数学（江苏扬州卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（扬州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数是-2025的绝对值的是（   ） A． B． C．2025 D．-2025 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．【新考向】如图为某班35名学生投篮成绩的统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知此班学生投篮成绩的中位数是5，则根据图中信息，四名同学得到了以下结论： 甲：可以确定3球以下（含3球）的人数；乙：可以确定4球以下（含4球）的人数； 丙：可以确定5球以下（含5球）的人数；丁：可以确定6球以下（含6球）的人数． 四名同学中判断错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．某软件园成功研制一项高新技术，在一块生物芯片上集成若干个探针，每个探针的单位面积约为，用科学记数法表示 ． 10．若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 11．因式分解： ． 12．一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ． 13．《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得 ． 14．如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接点及边中点交直线于点．若正方形的边长为4，则线段 ． 15．习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 ．（计算结果保留） 16．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 17．如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为 ． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算或化简： (1)计算：； (2)化简：． 20．（8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 21．（8分）为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下： 收集数据（单位：min）： ，整理数据： 课外阅读的时间（min） 频数 1 5 a 5 分析数据： 平均数 中位数 众数 69 b c 根据上述数据回答以下问题： (1)表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有多少名？ (3)若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？ 22．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率； (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第四象限内的概率． 23．（10分）乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米? 24．（10分）如图，在中，点E是边的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 25．（10分）已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 26．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，矩形苗圃园的面积为． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？ 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点，与x轴交于点G． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E为直线下方抛物线上一动点，过点E作交于点M，轴交于点N，求当周长的最大时点E的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合，连接，点Q是新抛物线上一点，且满足，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 28．（12分）定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，过点，且与直线相切，为点和直线等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点和直线的等距圆，且与直线的切点为点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点，，既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆，求点的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点，为点和轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点，求出与的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点，为点和轴的等距圆，圆被轴分得的较大部分的弧长不小于周长的，直接写出点横坐标的取值范围______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（扬州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数是-2025的绝对值的是（   ） A． B． C．2025 D．-2025 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：-2025的绝对值的是2025， 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解： 直线， ． 故选：A． 5．如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质，由题意，结合圆内接四边形对角互补即可得到答案．熟记圆内接四边形对角互补是解决问题的关键． 【详解】解：是四边形的外接圆， ， ， ， 故选：C． 6．【新考向】如图为某班35名学生投篮成绩的统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知此班学生投篮成绩的中位数是5，则根据图中信息，四名同学得到了以下结论： 甲：可以确定3球以下（含3球）的人数；乙：可以确定4球以下（含4球）的人数； 丙：可以确定5球以下（含5球）的人数；丁：可以确定6球以下（含6球）的人数． 四名同学中判断错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】解读统计图，获取信息，根据定义求解． 本题重点考查了中位数的求法．结合图形的题目把所有数都按从大到小或从小到大的顺序排列起来，可以从图中从下往上找中间的一点（数据总数为奇数个）或两点（数据总数为偶数个）来找中位数，本题根据总数求出中位数应该是第几个数，再根据图中信息把会求出的人数求出来，再判断． 【详解】解：因为共有35人，而中位数是第18个数，所以第18个数是5，从图中看出第四个柱状图的范围在6以上，所以投4个球的有7人．可得：3球以下（含3球）的人数为10人，4球以下（含4球）的人数人，6球以下（含6球）的人数．故只有5球以下（含5球）的人数无法确定． 故选：C． 7．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，连接交于，可证，得，由勾股定理求得的长，求得的长，再根据，可得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于，如图，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 8．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象、偶次方的非负性，熟练掌握函数的对称性和增减性是解题关键．先根据函数的解析式可得，再根据函数的对称性可得，，，，从而可得，然后根据随的增大，减小，即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据要使为正数，则，结合为正整数可得，由此即可判断③正确． 【详解】解：∵，即， ∴函数图象关于直线对称， ∴， ∵函数图象关于直线对称，点，在这个函数图象上，且， ∴点和点关于直线对称， ∴， 同理可得：，，， ∴ ， ∵随的增大，减小， ∴随的增大而减小；则说法①正确； ∵， ∴，即无论取何值，的值都大于；则说法②正确； 要使为正数，即，则需，即， 又∵为正整数， ∴， ∴有唯一取值可使得为正数；则说法③正确； 综上，说法正确的个数是3， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．某软件园成功研制一项高新技术，在一块生物芯片上集成若干个探针，每个探针的单位面积约为，用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据科学记数法表示绝对值小于的数的方法写出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ． 【答案】20 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据频率估算出摸到黄球的概率为，再利用概率球数量即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4， ∴摸到黄球的概率为， ∴； 故答案为：20 13．《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键． 设买了好田为亩，坏田为亩，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案． 【详解】解：设买了好田为亩，坏田为亩， 根据题意得，， 故答案为：． 14．如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接点及边中点交直线于点．若正方形的边长为4，则线段 ． 【答案】1 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据作图得到垂直平分，进而得到为矩形，得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵为的中点， ∴， 由作图可知：垂直平分，设交于点， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：1． 15．习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 ．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 【答案】11米 【分析】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， ∵，米，， ∴米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度为11米． 故答案为：11米． 17．如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 设 可得，， 则点纵坐标为，则点横坐标为，由于的坐标为， 则，根据已知阴影为矩形，长为，宽为， 面积为，求出的值即可． 【详解】解：设， ， ， ，则， 由于在正方形中，， ∵为中点， ， ∴， ∵在反比例函数上， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在上， ∴点纵坐标为， ∵在反比例函数上， ∴点横坐标为：， ， ∵作轴于点M，轴于点， ∴四边形是矩形， ， ， 解得， 故答案为： ． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，对称的性质，解直角三角形等知识．作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接，证明，得到，当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长，解直角三角形求出，，进而求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接， ∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速度运动， ∴， 由对称的性质得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算或化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． （）根据负整数指数幂、算术平方根的定义、零指数幂分别计算，再合并即可求解； （）根据分式的性质和运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解法及把解集表示在数轴上，解决此题的关键是注意计算正确性；先根据解不等式的步骤，分别解出不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的原则取得不等式组的解集． 【详解】解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上为： 21．（8分）为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下： 收集数据（单位：min）： ，整理数据： 课外阅读的时间（min） 频数 1 5 a 5 分析数据： 平均数 中位数 众数 69 b c 根据上述数据回答以下问题： (1)表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有多少名？ (3)若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？ 【答案】(1)9，70，70 (2)估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名 (3)小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生 【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据中位数和众数的定义可得b、c的值； （2）用总人数乘以样本中课外阅读时间在60分钟及以上的学生人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义解答即可．本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． 【详解】（1）数据（单位：min）： ， 一共有20个， 故， 中位数，众数为70， 故答案为：9,70,70． （2）（名）， 答：估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名． （3）由数据的中位数为70分， ， 故小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生． 22．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率； (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第四象限内的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式进行求解即可； （2）根据列表法可知共有12种等可能的情况，进而问题可求解． 【详解】（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率； （2）解：画列表为： 共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种 所以点落在第四象限内的概率． 23．（10分）乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米? 【答案】南南步行的速度是每分钟80米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，然后根据题意可得方程，进而求解即可 【详解】解：设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：南南步行的速度是每分钟80米． 24．（10分）如图，在中，点E是边的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形． 25．（10分）已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． （1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线； （2）连接，证明得出，设，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， 的半径为，， ，， ， ∴， ， ， ， 设，， 在中，， 即，解得，， ． 26．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，矩形苗圃园的面积为． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)17 (2)当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元二次方程的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键． （1）根据题意可求出，根据长不能为0，且小于等于可求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出y与x的函数关系式；将代入（1）所求函数关系式求解即可； （2）将（1）所求函数关系式改为顶点式，结合x的取值范围和二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可求出， ∵，即， ∴x的取值范围是． 由矩形的面积公式可知，即， ∴y与x的函数关系式为； 若苗圃园的面积为，即， ∴， 解得：（舍）， ∴x的值为17； （2）解：， ∵，且， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是． 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点，与x轴交于点G． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E为直线下方抛物线上一动点，过点E作交于点M，轴交于点N，求当周长的最大时点E的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合，连接，点Q是新抛物线上一点，且满足，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得出直线的解析式为，求得周长，当最大时，周长最大，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出，由平移的性质可得，分两种情况：当点在的下方时，作轴于，证明，设，则，，解直角三角形即可得解；当点在的上方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于，由轴对称的性质可得，此时满足，符合题意，设，则，求出，求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，得：， ∴， 将点C的坐标代入直线的解析式得：， ∴， 当时，得：， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴，， ∴周长， ∵， ∴周长随长度的增大而增大， ∴当最大时，周长最大， 设，则， ∴， ∵，， ∴时，最大，此时，即； （3）解：在中，当时，，解得， ∴， ∵将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合， ∴原抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在的下方时，作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴，即， 解得：或（不符合题意，舍去），此时； 当点在的上方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，此时满足，符合题意， 设，则，且的中点在直线上， ∴， 解得：或（舍去），即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（不符合题意，舍去）或，此时， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 28．（12分）定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，过点，且与直线相切，为点和直线等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点和直线的等距圆，且与直线的切点为点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点，，既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆，求点的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点，为点和轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点，求出与的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点，为点和轴的等距圆，圆被轴分得的较大部分的弧长不小于周长的，直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】（1）见解析；（2）（3）；（4）或且 【分析】（1）连接作的垂直平分线，过点作的垂线，交于点，以为圆心为半径作圆，即为所求； （2）点，，到的距离相等，则在直线上，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）过点作轴的垂线，垂足为，则，，同（2）的方法得出函数关系式； （4）当圆被轴分得的较大部分的弧长等于周长的时，圆周所对的圆心角为，分和时，分别讨论，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求 （2）依题意，点，，到的距离相等，则在直线上 设， ∵既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆， ∴ ∴ 解得： ∴ （3）如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，则，， 依题意， ∵ ∴ 整理得： （4）当圆被轴分得的较大部分的弧长等于周长的时，圆周所对的圆心角为， 当时，设与轴的另一个交点为，当时，则为等腰直角三角形， 如图所示， 设，，则， ∴， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当在的上方时， ∴， ∵ ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 当轴与相切时， 联立 解得： ∴且 当时，同理可得且 综上所述，或且． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，新定义，圆与直线的位置关系，函数关系式，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第三次模拟考试（扬州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10 ． ___________________ 11. ________ __________ 12 ． __________________ 13. ___________________ 14. ___________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. __________________ _ 18. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （8分） 20 ． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （8分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25.（10分） 26.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27.（12分） 28.（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第三次模拟考试（扬州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10 分） 26.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12 分） 28.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第三次模拟考试（扬州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数是-2025的绝对值的是（   ） A． B． C．2025 D．-2025 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．【新考向】如图为某班35名学生投篮成绩的统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知此班学生投篮成绩的中位数是5，则根据图中信息，四名同学得到了以下结论： 甲：可以确定3球以下（含3球）的人数；乙：可以确定4球以下（含4球）的人数； 丙：可以确定5球以下（含5球）的人数；丁：可以确定6球以下（含6球）的人数． 四名同学中判断错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．某软件园成功研制一项高新技术，在一块生物芯片上集成若干个探针，每个探针的单位面积约为，用科学记数法表示 ． 10．若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 11．因式分解： ． 12．一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ． 13．《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得 ． 14．如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接点及边中点交直线于点．若正方形的边长为4，则线段 ． 15．习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 ．（计算结果保留） 16．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 17．如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为 ． 18．如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算或化简： (1)计算：； (2)化简：． 20．（8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 21．（8分）为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下： 收集数据（单位：min）： ，整理数据： 课外阅读的时间（min） 频数 1 5 a 5 分析数据： 平均数 中位数 众数 69 b c 根据上述数据回答以下问题： (1)表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有多少名？ (3)若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？ 22．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率； (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第四象限内的概率． 23．（10分）乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米? 24．（10分）如图，在中，点E是边的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 25．（10分）已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 26．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，矩形苗圃园的面积为． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？ 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点，与x轴交于点G． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E为直线下方抛物线上一动点，过点E作交于点M，轴交于点N，求当周长的最大时点E的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合，连接，点Q是新抛物线上一点，且满足，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 28．（12分）定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，过点，且与直线相切，为点和直线等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点和直线的等距圆，且与直线的切点为点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点，，既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆，求点的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点，为点和轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点，求出与的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点，为点和轴的等距圆，圆被轴分得的较大部分的弧长不小于周长的，直接写出点横坐标的取值范围______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（扬州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C A C C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9． 10． 11． 12．20 13． 14．1 15． 16．11米 17．12 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（8分） 【详解】解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上为： 21．（8分） 【详解】（1）数据（单位：min）： ， 一共有20个， 故， 中位数，众数为70， 故答案为：9,70,70． （2）（名）， 答：估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名． （3）由数据的中位数为70分， ， 故小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生． 22．（8分） 【详解】（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率； （2）解：画列表为： 共有种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有种 所以点落在第四象限内的概率． 23．（10分） 【详解】解：设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：南南步行的速度是每分钟80米． 24．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形． 25．（10分） 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， 的半径为，， ，， ， ∴， ， ， ， 设，， 在中，， 即，解得，， ． 26．（10分） 【详解】（1）解：由题意可求出， ∵，即， ∴x的取值范围是． 由矩形的面积公式可知，即， ∴y与x的函数关系式为； 若苗圃园的面积为，即， ∴， 解得：（舍）， ∴x的值为17； （2）解：， ∵，且， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是． 27．（12分） 【详解】（1）解：由题意可得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，得：， ∴， 将点C的坐标代入直线的解析式得：， ∴， 当时，得：， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴，， ∴周长， ∵， ∴周长随长度的增大而增大， ∴当最大时，周长最大， 设，则， ∴， ∵，， ∴时，最大，此时，即； （3）解：在中，当时，，解得， ∴， ∵将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合， ∴原抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在的下方时，作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴，即， 解得：或（不符合题意，舍去），此时； 当点在的上方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，此时满足，符合题意， 设，则，且的中点在直线上， ∴， 解得：或（舍去），即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（不符合题意，舍去）或，此时， 综上所述，点的坐标为或． 28．（12分） 【详解】解：（1）如图所示，即为所求 （2）依题意，点，，到的距离相等，则在直线上 设， ∵既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆， ∴ ∴ 解得： ∴ （3）如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，则，， 依题意， ∵ ∴ 整理得： （4）当圆被轴分得的较大部分的弧长等于周长的时，圆周所对的圆心角为， 当时，设与轴的另一个交点为，当时，则为等腰直角三角形， 如图所示， 设，，则， ∴， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当在的上方时， ∴， ∵ ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 当轴与相切时， 联立 解得： ∴且 当时，同理可得且 综上所述，或且． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$