精品解析：浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题

+绝密★考试结束前 高三数学 试题 考生须知： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别解不等式求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】由可解得，所以， 由可解得，又，所以， 所以. 故选：A． 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，然后结合复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】设， 则， 所以，，故， 故选：B． 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解. 【详解】已知单位向量，，故由得， 故，即，因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D． 4. “”是“函数的值域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由得，所以直线l过定点， 又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为， 方程又又方程不能表示直线,所以点A不能为， 所以点A的轨迹为圆的一部分. 故选：A． 6. 已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，得出的值，再利用得出. 【详解】由得，， 则，即， 则当时，（为奇数）或（为偶数）， 则交点坐标为（为奇数），（为偶数）， 则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形， 因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为， 则平行四边形的面积为，得， 由，得，即， 因为，所以. 故选： C 7. 已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件推出函数的周期，再求出一个周期内函数值的和，最后根据周期计算的值，进而确定满足的正整数的最大值． 【详解】由题，， ， 所以函数是周期为3的周期函数， 又，，， ，， ，， 所以满足的正整数n的最大值为2028． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对的位置进行分类讨论，再利用换元法结合余弦函数性质求解最值即可. 【详解】设，则， 当点P位于坐标原点时，； 当点P异于坐标原点时，可得， 而，，且， 故令，，且， 则， 由余弦函数性质得，故的最大值为，故B正确. 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用随机变量二项分布的期望、方差以及概率计算公式，逐项计算判断即可. 【详解】由题意，随机变量，， 对于A，故，，若，则，故A正确； 对于B，若，则， 化简整理得，即， 所以时，，故B错误； 对于C，由题意，，， 所以， 由得，， 故，即，故C正确； 对于D，由题意，， 则，解得，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. C. 的内切圆半径为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆定义可得，即可得离心率；对于B：利用余弦定理即可得结果；对于C：利用等面积法求内切圆半径；对于D：根据角平分线的性质分析判断. 【详解】对于选项A：设椭圆的焦距为， 由椭圆的对称性可知， 则，，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 所以 ， 即，故B错误； 对于选项C：因为，， 则， 所以， 又因为的周长， 设内切圆半径为r，则，故C正确； 对于选项D：由角平分线定理得，故D错误； 故选：AC． 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：运用线面垂直判断得到 垂直面，再用面面垂直判定得到平面平面即可. 选项B：由等腰直角三角形 三边关系得 长度，再由全等得 垂直面 ，四棱锥内切球在面 投影是 内切圆，用直角三角形内切圆半径公式求半径．选项C：取中点、，由面面垂直得垂直面，设，根据条件列方程求，进而求体积．选项D： 是 外接圆圆心，外接球球心是中点，结合内切球半径和 长度求． 【详解】对于A，因为，，平面PAD， 所以平面PAD，所以平面平面ABCD，A正确； 对于B，因为侧面PAD为等腰直角三角形，， 所以，， 因为平面PAD，平面PAD，则， 则为直角三角形，且，， 所以，易知平面， 该四棱锥的内切球在平面上的“正投影”为的内切圆， 设的内切圆半径为r，则， 所以四棱锥的内切球半径为，B正确； 对于C，分别取的中点E，F，连接则， 又平面截内切球所得的圆为大圆，且切点在上， 设，则，，， 所以，得， 所以四棱锥的体积，C错误； 对于D，易知E为的外接圆圆心，平面PAD， 又四边形为矩形， 所以外接球球心为为的中点，故，D正确． 故选：ABD． 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题S分，共15分．） 12. 已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，由列出关于与的方程，求解即得的值． 【详解】因为函数为奇函数， 当时,，由可得， 即 因是任意非零实数，则,解得,，故. 故答案为：. 13. 已知，且满足，则，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1， 则， 由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故可取的值为．当时，的取值为， 共有种情况；当时，的可能取值为，，， 共有种情况；当时，的取值为，， 共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况， 且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，M，N为别为棱PB，CD的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取AB中点E，连接ME、NE，易得、，根据线面平行、面面平行的判定及性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 取AB中点E，连接ME、NE， 因为底面为矩形，N为CD的中点，所以， 平面PAD，平面，则平面， 因为M为PB中点，所以， 平面，平面，则平面， 因为且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 由题，易知直线DA，DC，DP两两垂直， 以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， ，所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． 【小问2详解】 证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 17. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等． （1）若，求OA的长； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，然后在与中用余弦定理代入计算，即可得到，然后在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理代入计算，即可得到与相等或互补，然后分别讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 由题，， 因为和的外接圆半径相等， 由正弦定理得，所以， 设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 即， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以， 解得，即， 在中，由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 因为，所以，所以， 或， 若，则，此时， ， 易得，，不成立， 所以，故， 解得（舍）或， 因为，所以， 故． 18. 已知双曲线E：，且四点，，，中恰有三点在E上． （1）求双曲线E的标准方程； （2）如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且． （ⅰ）证明：Q，O，R三点共线； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4 【解析】 【分析】（1）根据双曲线对称性，、关于轴对称，必都在双曲线上.又因第一象限双曲线“上升”，判断不在双曲线上，确定、、在双曲线上.将这三点坐标代入双曲线标准方程，解方程组得出、的值，进而得到双曲线方程. （2）（i）设直线方程，由到直线距离得出与关系.联立直线与双曲线方程，根据韦达定理得到、表达式，进而求出，算出，得，同理，所以，，三点共线. （ii）由，推出，得到.面积是面积的倍，，利用均值不等式求出面积最小值. 【小问1详解】 由题，点，，，中恰有三点在E上， 根据双曲线的对称性，点，都在双曲线上， 又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点不在双曲线E上， 所以点，，为双曲线上的点， 代入得解得，， 所以E的标准方程为E：． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ：， 则，故， 把代入E：得：， 由题知，设，，则，， 则 ， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， （ⅱ）因为，，所以，所以， 所以， 由（ⅰ）知，， 又， 当且仅当时等号成立，所以， 所以面积的最小值为4． 19. 已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为． （1）求数列的通项公式； （2）当数列的项数为时，求的值； （3）若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出的值，由得，两式作差得出，再利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）列出数列的项，对的取值进行分类讨论，列举出、、的取值，即可得出的值； （3）由题意可得，可得出，，然后对为奇数和偶数两种情况进行讨论，列举出符合条件的数列，可得出的最小 【小问1详解】 由题，，解得， 由得，两式作差得，即， 所以，，，……，， 累乘得：，即， 因为，符合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 当数列的项数为4时，可知，，，， 若数列为数列的“异位数列”，则：当时，，，；或，，；或，，共3种情况． 同理当或时，对应的排列各有3种情况，所以． 【小问3详解】 因为数列为数列的“异位数列”， 所以，即，所以，所以， 当，时，若对任意的，都有，取等号， 此时，，…，，， 所以当，时，的最小值为， 当，时，的不可能取到等号，因为存在，使得， 将，，，，分为组， 不妨为，，……，，时， 可以取到等号， 此时，，……，，，，，， 此时， 所以当，时，的最小值为， 综上，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ +绝密★考试结束前 高三数学 试题 考生须知： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的值域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 8. 在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. C. 的内切圆半径为 D. 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题S分，共15分．） 12. 已知函数为奇函数，则________. 13. 已知，且满足，则，则______． 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，M，N为别为棱PB，CD的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 17. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等． （1）若，求OA的长； （2）若，求． 18. 已知双曲线E：，且四点，，，中恰有三点在E上． （1）求双曲线E的标准方程； （2）如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且． （ⅰ）证明：Q，O，R三点共线； （ⅱ）求面积的最小值． 19. 已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为． （1）求数列的通项公式； （2）当数列的项数为时，求的值； （3）若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $