精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2024-2025 学年第二学期高二年级期中教学质量检测 数学试卷 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将极限形式转化成导数，再对求导代入数值即可. 【详解】，则，得， 则. 故选：C 2. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值. 【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则， 由. 故选：C 3. 函数，的最小值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. +4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数、一次函数的性质判断的区间单调性，即可求最小值. 【详解】由在上单调递增， 所以. 故选：B 4. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 5. 已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断区间单调性及增长率变化情况，进而判断的符号及大小情况，即可得. 【详解】由图知，在上单调递减，且递减速度逐渐变慢，在上单调递增，且递增速度逐渐变快， 在上，则，在上，则， 所以. 故选：D 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 45 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，. . 故选：C. 7. 若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列定义推导关系，再由得到关系，最后通过化简变形和基本不等式求解即可. 【详解】因为数列是公比为的等比数列，则， 即，所以. 又因为，，则. . （当且仅当，即时等号成立.） 则的最小值为. 故选：D. 8. 若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ） A. B. 和的等比中项为 C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由题意可得B错误；由等比数列的性质可得C正确；由等比中项结合基本不等式可得D正确. 【详解】对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误； 对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点 C D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A、B，由导函数的图象及极值点的定义可判断其正误；对于C、D，由于极值是局部性质，极大值不一定比极小值大，故无法比较的大小，由此可得出答案. 【详解】由导函数的图象可知，在的左侧，；在的右侧，， 由极值点的定义可知是函数的极大值点， 同理可知是函数的极小值点，故A，B均正确； 由函数极值的定义可知，是极大值，是极小值， 而极值是局部的最大最小值，无法比较的大小，故C，D均错误； 故选：AB 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. C. 函数只有1个零点 D. 存在实数k，使得方程有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为， 因为， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，且在上单调递增， 所以，故B正确； 对于选项C：令，解得， 所以函数只有1个零点，故C正确； 对于选项D：令，则， 若，，方程成立； 若，则， 构建，则， 当时，；当或时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 当趋近于，趋近于0， 可得的图象如图所示： 当时，则与有3个交点， 即方程有3个根； 综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 【答案】11 【解析】 【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项. 【详解】设的公差为，则， 又是等差数列，，所以，则，且， 所以，可得，故， 所以，则. 故答案为：11 13. 已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前六项的和计算即可. 【详解】设等比数列公比为，前项和为，根据题意， 所以， 由，得 ，即， 解得或， 当时，， 当时， 故答案为：或. 14. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性列出恒成立的不等式求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递减，得，， 而函数在上单调递增，则恒成立，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的值; （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为和. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，建立方程求解. （2）求导后分析导数的符号变化确定函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知x，则， 令，得或. 当和时，，所以在和上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 16. 已知函数在处取得极小值. （1）求a，b的值; （2）当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据极值的性质列式求，并代入检验即可； （2）根据（1）中的单调性分析最值即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得：，解得， 当时，则，， 当或时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. 【小问2详解】 因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 且，即， 所以当时，求的最大值为. 17. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以 18. 已知正项数列满足，且（）. （1）求的通项公式; （2）设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而有，写出通项公式，即可得； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，进而有恒成立，即可得结论并求出参数值. 【小问1详解】 ∵， ∴，则， ∴，又数列为正项数列， ∴，即， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，则； 【小问2详解】 ∵，则， 故 ∴， 则，故恒成立， ∴，解得， ∴存在满足条件. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解； （2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 当时，定义域为， 则， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则定义域为， 则， 令，恒成立， 在上单调递增，又，， ，使得，即，， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ， 且当时，，当时，， 由此可得图象如下图所示， 因直线恒过定点，且斜率为， 若恒成立，结合图象可知：必有，解得， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第二学期高二年级期中教学质量检测 数学试卷 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 3. 函数，的最小值为（ ） A B. 0 C. 5 D. +4 4. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 45 B. 9 C. 18 D. 36 7. 若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ） A. B. 和的等比中项为 C. 当时， D. 10. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点 C. D. 11. 已知函数，则以下结论正确是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B C. 函数只有1个零点 D. 存实数k，使得方程有4个实数解 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 13. 已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为____. 14. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的值; （2）当时，求函数的单调区间. 16. 已知函数在处取得极小值. （1）求a，b的值; （2）当时，求的最大值. 17. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 18. 已知正项数列满足，且（）. （1）求的通项公式; （2）设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$