精品解析： 山东省临沂市郯城县2024--2025学年 八年级下学期期中数学试题

山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 2. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，故无法构成直角三角形，本选项符合题意； C、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，掌握同类二次根式的加减法则以及二次根式的乘除法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法法则、除法法则、乘法法则计算即可． 【详解】A：，故选项错误 B：不是同类二次根式，不能合并；故选项错误 C：；故C选项错误； D：，故D选项正确 故选：D 4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意：平行四边形的判定定理有：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图， 、∵， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； B、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； D、根据可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形是平行四边形，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为， 故选C． 8. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 若最简二次根式与能合并成一项，则 C. 若，则 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】先写出各项的逆命题，根据平行四边形的性质，菱形的判定，同类二次根式的定义，以及二次根式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A．对边平行且相等的四边形是平行四边形的逆命题的逆命题是平行四边形的对边平行且相等，正确，故逆命题成立； B．若最简二次根式与能合并成一项，则的逆命题是若，则最简二次根式与能合并成一项，正确，故逆命题成立； C．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题成立； D．菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，错误（如筝形），故逆命题不成立； 故选D． 【点睛】本题考查逆命题，判断命题的真假，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理即可求出的值，继而再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 将沿翻折，点D落在边上处， ，， ， ， 设，则， 在中， ，即， 解得，即， ， 故选D． 10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确； ②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确； ③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确； 由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB，故①正确； 连接AE， ∵ABCE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确； ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点的距离计算，坐标系中两点的距离为，据此计算求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是， 故答案为：． 12. 化简：的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键，这里需注意是负数．根据二次根式的性质计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作交于点，连接．若的周长为7，则的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出为边的垂直平分线是解题的关键． 由平行四边形对角线互相平分和可知为边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， 又∵， ∴为边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 14. 已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为___________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理—如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意可得，，进而得到，，根据勾股定理的逆定理可得的形状． 【详解】解：， ，， ，， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 15. 如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，在对角线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，证明得，由平行线的判定即可得． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18. 如图，D、E、F分别是各边的中点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）连接，下列四个条件中：①；②；③四边形是矩形；④四边形是菱形、从①、②中选择一个作为条件，从③、④中选一个作为结论，组成一个真命题．证明你的结论．你的选择是：条件______，结论______． 【答案】（1） 四边形是平行四边形，理由如下： ∵，D、E、F分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 选择①为条件，③为结论：证明如下： 如图所示，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 选择②为条件，④为结论：证明如下： ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定： （1）根据三角形中位线定理得到，据此可证明四边形是平行四边形； （2）选择①为条件，③为结论，连接，由三角形中位线定理证明，即可证明③；选择②为条件，④为结论，由三角形中位线定理得到，即可证明④． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 20. 如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ． 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE=OF； （2）如图：连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再由可得OA=OC，再结合矩形的性质可得，然后根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求得AB的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接． ，， ， 在中，． ， ． 四边形是矩形， ， ． ，即， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解决此题的关键． 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】（1）米 （2）小明同学应该再放出8米线 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 22. 观察下列各个二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是_______； （2）根据你发现的规律，请计算； （3）根据你发现的规律，请计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确找出分母有理化因式是解答本题的关键． （1）根据分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案； （2）由题意将式子中的二次根式分母有理化，再进一步进行计算即可得到答案． （3）由题意将式子中的二次根式分母有理化，再进一步进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：； ； ； ∴ ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 23. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1） 解：AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°； 【小问3详解】 解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 若最简二次根式与能合并成一项，则 C. 若，则 D. 菱形的对角线互相垂直 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 12. 化简：的结果是_____________． 13. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作交于点，连接．若的周长为7，则的周长为___________． 14. 已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为___________． 15. 如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，在对角线上，且．求证：． 18. 如图，D、E、F分别是各边的中点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）连接，下列四个条件中：①；②；③四边形是矩形；④四边形是菱形、从①、②中选择一个作为条件，从③、④中选一个作为结论，组成一个真命题．证明你的结论．你的选择是：条件______，结论______． 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 22. 观察下列各个二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是_______； （2）根据你发现的规律，请计算； （3）根据你发现的规律，请计算：． 23. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $