。 【完整解答】解：假设徵管的长度为a，则商管的长度为a， “徵”和“商”的发音管长度比是：a：a＝3：2 故选：A。 【考点点拨】此题考查了我国古代音乐的基本音阶的常识。 4．（2024•南召县）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是 　6：1　 ．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是 　4　 dm2． 【思路点拨】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是2：1，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是2：1，即BC＝2G，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比． 【完整解答】解： 因为S△BCECE×BC， 又因为CE＝CG， S△GCECE×CGCG2 又因为S△BCE：S△GCE＝2：1 所以 CE×BC：CE×CG＝2：1 BC＝2CG； 以S正方形ABCD＝BC2＝2CG×2CG＝4CG2， S正方形ECGF＝CG2， 又因为S△BCECE×BC，CE＝CG， 即S△BCECE×2CG＝CG2， 所以大正方形中空白图的面积是： S正方形ABCD﹣S△BCE＝4CG2﹣CG2＝3CG2， 小正方形空白图的面积是：S正方形ECGFCG2， 所以两空白部分的面积比是：3CG2：CG2＝6：1， 空白部分甲的面积是2.4dm2，空白部分乙的面积是0.4dm2 则S正方形ECGF＝CG2＝0.8dm2 以S正方形ABCD＝4CG2＝4×0.8＝3.2dm2 两个正方形的面积之和是3.2+0.8＝4dm2 答：空白部分的面积是6：1，那么两个正方形的面积之和是4dm2． 故答案为：6：1，4． 【考点点拨】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式子来代换，从而解决问题． 重点难点考点02：比的读法、写法及各部分的名称 5．（2024•四会市）　16　 ：2024÷　30　 ＝　80　 %＝　八　 折。 【思路点拨】根据比与分数的关系，4：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘4就是16：20；根据分数与除法的关系，4÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘6就是24÷30；4÷5＝0.8；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%；根据折扣的意义，80%就是八折。 【完整解答】解：16：2024÷30＝80%＝八折 故答案为：16，30，80，八。 【考点点拨】本题主要考查了比、分数、除法和百分数的互化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可。 6．（2024•埇桥区）37.5%＝3÷　8　 ＝ 　15　 ：40。 【思路点拨】百分数化成小数：把百分号去掉，同时，把小数点向左移动两位；小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；再根据比与除法及分数的关系解答。 【完整解答】解：37.5%＝3÷8＝ 15：40。 故答案为：8，15，64。 【考点点拨】本题考查了百分数、分数及除法算式之间的互化。 7．（2024•共和县）0.3　6　 ：20＝　30　 %＝　三　 成。 【思路点拨】先把0.3化成分数是，根据分数与比的关系，得3：10，再根据比的基本性质，比的前项、后项同时乘2，得3：10＝6：20； 小数化百分数，把小数点向右移动两位，再加上%，得0.3＝30%； 根据成数的意义，30%就是三成，据此解答。 【完整解答】解：由分析可得，0.36：20＝30%＝三成。 故答案为：；6；30；三。 【考点点拨】此题主要是考查小数、分数、百分数、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 重点难点考点03：比与分数、除法的关系 8．（2024•余姚市）　40　 %＝　16　 ÷40＝　0.4　 （填小数）＝　4　 成． 【思路点拨】根据分数与除法的关系2÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘8就是16÷40；根据比与分数的关系2：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘20就是40：100；2÷5＝0.4；把0.4的小数点向右移动两位添上百分号就是40%． 【完整解答】解：40%＝16÷40＝0.4（填小数）＝4成． 故答案为：40，16，0.4，4． 【考点点拨】解答此题的关键是，根据小数、分数、百分数、除法、比之间的关系及比的基本性质、商不变的性质即可解答． 9．（2024•阿荣旗）观察如图，将阴影部分与整个图形的面积的关系，分别用分数、最简整数比、百分数表示：　　 ＝　2　 ：　5　 ＝　40　 %。 【思路点拨】设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为5b，宽为a，阴影三角形的两条直角边分别为a、4b。根据长方形的面积计算公式“S＝ab”计算出大长方形的面积，根据三角形的面积计算公式“Sah”计算出阴影三角形的面积，用阴影部分面积除以大长方形的面积，即可求出阴影部分面积是整个图形面积的几分之几；再根据分数、比、百分数之间的关系即可解答。 【完整解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为5b，宽为a，阴影三角形的两条直角边分别为a、4b。 （a×4b）÷（5b×a） ＝2ab÷5ab 根据比与分数的关系2：5 根据分数与除法的关系2÷5＝0.4 把0.4的小数点向右移动两位添上百分号就是40% 阴影部分与整个图形的面积的关系，分别用分数、最简整数比、百分数表示：2：5＝40%。 故答案为：；2，5；40。 【考点点拨】此题考查了分数的意义及分数、比、百分数之间的关系及转化。求出阴影部分是整个图形的几分之几是关键。 10．（2024•隆昌市）24：　30　 ＝　80　 %　36　 ÷45＝　八　 成＝　0.8　 （填小数）。 【思路点拨】根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案。 【完整解答】解：24：30＝80%＝36÷45＝八成＝0.8 故答案为：30；80；36；八；0.8。 【考点点拨】此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识。 11．（2024•福州）如图，手指的长度：手掌的长度＝ 　4：5　 （填最简整数比）＝ 　　 （填最简分数）＝ 　80　 %。 【思路点拨】由图可以看出：手指长8厘米，手掌长10厘米。根据比的意义即可写出手指长与手掌长的比，再化根据比的性质，化成最简整数比。根据比与分数的关系，比的前期相当于分子、后项相当于分母，即可把最简整数比转化为最简分数；根据比与除法的意义，转化成小数，再把小数点向右移动两位添上百分号。 【完整解答】解：8：10＝4：5 4：5 4：5 ＝4÷5 ＝0.8 ＝80% 即手指的长度：手掌的长度＝4：580%。 故答案为：4：5；；80%。 【考点点拨】此题考查了比的意义及化简，比、分数、百分数之间的关系及转化。 重点难点考点04：比的性质 12．（2024•茌平区）如果，那么（A×9）：（B×9）＝（　　） A．1 B． C．1：1 D．1：81 【思路点拨】根据题意可知，原来两个数的比值是，前项和后项都扩大了9倍，根据比的基本性质可以得出比值不变。 【完整解答】解：如果，那么（A×9）：（B×9） 故选：B。 【考点点拨】此题考查了比的基本性质的应用。 13．（2024•保定）把5：6的后项加上24，要使比值不变，前项应该加上（　　） A．15 B．20 C．25 【思路点拨】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【完整解答】解：把5：6的后项加上24，即6+24＝30，30÷6＝5，相当于后项乘5，要使比值不变，前项应该乘5，即5×5＝25，25﹣5＝20，相当于前项加上20。 故选：B。 【考点点拨】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。 14．（2024•墨竹工卡县）如果把3：5的后项加上15，要使比值不变，它的前项应该（　　） A．加上15 B．乘3 C．加上6 D．加上9 【思路点拨】3：5的后项加15，5+15＝20，20÷5＝4，相当于后项乘4，要使比值不变，根据比的基本性质，前项也要乘4，3×4＝12，12＝3+9，即前项应该乘4或加上9。 【完整解答】解：5+15＝20 20÷5＝4 如果把3：5的后项加上15，相当于乘4，要使比值不变，后项也应乘4 3×4＝12 12＝3×4＝3+9 答：它的前项应该加上9。 故选：D。 【考点点拨】比的基本性质是比的前、后项都乘或除以一个非0相同数，比值不变，比的后项加15，要转化成乘几，根据比的基本性质，前项也乘几，再把乘几转化成加几。 15．（2024•巩义市）在横线里填上合适的数。 ①4：15＝12：　45　 ④　35　 dm3 ⑦12.9kg＝　12900　 g ②2230cm＝　22.3　 m ⑤230公顷＝　2.3　 平方千米 ⑧ ③126mL＝　0.126　 L ⑥100分时 ⑨30.5km＝　30500　 m 【思路点拨】根据题意，当小单位化成大单位时，要除以进率，当大单位化成小单位时，要乘进率，据此解答。 【完整解答】解：①4：15＝12：45 ②2230cm＝22.3m ③126mL＝0.126L ④35dm3 ⑤230公顷＝2.3平方千米 ⑥100分时 ⑦12.9kg＝12900g ⑧ ⑨30.5km＝30500m 故答案为：①45；②22.3；③0.126；④35；⑤2.3；⑥，⑦12900，⑧2，⑨30500。 【考点点拨】本题考查了单位的换算，解决本题的关键是 知道单位之间的进率。 重点难点考点05：求比值和化简比 16．（2024•漳州）甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11：12，则甲、乙两名运动员所用的时间比（最简比）是（　　） A．11：12 B． C．12：11 D． 【思路点拨】将甲、乙两名运动员跑的距离看作单位“1”，先用单位“1”分别除以二人的速度，求出二人的比赛时间，然后写出甲、乙两名运动员所用的时间比并化成最简整数比即可。 【完整解答】解：1÷11，1÷12 ： ＝（132）：（132） ＝12：11 答：甲、乙两名运动员所用的时间比是12：11。 故选：C。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握路程、速度和时间之间的关系，明确比的意义和化简比的方法。 17．（2024•梁平区）两瓶糖水，第一瓶水有800克，糖有600克；第二瓶水有600克，糖有400克。第一瓶中，糖与糖水的最简整数比是 　3：7　 ；第二瓶糖水的含糖率是 　40%　 ；第 　一　 瓶糖水较甜。 【思路点拨】先写出第一瓶糖水中糖与糖水的比，然后化成最简整数比；再根据“含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%”，分别求出两瓶糖水的含糖率，最后比较出两瓶糖水含糖率的大小，确定哪瓶糖水比较甜即可。 【完整解答】解：600：（800+600） ＝600：1400 ＝（600÷200）：（1400÷200） ＝3：7 第一瓶糖水的含糖率： 600÷（800+600）×100% ≈0.4286×100% ＝42.86% 第二瓶糖水的含糖率： 400÷（600+400）×100% ＝0.4×100% ＝40% 42.86%＞40%，所以第一瓶糖水甜一些。 答：第一瓶中，糖与糖水的最简整数比是37：；第二瓶糖水的含糖率是40%；第一瓶糖水较甜。 故答案为：3：7；40%；一。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握比的意义和化简比的方法：及含糖率的意义及计算方法，灵活解答。 18．（2024•化州市）如图，甲正方形和乙正方形边长的比是 　5：3　 ，比值是 　　 。 【思路点拨】先写出甲正方形和乙正方形边长的比，然后将比的前项和后项同时除以4，化成最简整数比，最后用前项除以后项，求出比值即可。 【完整解答】解：20：12＝（20÷4）：（12÷4）＝5：3 5：3＝5÷3 答：甲正方形和乙正方形边长的比是5：3，比值是。 故答案为：5：3；。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握比的意义、化简比及求比值的方法，灵活解答。 19．（2024•电白区）化简比或求比值。 （1）（化简比） （2）0.24：3.2（求比值） 【思路点拨】（1）根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化成最简整数比； （2）求比值时，用最简整数比的前项除以后项求出商即可。 【完整解答】解：（1）： ＝（8）：（8） ＝6：7 （2）0.24：3.2 ＝0.24÷3.2 ＝0.075 【考点点拨】此题考查化简比和求比值的方法，要注意区分：化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个数，可以是整数、小数或分数。 20．（2024•扬州模拟）把下面的比化简． （1）27： （2）2.4：0.3 （3）：0.4 （4） 【思路点拨】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比． 【完整解答】解：（1）27： ＝（27）：（） ＝12：1 （2）2.4：0.3 ＝24：3 ＝8：1 （3）：0.4 ＝（20）：（0.4×20） ＝3：8 （4） ＝（）：（） ＝6：3 【考点点拨】此题主要考查了化简比的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数． 重点难点考点06：比的应用 21．（2024•余姚市）六年级某班男、女生人数的比是3：4，下列说法错误的是（　　） A．女生人数与男生人数的比是4：3。 B．女生比男生多。 C．男生占全班人数的。 D．全班人数不可能是45人。 【思路点拨】男、女生人数的比是3：4，可以把男生人数看作3份，女生人数看作4份，则全班人数是4+3＝7（份），全班人数应该是7的倍数； 求一个数比另一个数多（或少）几分之几，先求出多（或少）的具体数量，再除以单位“1”数量； 求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算；据此即可解答。 【完整解答】解：A.女生人数与男生人数的比是4：3，正确； B.（4﹣3）÷3 ＝1÷3 女生比男生多，错误； C.3÷（3+4） ＝3÷7 男生占全班人数的，正确； D.45不是7的倍数，所以全班人数不可能是45人，正确。 故选：B。 【考点点拨】本题考查了比的意义、分数的意义以及百分数的意义。 22．（2024•江宁区模拟）“84”消毒液是一种无色或淡黄色的液体，其主要成分是次氢酸钠，有效含氨量为5.5%～6.5%，是一种高效消毒液，被广泛用于医院、宾馆、食品加工行业、家庭等的卫生消毒。红星小学的李老师要对一间教室的课桌椅、门把手和地面使用“84”消毒液进行清洁消毒。水桶中装有9.5升水，根据下面的说明，需要加入 　95　 毫升的消毒液。 “84”消毒液配比方法 教室地面、桌椅、门把手等物体表面：消毒液与水（冷水）按1：100的比进行稀释；消毒时间：30分钟；消毒方法：擦拭、喷洒、拖洗，消毒后用清水洗净。餐饮器具消毒：消毒液与水按1：80的比进行稀释，浸泡消毒20分钟，最后用清水洗净。 【思路点拨】根据题意，李老师要对一间教室的课桌椅、门把手和地面使用“84”消毒液进行清洁消毒。而教室地面、桌椅、门把手等物体表面：消毒液与水（冷水）按1：100的比进行稀释；即100毫升的水需要1毫升的消毒液，用水桶中的水量除以100即可求出消毒液的需求量，据此解答。 【完整解答】解：9.5升＝9500毫升 9500÷100＝95（毫升） 答：需要加入95毫升的消毒液。 故答案为：95。 【考点点拨】本题考查了比的应用。 23．（2024•渝北区校级模拟）有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 【思路点拨】先把16位教授平均分成2部分，第一部分带1个研究生，另一部分带2和3个研究生，每一部分有8人；这样第一部分就带了8个研究生，第二部分一共带27﹣8＝19个研究生；再根据研究生和教授的人数进行讨论． 【完整解答】解：16÷2＝8（人）， 8个教授带1个研究生，8个教授带2个或3个研究生；那么后8个教授共带的研究生数是： 27﹣8×1＝19（个）， 假设8个教授都带3个研究生，那么就应该有： 3×8＝24（个）， 缺了：24﹣19＝5（个）； 把带两个研究生的教授算成带三个的了，相差了： 3﹣2＝1（人）， 所以带2个研究生的教授有： 5÷1＝5（人）． 答：带2个研究生的教授有5人． 【考点点拨】先求出带2个和3个研究生的教授一共带的研究生数，再根据研究生的人数差来求解． 24．（2024•厦门模拟）五星红旗是国家主权和尊严的象征，见证了中国每一次腾飞的时刻，在珠峰之巅、在南极科考站、在太空都有她的身影，她永远在每个中国人的心中高高飘扬。数学小组的同学在开展“五星红旗”主题式学习，发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究。 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC。 （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕BD交AC于点D，连接DE、DB，∠1的度数是多少？设AC＝1，BC＝x，请用含x的式子表示AE的长度。 （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比。当等腰三角形的底和腰的比等于黄金比时，这个三角形叫作黄金三角形。例如，图1中的△ABC、△BCD都是黄金三角形。根据上述结论，如果BC＝10cm，你能求出DC的长度吗？ 【思路点拨】（1）已知∠A＝36°，AB＝AC，利用三角形的内角和计算∠C，∠C＝∠BED，∠EBD＝∠DBC＝∠C÷2，利用三角形的内角和计算∠1，找出BC和BE的关系，由此解答本题； （2）依据题意可知，0.618，由此计算CD。 【完整解答】解：（1）已知∠A＝36°，AB＝AC，则∠C＝∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∠EBD＝∠DBC＝∠C÷2＝72°÷2＝36°， ∠1＝180°﹣36°﹣72°＝72°，因为BC＝x，则BE＝x， AB＝AC＝1，AE＝AB﹣BE＝1﹣x， 答：∠1是72°，AE的长度是（1﹣x）。 （2）依据题意可知，0.618，则CD＝6.18（cm） 答：DC的长度是6.18cm。 【考点点拨】本题考查的是用字母表示数的应用。 25．（2024•信都区）孔明灯俗称许愿灯，是一种古老的汉族手工艺品，根据热气球原理使空气受热膨胀而升空。手工艺人张师傅将总长420cm的竹篦制作成一个长方体孔明灯的框架，再将它的上面和四周用安全阻燃棉纸糊成灯罩，这个孔明灯长、宽、高的比是2：2：3。这个孔明灯的体积是多少立方厘米？（接头处忽略不计） 【思路点拨】先用竹篦的总长除以4，就是一条长、宽、高的和；再按比的分配问题算出长宽高各是多少，最后根据长方体的体积公式计算即可。 【完整解答】解：420÷4＝105（厘米） 2+2+3＝7 10530（厘米） 10530（厘米） 10545（厘米） 30×30×45 ＝900×45 ＝40500（立方厘米） 答：这个孔明灯的体积是40500立方厘米。 【考点点拨】熟练掌握长方体的认识和体积公式是解答本题的关键。 重点难点考点07：比例的意义和基本性质 26．（2024•雨花台区）在判断9：6和18：12能否组成比例时，如图是四位同学的判断过程，（　　）是根据比例的基本性质判断的。 A．乐乐 B．安安 C．笑笑 D．兰兰 【思路点拨】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫作比例。 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。 【完整解答】解：9：6和18：12能否组成比例，根据比例的基本性质得：9×12＝108，6×18＝108，故9：6和18：12能组成比例。 故选：B。 【考点点拨】本题考查了比例的性质。 27．（2024•柘城县）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是 　　 ，用这四个数组成的比例是 　6：7＝8：　 （写出一个即可）。 【思路点拨】用最大的两个数的积除以最小数，即可得出最大的数，再写出组成的比例即可。 【完整解答】解：7×8÷6 ＝56÷6 6：7＝8：（答案不唯一） 故答案为：；6：7＝8：（答案不唯一）。 【考点点拨】此题考查比例的基本性质。掌握比例的基本性质是解答的关键。比例的基本性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。 28．（2024•芮城县）如果（m、n都不等于0），那么：m：n＝ 　8　 ：　15　 ， 　　 。 【思路点拨】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积， 【完整解答】解：因为mn 所以m：n： n：m：15：8 如果（m、n都不等于0），那么：m：n＝8：15，。 故答案为：8，15，。 【考点点拨】此题考查比例的意义和性质的应用。 29．（2024•大冶市）根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么，　3　 ：　4　 。 【思路点拨】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。如果3x＝4y，则3和x要么都是外项，要么都是内项；同理，4和y要么都是外项，要么都是内项。据此解答。 【完整解答】解：通过分析可得：根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么，3：4。 故答案为：；3；4。 【考点点拨】此题主要考查了学生根据比例的基本性质构成比例的能力。 重点难点考点08：正比例和反比例的意义 30．（2024•泉港区）有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量有可能是（　　） A．一个人的身高与他的年龄。 B．路程一定时，行驶的速度和行驶的时间。 C．看一本书，已看的页数和未看的页数。 D．《儿童画报》的单价一定，订阅的总价和数量。 【思路点拨】根据图示可知，两个量是成正比例关系的，然后逐个分析选项后即可判断。 【完整解答】解：A.一个人的身高与他的年龄没有明确的关系，一般情况是一个人在婴幼儿阶段和青春期阶段随着年龄的增大身高随之增高，到了成年阶段，年龄和身高关关系并不明显，而到了中年只见年龄长，不见身高长，故不符合题意； B.根据“路程＝时间×速度”，路程一定，即两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量成反比例，故不符合题意； C.已看的页数+未看的页数＝这本书的页数，两种量的和一定，不成比例，故不符合题意； D.根据“单价＝总价÷数量”，单价一定，即两种量中相对应的两个数的商一定，这两种量成正比例，符合题意。 综上，只有选项D符合题意。 故选：D。 【考点点拨】本题考查了两个量成正比例关系的判断方法。 31．（2024•中牟县）如图所示图象表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成 　正　 比例关系。（填“正”或“反”） （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是 　香蕉　 。（填“香蕉”或“苹果”） （3）买3千克苹果要用 　12　 元，20元可以买 　2.5　 千克香蕉。 【思路点拨】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价。 （3）单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，代入即可。 【完整解答】解：（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例。 （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉。 （3）3×4＝12（元） 20÷8＝2.5（千克） 买3千克苹果要用12元，20元可以买2.5千克香蕉。 故答案为：（1）正。（2）香蕉。（3）12，2.5。 【考点点拨】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算。 32．（2024•迁安市）如图表示购买笔记本的数量和金额的关系。 （1）购买笔记本的数量和金额成 　正　 比例。 （2）购买30本笔记本，需要 　240　 元；480元能买 　60　 本笔记本。 【思路点拨】（1）两种相关联的量中对应的两个数的商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例，据此判断即可； （2）单价＝购买笔记本的金额÷数量，据此得出笔记本的单价，总价＝单价×数量，数量＝总价÷单价，据此计算即可解答。 【完整解答】解：（1）购买笔记本的数量和金额成正比例，因为总价和数量这两种相关联的量之间的比值一定，即单价一定，所以购买笔记本的数量和金额成正比例关系； （2）40÷5＝80÷10＝160÷20＝200÷25＝240÷30＝8（元） 30×8＝240（元） 480÷8＝60（本） 答：购买30本笔记本，需要240元；480元能买60本笔记本。 故答案为：（1）正；（2）240；60。 【考点点拨】本题考查了运用统计图给出的信息解决问题，考查了学生运用统计图解决问题的能力。 33．（2024•伊川县）洛洛家新买了一辆家用小轿车，油箱可装油40升。小轿车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系如图所示。小轿车行驶2小时，用去了 　10　 升油。照这样计算，一箱油最多能连续行驶 　8　 小时。每小时耗油量与行驶的时间 　②　 。（①成正比例；②成反比例；③不成正比例，也不成反比例） 【思路点拨】先用40减去10，求出小轿车行6小时用去多少升油；然后用（40﹣10）除以6，求出每小时的耗油量；再用40除以每小时的耗油量，求出一箱油最多能连续行驶几小时；用40÷每小时耗油量＝行驶的时间，40是个定值，所以每小时耗油量与行驶的时间成反比例。 【完整解答】解：40﹣10＝30（升） 30÷6＝5（升） 5×2＝10（升） 40÷5＝8（小时） 答：小轿车行驶2小时，用去了10升油。照这样计算，一箱油最多能连续行驶8小时。 每小时耗油量＝行驶的时间，40是个定值，所以每小时耗油量与行驶的时间成反比例。 故答案为：10；8；②。 【考点点拨】本题考查了从图像中读出信息、分析数据、解决问题的能力。 重点难点考点09：正比例 34．（2024•菏泽）如图是一个水龙头打开后出水量的变化情况。 （1）这个水龙头每分钟的出水量是 　2　 升。 （2）这个水龙头的出水量与时间成 　正　 比例关系。 （3）照这样的速度，从这个水龙头流出150升水，需要 　1.25　 小时。 【思路点拨】（1）根据图示，可以得出水龙头每分钟的出水量是2升； （2）水龙头打开的时间与出水量是两种相关联的量，水龙头的出水量÷打开的时间＝每分钟的出水量，每分钟的出水量一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例； （2）先求出每分钟的出水量，再用150除以每分钟的出水量就是所用的时间，然后根据1小时＝60分，换算出时间即可。 【完整解答】解：（1）观察图可知，水龙头每分钟的出水量是2÷1＝2（升）； （2）水龙头的出水量÷打开的时间＝每分钟的出水量，每分钟的出水量一定，也就是这两种量的比值一定，所以这个水龙头的出水量与时间成正比例关系； （2）每分钟的出水量：2÷1＝2（升） 150÷2＝75（分） 75÷60＝1.25（小时） 答：需要1.25小时。 故答案为：2，正，1.25。 【考点点拨】此题考查辨识成正比例的量，只要两种相关联的量比值一定，就成正比例。 35．（2024•江陵县）沿着直尺的方向拉橡皮筋（如图所示）。点A的位置固定不变，将橡皮筋拉长，使点C的位置到12cm处，此时点B的位置在 　8　 cm处。（橡皮筋各处均匀拉伸） 【思路点拨】因为橡皮的弹性一定，所以原来B、C点的位置和拉长后B、C点的位置存在正比例关系，所以设此时点B的位置在x厘米处，即可算出答案。 【完整解答】解：设此时点B的位置在x厘米处。 6：9＝x：12 9x＝6×12 9x＝72 9x÷9＝72÷9 x＝8 答：此时点B的位置8厘米处。 故答案为：8。 【考点点拨】此题考查了正比例关系以及解比例的应用，结合题意分析解答即可。 36．（2024•东方）张阿姨打字所用的时间和打字的总数如下表： 打字所用的时间/分 1 2 3 4 5 6 …… 打字的总个数/个 40 80 120 160 200 240 …… 打字的总个数随着打字的 　时间　 变化，打字时间扩大2倍，总个数也 　扩大到原来的2倍　 ，打字时间扩大3倍，总个数也 　扩大到原来的3倍　 ……，因为打字的总个数与相对应的时间的比值都是 　相等的　 ，所以打字的总个数与打字的时间成 　正比例　 关系。 【思路点拨】根据统计表可知，打字的总个数与打字时间。打字的总个数随着打字的时间变化，打字时间扩大2倍，总个数也扩大到原来的2倍，打字时间扩大3倍，总个数也 扩大到原来的3倍……，因为打字的总个数与相对应的时间的比值都是相等的，所以打字的总个数与打字的时间成正比例关系。 【完整解答】解：40÷1＝80÷2＝120÷3＝160÷4＝200÷5＝240÷6 答：打字的总个数随着打字的时间变化，打字时间扩大2倍，总个数也扩大到原来的2倍，打字时间扩大3倍，总个数也 扩大到原来的3倍……，因为打字的总个数与相对应的时间的比值都是相等的，所以打字的总个数与打字的时间成正比例关系。 故答案为：时间，扩大到原来的2倍，扩大到原来的3倍，相等的，正比例。 【考点点拨】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值（商）一定，结合题意分析解答即可。 37．（2024•河北）一个机器人分拣邮包的时间和数量如下表： 分拣时间/小时 1 2 3 4 5 6 …… 分拣数量/件 150 300 450 600 750 900 …… （1）表中变化的量是分拣 　时间　 和分拣 　数量　 。 （2）4小时分拣 　600　 件邮包；分拣1950件邮包需要 　13　 小时。 （3）表中的两种量成 　正　 比例关系。 【思路点拨】（1）（2）依据表中数据可知，分拣数量随着分拣时间的增加而增加，分拣数量÷每小时分拣数量＝分拣时间，由此解答本题； （3）分拣数量÷分拣时间＝每小时分拣数量，由此判断表中两种量的数量关系。 【完整解答】解：（1）表中变化的量是分拣时间和分拣数量。 （2）4小时分拣600件邮包；1950÷150＝13（小时），分拣1950件邮包需要13小时。 （3）分拣数量÷分拣时间＝每小时分拣数量，每小时分拣数量一定，表中的两种量成正比例关系。 故答案为：（1）时间，数量；（2）600，13；（3）正。 【考点点拨】本题考查的是正比例的应用。 重点难点考点10：反比例 38．（2024•晋州市）如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会（　　） A．减少20% B．增加20% C．减少25% D．增加25% 【思路点拨】如果甲、乙是两个成反比例的量，那么它们的乘积一定，即符合xy＝k（一定），当甲减少20%时，可知乙一定是增加了，又（1﹣20%）xx，由于k一定，所以这里y要变为y，进而确定乙增加了多少。 【完整解答】解：1﹣20% 1 （1）÷1 1 ＝25% 答：乙增加25%。 故选：D。 【考点点拨】此题考查了反比例意义的运用。 39．（2024•丹凤县）已知y与x成反比例关系，在表格的空格中填写合适的数。 x 12 24 y 10 4.8 30% 【思路点拨】反比例指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。据此解答即可。 【完整解答】解：12×10＝120 120÷4＝5 120÷4.8＝25 120140 120÷30%＝400 x 12 24 25 400 y 10 5 4.8 140 30% 故答案为：5；25；140；400。 【考点点拨】本题考查了反比例的意义及应用，结合题意分析解答即可。 40．（2024•深圳模拟）单价一定，总价与数量成反比例。 　×　 （判断对错） 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【完整解答】解：因为总价÷数量＝单价（一定）， 符合正比例的意义，所以单价一定，总价和数量成正比例； 所以单价一定，总价与数量成反比例，此题错误。 故答案为：×。 【考点点拨】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 重点难点考点11：辨识成正比例的量与成反比例的量 41．（2024•庆云县模拟）下面是关于正比例和反比例的描述，其中正确的是（　　） ①正比例的图像是一条直线。 ②两种相关联的量，不成正比例就成反比例。 ③圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系。 ④圆的面积和半径成正比例。 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【完整解答】解：①正比例的图像是一条直线，题干说法正确； ②两种相关联的量，也可能不成比例，原题干说法错误； ③圆柱的体积÷高＝底面积（一定），所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系说法正确； ④圆的面积和半径不成比例，所以原题干说法错误。 故选：C。 【考点点拨】熟练掌握正比例和反比例的性质，是解答此题的关键。 42．（2024•黄山）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率。 B．平行四边形的面积一定，它的底与高。 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重。 D．三角形的高不变，它的底和面积。 【思路点拨】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。 【完整解答】解：选项A中，圆的面积固定，它的半径就固定，半径与圆周率不成比例。 选项B中，平行四边形的面积＝底×高，乘积一定，底与高成反比例。 选项C中，年龄、身高和体重不是相关联的量。所以年龄、身高和体重不成比例。 选项D中，三角形的高＝面积×2÷底，比值一定，底和面积成正比例。 故选：B。 【考点点拨】辨识两种量成正比例还是成反比例，就看它们是比值一定还是乘积一定。 43．（2024•东阳市）若平行四边形的面积一定，底和高成 　反　 比例；如果（x，y均不为0），则x和y成 　正　 比例。 【思路点拨】读题可知：如果两种相关联的量的乘积一定，两者成反比例关系；如果两种相关联的量的商一定，两者则成正比例关系，据此作答。 【完整解答】解：底×高＝平行四边形的面积（一定） 即平行四边形的面积一定，底和高成反比例。 （一定） 即则x和y成正比例。 故答案为：反；正。 【考点点拨】本题考查了正反比例关系的判定问题，解答此类问题时一定要清楚：两种相关联的量，凡是和、差一定的，这两种数量不成比例关系；凡是商（比值）一定的，这两种数量就成正比例关系，凡是积一定的，这两种数量就成反比例关系。 44．（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间/h 1 2 3 4 …… 路程/km 80 160 240 320 …… 耗油量/L 10 20 30 40 …… 二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 …… ①观察如表，　路程　 和 　时间　 成 　正　 比例。 ②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？ 【思路点拨】①观察表格可知，路程和时间成正比例，行驶路程和耗油量成正比例； ②根据表格中数据可知，行驶1千米耗油的数量是0.125升；然后用400乘行驶1千米耗油量，求出行驶400千米耗油量，再与45升比较即可； ③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时，运用路程和时间成正比例关系，列式计算。 【完整解答】解：①观察表格可知，，比值是80，所以路程和时间成正比例（答案不唯一）。 ②400×（10÷80） ＝400×0.125 ＝50（升） 45＜50，所以途中需要加油。 答：途中需要加油。 ③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时。 0.75x＝0.75 x＝1 答：到达C地还需要1小时。 故答案为：路程；时间；正。（答案不唯一） 【考点点拨】此题考查主要正比例的意义及应用。 45．（2024•乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 60 …… （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买 　48　 本《成语故事》。 【思路点拨】（1）利用总价＝单价×数量，依据表中数据计算单价，然后计算总价，由此解答本题； （2）单价＝总价÷数量，由此解答本题； （3）依据（1）去作图； （4）利用数量＝总价÷单价去解答。 【完整解答】解：（1）10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 …… （2）单价＝总价÷数量，总价与购买本数之间成正比例，因为总价与购买本数的商是单价，单价一定，则总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 答：480元最多可以购买48本《成语故事》。 故答案为：40、50；48。 【考点点拨】本题考查的是正比例的应用。 重点难点考点12：解比例 46．（2024•平昌县）由：：x，得到，依据是 　比例的基本性质　 。 【思路点拨】根据比例的基本性质进行解答。 【完整解答】解：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，由：：x，得到，依据是比例的基本性质。 故答案为：比例的基本性质。 【考点点拨】此题考查比例的基本性质。掌握比例的基本性质是解答的关键。比例的基本性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。 47．（2024•雨花台区）解比例。 【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，把原式化为x，然后方程的两边同时除以求解； （2）根据比例的基本性质，把原式化为0.25x＝1.2，然后方程的两边同时除以0.25求解； （3）根据比例的基本性质，把原式化为x＝25%×12，然后方程的两边同时除以求解。 【完整解答】解：（1） x x x （2） 0.25x＝1.2 0.25x÷0.25＝1.20.25 x＝4 （3） x＝25%×12 x25%×12 x＝2 【考点点拨】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积。 48．（2024•琼山区模拟）解方程。 ： 1.6x+1.5×4＝16 【思路点拨】：，根据比例的基本性质可得15x18，再根据等式的基本性质，等式两边同时除以15计算即可求出x的值； 1.6x+1.5×4＝16，先计算1.5×4＝6，根据等式的基本性质，方程两边同时减去6，然后再同时除以1.6，最后计算求出x的值。 【完整解答】解：： 15x 15x 15x÷1515 x 1.6x+1.5×4＝16 1.6x+6＝16 1.6x+6﹣6＝16﹣6 1.6x＝10 1.6x÷1.6＝10÷1.6 x＝6.25 【考点点拨】解答此题要运用比例的基本性质和等式的基本性质。 49．（2024•鼓楼区）解方程或比例。 1.2x﹣3.6＝6 x：1.2＝4：0.5 1.3x﹣0.6x＝15.4 【思路点拨】方程1，等式两边同时加3.6，化简后，再两边同时除以1.2得解。 方程2，先改写成两个外项的乘积等于两个内项的乘积的形式，化简后，再两边同时乘2得解。 方程3，逆用乘法分配律化简后，再两边同时除以0.7得解。 【完整解答】解：1.2x﹣3.6＝6 1.2x﹣3.6+3.6＝6+3.6 1.2x＝9.6 1.2x÷1.2＝9.6÷1.2 x＝8 x：1.2＝4：0.5 0.5x＝1.2×4 0.5x＝4.8 2×0.5x＝4.8×2 x＝9.6 1.3x﹣0.6x＝15.4 （1.3﹣0.6）x＝15.4 0.7x＝15.4 0.7x÷0.7＝15.4÷0.7 x＝22 【考点点拨】本题考查了解方程、解比例的问题，解答本题一定要熟练掌握两个基本性质：一是等式的基本性质，即等式两边同时加、减、乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；二是比例的基本性质，即两个外项的乘积等于两个内项的乘积。 重点难点考点13：比例的应用 50．（2024•奈曼旗）汽车厂按1：20的比生产了一批汽车模型。轿车模型长24.3cm，轿车的实际长度 　4.86米　 ，公共汽车长11.76m，公共汽车模型的长度是 　58.8厘米　 。 【思路点拨】1：20是指汽车模型长是实际长度的，正好长24.3cm，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法计算；1：20是指汽车模型长是实际长度的，公共汽车实际长11.76m，根据已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 【完整解答】解：24.3486（厘米）＝4.86（米） 11.760.588（米）＝58.8（厘米） 答：轿车的实际长度是4.86米，公共汽车模型车的长度是58.8厘米。 故答案为：4.86米；58.8厘米。 【考点点拨】此题解答的关键是把比理解为一个数是另一个数的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算；已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 51．（2024•江陵县）小丽用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜与水的配比情况如表。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 12 12 10 16 水/mL 60 48 80 80 其中，最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第 　二　 杯。同样甜的两杯给爸爸和妈妈，这两组数据组成一个比例是 　12：60＝16：80　 。 【思路点拨】分别求出蜂蜜与水的比，比值最大的糖水最甜；再将比值相等的两个比组成比例。 【完整解答】解：12：60，12：48，10：80，16：80 第二杯最甜。 12：60＝16：80 故答案为：二，12：60＝16：80。 【考点点拨】本题考查了比和比例的应用，属于基础知识，需熟练掌握。 52．（2024•常州模拟）汽车从学校出发到太湖，小时行驶了全程的，这时距太湖边还有4千米．照这样的速度，行完全程共用多少小时？ 【思路点拨】的单位“1”是全程的千米数，根据“小时行驶了全程的，”可以求出速度，再用总路程除以速度，就是行完全程共用的时间． 【完整解答】解：1÷（）， ＝1÷（）， ＝1， （小时）， 答：行完全程共用小时． 【考点点拨】此题主要考查了路程、速度和时间的三者的数量关系，根据要求的问题，选择合适的数量关系解答． 53．（2024•滨江区校级模拟）杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷，擦亮金名片”为主题，帮助农户线上销售枇杷。甲、乙两个农户开市前采摘的枇杷产量比是4：3。开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克，则此时甲、乙农户剩下的枇杷质量比是8：5。甲、乙两个农户开市前的枇杷产量各是多少千克？（方程解答） 【思路点拨】根据题意，设：甲农户开市前的枇杷产量是x千克，则乙农户开市前的枇杷产量是x千克，由“开市第一天上午甲农户卖出400千克，乙农户卖出450千克”可知：甲、乙农户剩下的枇杷质量分别是（x﹣400）千克，（x﹣450）千克，即：（x﹣400）：（x﹣450）＝8：5，据此解答。 【完整解答】解：甲农户开市前的枇杷产量是x千克，则乙农户开市前的枇杷产量是x千克。 （x﹣400）：（x﹣450）＝8：5 5（x﹣400）＝8（x﹣450） 5x﹣2000＝6x﹣3600 x＝1600 x＝1600 16001200（千克） 答：甲农户开市前的枇杷产量是1600千克，则乙农户开市前的枇杷产量是1200千克。 【考点点拨】此题主要考查了比例的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，是解答此类问题的关键。 重点难点考点14：按比例分配应用题 54．（2024•凤凰县）一个等腰三角形的底角与顶角的度数比是1：4，这个三角形的顶角是（　　） A．36° B．120° C．144° D．30° 【思路点拨】等腰三角形两底角相等，一个等腰三角形的底角与顶角的度数比是1：4，这个等腰三角形三个内角的度数比是1：1：4，将比的前后项看成份数，三角形内角和180°，三角形内角和÷总份数，求出一份数，一份数×顶角对应份数＝顶角度数。 【完整解答】解：180°÷（1+1+4）×4 ＝180°÷6×4 ＝120° 答：这个三角形的顶角是120°。 故选：B。 【考点点拨】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配知识来解决问题。 55．（2024•巧家县校级模拟）在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向圆柱形烧杯内注水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止。在此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）的关系如图所示。 （1）图中点　A　 表示烧杯中刚好注满水，点　B　 表示水槽中的水面正好与烧杯中的水面平齐。 （2）求烧杯的底面积。 （3）求注水的速度与水槽注满水所用的时间。 【思路点拨】（1）观察图象的特征来确定相关点的意义； （2）高相同，速度相同，水槽与烧杯底面积比等于用的时间比，设烧杯的底面积为x平方厘米，据此列出比例式即可求出烧杯底面积； （3）注水速度＝烧杯的体积÷注满时间，水槽注满水所用的时间＝水槽体积÷注水速度，据此代入数据计算即可求出水槽注满水所用的时间。 【完整解答】解：（1）图象中，到A点时，烧杯刚好被注满；A到B这一段，水槽中的水面匀速上升，并且此时水槽中的水面与烧杯中的水面平行。所以A点表示烧杯刚好注满，B点表示水槽中的水面与烧杯中的水面平行。 （2）设烧杯的底面积为x平方厘米。 4x＝100﹣x 5x＝100 x＝20 答：烧杯的底面积为20平方厘米。 （3）20×10÷18 ＝200÷18 （立方厘米/秒） 100×20 ＝2000 ＝180（秒） 答：注水的速度为立方厘米/秒，水槽注满水所用的时间为180秒。 故答案为：A；B。 【考点点拨】此题考查按比例分配应用题。 56．（2024•阜宁县）如图表示一种混凝土所用材料的份数。如果这三种材料各有24吨，配制这种混凝土，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？石子已经增加了多少吨？ 【思路点拨】根据题意可知，配置混凝土需要水泥2份，黄沙3份，石子5份，已知黄沙用了24吨，则用24÷3求出每份是多少，进而用乘法求出2份和5份，也就是水泥和石子用的吨数；再用24吨减去水泥用掉的吨数，即可求出水泥剩余的吨数；用石子用去的吨数减去24吨，即可求出石子增加的吨数。 【完整解答】解：24÷3＝8（吨） 水泥：2×8＝16（吨） 石子：5×8＝40（吨） 水泥剩余：24﹣16＝8（吨） 石子增加：40﹣24＝16（吨） 答：当黄沙全部用完时，水泥还剩8吨；石子已经增加了16吨。 【考点点拨】此题考查了按比例分配应用题的结构特征和解答规律 重点难点考点15：比例尺 57．（2024•双流区）一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1 【思路点拨】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离：实际距离，据此解答。 【完整解答】解：由题意可知： 图上距离：实际距离 ＝2cm：5mm ＝（2×10）mm：5mm ＝20：5 ＝（20÷5）：（5÷5） ＝4：1 所以，这幅图纸的比例尺是4：1。 故选：D。 【考点点拨】本题主要考查比例尺的认识，掌握比例尺的意义是解答题目的关键。 58．（2024•常州模拟）一种微型零件的实际长度是1mm，画在图纸上长3dm，画图时选用的比例尺是（　　） A．1：300 B．1：3 C．300：1 D．3：1 【思路点拨】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离：实际距离，即可解答，注意单位名数的统一。 【完整解答】解：1mm＝0.1cm；3dm＝30cm 30：0.1 ＝（30×10）：（0.1×10） ＝300：1 答：一种微型零件的实际长度是1mm，画在图纸上长3dm，画图时选用的比例尺是300：1。 故选：C。 【考点点拨】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。 59．（2024•塔河县）如图图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）根据图象，可以求出这幅地图的比例尺是 　1：4000000　 。 （2）图上距离和实际距离成 　正　 比例。 （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的图上距离是10cm。一辆小汽车上午10：00从甲城开车到乙城，下午3：00到达。这辆小汽车平均每时行驶多少千米？ 【思路点拨】（1）根据比例尺＝图上距离÷实际距离计算即可； （2）判断方法两种相关量正何种比例关系，关键是看这两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例，或者从原点出是一条直直的射线，故图上距离和实际距离成正比例。据此解答； （3）根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出甲乙两地的实际距离，然后根据“速度＝路程÷时间”即可解答。 【完整解答】解：（1）40千米＝4000000厘米 1÷40000001：4000000 答：这幅地图的比例尺是1：4000000。 （2）从原点出发的是一条直直的射线，故图上距离和实际距离成正比例。 （3）1040000000（厘米） 40000000厘米＝400千米 下午3：00＝15时 15时﹣10时＝5时 400÷5＝80（千米/时） 答：这辆小汽车平均每时行驶80千米。 故答案为：（1）1：4000000；（2）正。 【考点点拨】本题考查了比例尺的应用，正反比例的判断方法以及简单的行程问题的应用。 60．（2024•房山区）爷爷每天跑步锻炼的路线是：从家先向正西方向跑800米到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向跑600米到达体育场，最后从体育场沿一条直路直接跑回家（方格图中每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）这幅图的比例尺是 　1：20000　 ； （2）在图上标出体育场的位置，并补全爷爷每天跑步的路线； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是 　5　 厘米；爷爷每天跑步的实际距离共 　2400　 米。 【思路点拨】（1）根据比例尺＝图上距离：实际距离，代入数据解答即可； （2）爷爷从家出发，向正西方向走4厘米，到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向走3厘米，到达体育场，据此标出体育场的位置，再补全从体育场到爷爷家的路线即可； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是几厘米，再根据图上距离÷比例尺＝实际距离解答即可。 【完整解答】解：（1）800米＝80000厘米 4厘米：80000厘米 ＝4：80000 ＝1：20000 所以这幅图的比例尺是1：20000。 （2）作图如下： （3）经测量，爷爷家到体育场的图上距离是5厘米； （4+5+3） ＝12×20000 ＝240000（厘米） 240000厘米＝2400米 所以爷爷每天跑步的实际距离共2400米。 故答案为：（1）1：20000；（3）5；2400。 【考点点拨】本题考查的主要内容是比例尺的应用和根据方向和距离确定物体的位置问题。 61．（2024•交城县）人们常说“地下文物看陕西，地上文物看山西。”山西晋祠是现存最古老的皇家园林。其中周柏是晋祠“三绝”之一，树龄已超3000年。树高21.9米，主干直径约2米。如图是周柏主干横截面示意图，奇思把它12等分。 （1）量得如图中圆O直径是 　2　 厘米，这幅图的比例尺是 　1：100　 。 （2）树干上点B在点O 　北偏东　 　30　 °的方向上，距离点O 　100　 米。 （3）连接OB、AB，画出将三角形OAB绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （4）在示意图旁边画出这个周柏横截面按1：50缩小后的图形O′。 【思路点拨】（1）量得如图中圆O直径是2厘米，比例尺＝图上距离÷实际距离，由此解答本题； （2）利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 （3）找出三角形的三个顶点绕点O顺时针旋转90°后的点，依次连接，由此作图； （4）依据题意可知，缩小后的圆的直径是（2÷50）米，由此作图。 【完整解答】解：（1）量得如图中圆O直径是2厘米，2米＝200厘米，2：200＝1：100，这幅图的比例尺是1：100。 （2）360°÷12＝30°，树干上点B在点O北偏东30°的方向上，距离点O100米。 （3）如图： ； （4）圆的直径：2÷50＝0.04（米） 0.04米＝4厘米，如图： 。 故答案为：2，1：100；北偏东，30，100。 【考点点拨】本题考查的是比例尺，图形缩小以及根据方向和距离确定物体位置的应用。 重点难点考点16：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 62．（2024•宝安区模拟）在一个比例尺是50：1的图纸上，量得一个零件的长是5厘米，这个零件实际的长度是（　　） A．250厘米 B．10厘米 C．0.1厘米 D．0.2厘米 【思路点拨】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这个零件的实际长度。 【完整解答】解：50.1（厘米） 答：这个零件实际的长度是0.1厘米。 故选：C。 【考点点拨】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 63．（2024•任丘市）在比例尺是1：5000000的地图上，量得A，B两地的公路长是6cm．甲，乙两车同时从A，B两地相对开出，2小时后相遇．已知甲，乙两车速度的比是2：3，则甲车的速度是多少？ 【思路点拨】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的实际距离，再根据速度和＝路程÷相遇时间，求出甲、乙的速度和，再由“甲，乙两车速度的比是2：3”利用按比例分配的方法列式解答即可． 【完整解答】解：630000000（厘米） 30000000厘米＝300千米 300÷2 ＝60（千米/时） 答：甲车的速度是60千米/时． 【考点点拨】本题主要应用的知识点是：实际距离＝图上距离÷比例尺，速度和×相遇时间＝路程及利用按比例分配的方法解决问题．要注意单位的统一． 64（2024•江宁区） 如图是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出小明家到展览馆的实际距离，再根据分段计费的方法解答即可。 【完整解答】解：（12+6） ＝18×300000 ＝5400000（厘米） 5400000厘米＝54千米 11+1.2×（54﹣3） ＝11+1.2×51 ＝11+61.2 ＝72.2（元） 答：小明完成这次参观（单程）一共要花72.2元出租车费。 【考点点拨】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离．注意单位的换算。 65．（2024•忠县）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两城的公路长是9厘米．现有一辆客车和货车同时从甲、乙两城相对开出，客车每小时行100千米，货车的速度是客车的．两车出发多少小时相遇？ 【思路点拨】先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，求出甲乙两城之间的距离，再求出货车的速度，进而求出速度和，最后用总路程除以速度和就是相遇用的时间． 【完整解答】解：9 ＝54000000（厘米） ＝540（千米）； 100100 ＝80+100 ＝180（千米）； 540÷180＝3（小时）； 答：两车出发后3小时相遇． 【考点点拨】本题先根据比例尺求出总路程，再由相遇时间＝总路程÷速度和来求解． 66．（2024•唐县模拟）学校要建一个长80m、宽50m的长方形花坛。如果以1：2000的比例尺在纸上画出花坛的示意图，那么长应画 　4　 cm，宽应画 　2.5　 cm。 【思路点拨】要求长和宽的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，分别计算即可。 【完整解答】解：80m＝8000厘米 50米＝5000厘米 图上长：80004（厘米） 图上宽：50002.5（厘米） 答：长应画4cm，宽应画2.5cm。 故答案为：4，2.5。 【考点点拨】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 重点难点考点17：应用比例尺画图 67．（2024•永康市）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置． （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处． （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处． 【思路点拨】图上距离1厘米表示实际距离1千米，于是即可求出它们之间的图上距离，进而依据它们之间的方向关系，即可在图上标出它们的位置． 【完整解答】解：2÷1＝2（厘米） 3÷1＝3（厘米） 又因学校在小明家北偏东70°的方向上， 书店在小明家西偏南60°的方向上， 所以它们的位置如图所示： 【考点点拨】此题主要考查线段比例尺的意义，以及依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法． 68．（2024•威县）王爷爷家有一块一面靠墙、三面用篱笆围成的梯形菜地。梯形菜地的高是20m、上底是40m、下底是60m，按1：2000的比例尺画出来。 【思路点拨】利用比例尺和实际距离，计算梯形菜地图上的上底、下底和高的长度，再画图即可。 【完整解答】解：20米＝2000厘米 20001（厘米） 40米＝4000厘米 40002（厘米） 60米＝6000厘米 60003（厘米） 如图： 【考点点拨】本题主要考查比例尺的实际应用。 69．（2024•琅琊区）按要求画图并填空： （1）已知一块等腰三角形草坪底边长40m、高18m，请将它按比例画在如图的平面图上。 （2）该草坪画在图纸上的面积是 　14.4　 cm2。 【思路点拨】（1）根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出等腰三角形草坪在图上的底边和高的长度，结合题意分析解答即可。 （2）根据三角形的面积＝底×高÷2，求出草坪画在图纸上的面积即可。 【完整解答】解：（1）40米＝4000厘米 40008（厘米） 18米＝1800厘米 18003.6（厘米） 已知一块等腰三角形草坪底边长40m、高18m，将它按比例画在如图的平面图上，如图： （2）8×3.6÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（平方厘米） 答：该草坪画在图纸上的面积是14.4平方厘米。 故答案为：14.4。 【考点点拨】本题考查了比例尺的应用以及等腰三角形的画法、三角形面积公式的应用等知识，结合题意分析解答即可。 70．（2024•南平）如图，要在张家村和李家村之间修建一个垃圾综合处理站，经过环保部门的监测和选址，确定从垃圾综合处理站到两个村庄的距离皆为3千米。请你在下图中画出垃圾综合处理站的具体位置。（请保留作图痕迹） 【思路点拨】从垃圾综合处理站到两个村庄的距离皆为3千米，即垃圾综合处理站位于以张家村该点为圆心，半径为3千米的圆上；也位于以李家村为圆心，半径为3千米的圆上，两圆的交点即为垃圾综合处理站。据此作图。 【完整解答】解：如下图所示：A、B两点均符合题意。 【考点点拨】本题考查了画圆。 71．（2024•九江）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 【思路点拨】先根据比例尺的公式求出长方形的长和宽的图上距离，在画图即可。 【完整解答】解：140米＝14000厘米 120米＝12000厘米 （厘米） （厘米） 所画长方形的长是3.5厘米，宽是3厘米。 画图如下： 【考点点拨】熟练掌握图上距离＝实际距离×比例尺是解答本题的关键。 重点难点考点18：比例尺应用题 72．（2024•玄武区）课堂上张老师请小组同学讨论问题“如图图纸中长方形花园的实际面积是多少平方米？”。一个学习小组的三位同学分享了不同的想法，你觉得想法合理的是（　　） 乐乐：先算花园的图上面积，图上面积除以比例尺得实际面积。 华华：根据比例尺分别算出花园的实际长和实际宽，再相乘。 青青：我觉得你们说的两种方法都可以，得数应该是一样的。 A．乐乐 B．华华 C．青青 【思路点拨】依据题意可知，图上1厘米代表实际距离50米，计算出花园的实际长和实际宽，利用长方形的面积＝长×宽，计算实际面积。 【完整解答】解：花园的实际长＝图上长÷比例尺 花园的实际宽＝图上宽÷比例尺 实际面积＝（图上长÷比例尺）×（图上宽÷比例尺） 故选：B。 【考点点拨】本题考查的是比例尺的应用。 73．（2024•新县）在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为（　　）km。 A．120 B．1200 C．12000 【思路点拨】求图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数字，解答即可。 【完整解答】解：312000000（厘米） 12000000厘米＝120千米 答：这两城市间的实际距离为120km。 故选：A。 【考点点拨】此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者之间的关系进行解答。 74．（2024•德城区）2023年受台风“杜苏芮”影响，河北省涿州市遭受到罕见的特大暴雨洪水灾害，全国各地时刻关注灾情发展，伸出援助之手。张叔叔负责驾车从德州到河北运送物资，通过导航系统查得行程信息如图。 （1）德州到涿州实际距离有多远？ （2）张叔叔驾驶的货车出发了2小时一共行驶了140km。照这样的速度，张叔叔还要行驶多长时间能到达河北省涿州市？（结果用分数表示） 【思路点拨】（1）根据题意，用图上距离除以比例尺求出实际距离，据此列式计算即可； （2）先用实际距离减去140求出没有行驶的距离，再用这个距离除以速度即可。 【完整解答】解：（1）3.131000000（厘米） 31000000厘米＝310千米 答：德州到涿州实际距离有310千米。 （2）（310﹣140）÷（140÷2） ＝170÷70 （小时） 答：张叔叔还要行驶小时能到达河北省涿州市。 【考点点拨】解答此题要运用实际距离、图上距离和比例尺的关系。 75．（2024•福田区）项目式学习：中华文化行。 老师带领学生从深圳出发，前往历史悠久的甘肃开展中华文化研学活动。请你一起完成其中的三项任务吧！ （1）任务一：在一张比例尺为1：20000000的地图上，量得深圳到甘肃的距离大约是12cm，两地之间的实际距离是多少千米？ （2）任务二：同学们计划早上8点出发，乘车去距离120千米的甘肃博物馆参观，汽车的平均速度约为80千米/小时，10点前能否到达？ （3）任务三：“马踏飞燕”是甘肃博物馆的镇馆之宝。本次研学活动的纪念品就是按照1：5的比例制作的马踏飞燕模型，这个模型的身高为6.9厘米，身长为9厘米，宽为2.6厘米。它的实际身高、身长和宽分别是多少厘米？ 【思路点拨】（1）图上距离：比例尺＝实际距离，结合题中数据计算即可； （2）时间＝距离÷速度，由此计算行驶时间，由此解答本题； （3）实际身高＝模型身高×5，实际身长＝模型身长×5，实际身宽＝模型身宽×5，由此解答本题。 【完整解答】解：（1）12 ＝12×20000000 ＝240000000（厘米） 240000000厘米＝2400千米 答：两地之间的实际距离是2400千米。 （2）120÷80＝1.5（小时） 1.5小时即1小时30分 8时+1时30分＝9时30分，即9：30。 答：10点前能到达。 （3）6.9×5＝34.5（厘米） 9×5＝45（厘米） 2.6×5＝13（厘米） 答：实际身高34.5厘米、实际身长45厘米，实际身宽13厘米。 【考点点拨】本题考查的是比例尺，行程问题，正比例问题的应用。 76．（2024•东莞市）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？ 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺得出展览馆到少年宫和少年宫到小明家的实际距离，然后计算需要付多少车费。 【完整解答】解：展览馆到文化馆的距离：81600000（厘米） 1600000厘米＝16千米 文化馆到小明家的距离：4800000（厘米） 800000＝8千米 8+（16+8﹣3）×2 ＝8+21×2 ＝8+42 ＝50（元） 答：小明从家出发经文化馆去展览馆需要付50元车费。 【考点点拨】本题考查的是比例尺的实际应用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$