精品解析：江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题

2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分． 2.答题前 ，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上 ，作答选择题必 须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑 .如需改动 ，请用橡皮擦干净后 ，再选涂其 它答案 ，请保持答题纸清洁 ，不折叠、不破损 . 第Ⅰ卷 （选择题 共 58分） 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知，那么（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某射手射击所得环数分布列如下表： 7 8 9 10 01 0.3 已知的数学期望，则的值为（ ） A 0.2 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 5. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（       ） A. B. C. D. 6. 设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 若随机变量下列说法中正确的有（       ） A. B. C. D. 10. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（       ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则点到直线的距离 11. 甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（       ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共 92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是__________. 13. 展开式中的系数为__________. 14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有________种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同安排方法． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展开式中的常数项． 16. 2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） （1）甲不在中间也不在两端站法有多少种? （2）全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种? （3）甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种? 17. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； （2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点. （1）求平面与平面夹角的余弦值. （2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，其中，． （1）若n＝8，，求的最大值； （2）若，求；（用n表示） （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分． 2.答题前 ，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上 ，作答选择题必 须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑 .如需改动 ，请用橡皮擦干净后 ，再选涂其 它答案 ，请保持答题纸清洁 ，不折叠、不破损 . 第Ⅰ卷 （选择题 共 58分） 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知，那么（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可得结果. 【详解】根据可得存在实数满足，即， 即可得，解得. 故选：D 3. 已知事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】利用条件概率公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：A． 4. 某射手射击所得环数的分布列如下表： 7 8 9 10 0.1 0.3 已知的数学期望，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质和数学期望公式列方程组可求出结果. 【详解】由表格可知，,解得. 故选：C 5. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型，结合排列和分步计数原理来进行计算即可. 【详解】记甲、乙、丙三位同学选到互不相同题目的事件记为， 则， 故选：C. 6. 设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的单调性可得，进而根据组合数的计算求解. 【详解】由题意可得或， 故，解得， 故选：D 7. 已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算可得，再由夹角以及模长运算即可得结果. 【详解】如下图所示： 根据题意可知令，且，； 可得 ； 所以 . 故选：D 8. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28． 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 故选：D． 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 若随机变量下列说法中正确的有（       ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二项分布的性质和期望和方差的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若随机变量，，则，故A正确； 对于B，期望，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 10. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（       ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则点到直线的距离 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，即可判断A；连接，利用△是等边三角形，求出的大小，即可判断B；利用向量法求平面与平面的夹角，即可判断C；采用等面积法，求解即可判断D． 【详解】选项A，因为，所以与，共面，即选项A正确； 选项B，连接， 因为，所以或其补角即为与的夹角， 因为，所以△是等边三角形，所以， 所以与夹角为，即选项B错误； 选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则,,，， 所以,1,，,2,， 设平面的法向量为,,，则， 取，则，，所以,1,， 易知平面的一个法向量为,0,， 设平面与平面夹角为， 则,， 所以，即选项C正确； 选项D，由对称性知，， 由勾股定理知，， 设到直线的距离为， 因为， 所以，解得， 所以到直线的距离为，即选项D正确． 故选：ACD． 11. 甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（       ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及全概率公式计算可得. 【详解】因为，，，故A正确； 若发生，则乙箱中有4个红球和3个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有3个红球，1个白球和3个黑球，所以，故B正确； 若发生，则乙箱中有3个红球和4个黑球，所以，故C错误； 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 （非选择题 共 92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，甲、乙解对题的概率分别是和 ，且甲、乙两人相互独立， 所以两人都解错的概率为. 故答案为：. 13. 展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】表示6个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【详解】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2， 此时的系数为； 类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2， 此时的系数为； 合并同类项，含的项为. 故答案为：. 14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有________种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法． 【答案】 ①. 540 ②. 100 【解析】 【分析】（1）首先将6位同学分成三组，分三类计算不同的情况，然后进行全排列.（2）去掉甲同学还有4位同学和乙同学共5位同学.根据乙不去涟水战役烈士纪念馆，可以按照去涟水战役烈士纪念馆的人数分为三类讨论，然后相加可得答案. 【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种. 根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. （2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种. 故答案为：540；100. 【点睛】解决分组分配问题的策略： （1）对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题. （2）对于整体均分，分组后一定要除以（n为均分的组数），避免重复计数. （3）对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展开式中的常数项． 【答案】（Ⅰ）10 （Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）前三项二项式系数分别为,由题意根据组合数的运算可求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,根据二项式的展开式,令的系数为0可求得的值,从而可求得其常数项． 试题解析：解析：（Ⅰ） （舍去）． （Ⅱ） 展开式的第项是， ， 故展开式中的常数项是． 考点：二项式定理． 16. 2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） （1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种? （2）全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种? （3）甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种? 【答案】（1）2880 （2）1440 （3）2400 【解析】 【分析】（1）根据排列中的特殊元素优先安排的思想先安排甲的位置，余六人全排即可得结论； （2）根据排列中不相邻元素采用“插空法”完成计数即可得结论； （3）根据要求分别计算甲、乙两人中间有2、3、4、5个人排法数，再根据分类加法计数原理得所求. 【小问1详解】 甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种， 故共有种； 【小问2详解】 先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法； 【小问3详解】 共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种， 甲、乙两人中间有3个人的排法有种， 甲、乙两人中间有4个人的排法有种， 甲、乙两人中间有5个人的排法有种， 则共有种排法. 17. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； （2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 【答案】（1）答案见解析 （2）甲的得分的均值与方差分别为 【解析】 【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列； （2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论. 【小问1详解】 一轮比赛中，甲得分的可能取值为， ， 则的概率分布列为： 【小问2详解】 甲在二轮比赛中的得分可能取值为， ， ， ， ， 所以甲的得分的均值为， 甲得分的方差为， 甲的得分的均值与方差分别为. 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点. （1）求平面与平面夹角的余弦值. （2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在满足题意点，且或． 【解析】 【分析】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （2）假设存在满足题意的点，且，然后由空间向量法求线面角，从而求得 【小问1详解】 中，，即，所以，， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问2详解】 假设存在满足题意的点，且，即， ， 设与平面所成角为， 则， 解得或， 所以存在满足题意的点，且或． 19. 已知函数，其中，． （1）若n＝8，，求的最大值； （2）若，求；（用n表示） （3）若，求证：． 【答案】（1）1792 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解； （2）由题意可得，两边求导，令可得解； （3）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可证． 【小问1详解】 ， ， 不妨设中，则 ， 中的最大值为； 【小问2详解】 若，，两边求导得， 令得，. 【小问3详解】 若，， ， 因为， 所以 ． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将化简为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$