精品解析：浙江县域联盟2026届高三第二学期模拟预测数学试题

2025学年第二学期高考模拟考 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数，则（ ） A. i B. －i C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得：，分母有理化得：. 2. 以为渐近线的双曲线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A：令，解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B：令，解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项C：令，解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故D错误. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，解得，所以， 又因为，所以， ，故C正确． 4. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 5. 若，则（ ） A. B. C. 12 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】可通过换元法将原式转化为关于新变量的二项式展开式，再根据二项式展开式的通项公式求出指定项的系数. 【详解】换元设，则，， 令，则的系数为． 6. 设数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由化简得到，令，得，则数列是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式，再逐一验证即可. 【详解】由题意，两式相减可得：， 化简得，即 令，得到，即，解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则. 7. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 8. 设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据题意得，再结合，，进一步转化为，再根据二次函数性质求解即可. 【详解】设，则．即， 则． 因为A在圆C上移动， 所以，当且仅当与反向时等号成立． 又． 则 ，当且仅当，时等号成立． 所以的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 10. 在等腰直角中，D是边AC的中点，E为斜边BC上的动点，则的可能值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则，利用余弦定理得到，设,，求导计算得到值域，即，进而求解即可. 【详解】设，则， 则由余弦定理，， 经计算， 设,，则， 令，得到， 在上，函数单调递增，在上，函数单调递减； 所以在内最大值为 又因为，，所以， 所以， 所以 11. 已知a，x，，，，则（ ） A. 当时， B. 存在实数a，使得 C. 对任意，都有 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当时，．即可判断；对于C，设，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据，即可判断,利用，即可判断。 【详解】对于选项A，当时，，所以，选项A正确． 对于选项B，当时，．选项B正确． 对于选项C，由题意，设，则． ，则． 故，当时，单调递减，． 故使，故选项C错误. 对于选项D由题意：，因为，所以， 另一方面：，因为， 即，所以，选项D正确， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设曲线在点处的切线方程为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，求导，代入，即得解 【详解】对函数求导得， 由已知可得，解得. 故答案为：1 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 可得， 因为，所以，化简得． 14. 如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】B的相邻容器：A、C，A的相邻容器：B、D，D的相邻容器：A、C，C到达后停止移动 解法一：(1)表示粒子在第3小时首次到达C，说明前2小时未到达C，第3小时到达C，到达每个容器的概率都为，以此进行计算； (2)分析粒子每小时运动到C的概率找规律，列出计算式，利用数列求和知识求出均值． 解法二：设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.分析，，，之间的递推关系，可求的值，再结合期望的关系，可求. 【详解】解法一：(1)第0小时，在B； 第1小时，只能到A，概率为； 第2小时，可能到B，可能到D，概率为； 第3小时，到C，概率为； 故； (2)由题意知；；；； ； 由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故； 奇数小时时： 由可知：， 即； 令， 则 将式两边同时乘以可得： 式减式可得：， ； 故，即． 解法二： 设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率， 分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率. 当时，则，，，， 则，因为，，则， 则，则，化简得． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明：由题意：， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系及等差数列的定义证明即可； （2）求出等差数列的通项公式可得到，分类讨论求的前n项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以， ， 记数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 综上所述：. 16. 为研究运动习惯对疾病N的预防效果，研究所通过统计，得到如下列联表： 运动习惯 疾病N 合计 未患病 患病 无运动习惯 85 65 150 有运动习惯 105 45 150 合计 190 110 300 （1）依据小概率值的独立性检验，分析运动习惯是否与患该疾病有关. （2）从300人中任选一人，A表示“选到的人有运动习惯”，B表示“选到的人患有疾病N”．《流行病学》中常用来研究某习惯导致的患病率，称为人群归因风险，请利用样本数据，估计PAR的值，并解释其现实意义. 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为有运动习惯与是否患病有关 （2），如果所有人都有运动习惯，总人群患疾病N的概率会下降0.0667 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对作答. （2）由给定公式，利用条件概率公式计算得到即可求解. 【小问1详解】 零假设为：运动习惯与患病之间无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为有运动习惯与是否患病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 ， 如果所有人都有运动习惯，总人群患疾病N的概率会下降 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； （3）设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面ABCD， 所以四棱锥的体积为：. 【小问2详解】 因为平面ABCD，， 所以可将三棱锥补成长方体，则过四点的外接球即为长方体的外接球， 所以为长方体体对角线的中点， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以， 设异面直线BC与OD所成角为， 所以. 所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设，则，， 由题意平面ABP的法向量， 设平面MBP的法向量为， 所以， 令，则，， 所以， 因为平面ABP与平面MBP的夹角为， 所以， 整理得， 所以， 所以当时，， 所以． 18. 已知函数，， ． （1）求证：函数的图像是轴对称图形； （2）当 时，求函数的最大值； （3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意：， 所以函数是偶函数， 所以函数关于y轴对称，函数的图像是轴对称图形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求 得函数为偶函数，得证； （2）求导，得到函数极值点，根据单调性求出最大值； （3）分 和 两类讨论，当 时利用导数直接求出单调区间； 时，令，利用导数和极限分析，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当 时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值， 又 ， ， 设，则 ， 所以在区间上单调递减，当时， ， 所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增， 所以 ． 【小问3详解】 类似（2）可知： ， 当 时， ，所以在区间单调递减， 当时， ，所以在单调递减，由是偶函数， 所以在单调递增； 另一方面，当 时，设 ，，， ，所以在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递减， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 且 ， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 由于是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意， 综上所述，实数a的取值范围是 . 19. 已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． （1）求C的标准方程； （2）设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）方法1：设斜率为k，则直线的方程为，代入， 化简得，得，， 设直线方程为代入，化简得，， 则， 则， 所以得证； 方法2：设，，则， 化简得，代入半角公式得 ， 化简得，则，， 则， 则，， ， 所以得证； （ii） 【解析】 【分析】(1)设椭圆上动点,写出左右顶点,上下顶点坐标，把直线斜率表示出来，列出关系化简即可求解； （2）（i）设直线方程，与椭圆联立，用韦达定理求出的坐标，同理求出点的坐标，分别表示出直线的斜率即可证明结论； （ii）结合几何关系分别表示出和的面积，化简即可求解 【小问1详解】 设，则 又，所以，即， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii）方法1：（代数） 由（ⅰ）得，则， 则得， 因为， 则 设，则， 则，化简得， 化简得， 可见，H的轨迹为椭圆. 当H接近时，即P接近时，接近0， 又直线为，则H到直线的距离为， 则 当，时取得等号，所以， 则 方法2：（几何） 因为Q在椭圆上，则，又， 则，则，则， 又平行，则 则 又，且则 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高考模拟考 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数，则（ ） A. i B. －i C. D. 2. 以为渐近线的双曲线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 12 D. 192 6. 设数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 在等腰直角中，D是边AC的中点，E为斜边BC上的动点，则的可能值为（ ） A. B. 3 C. D. 11. 已知a，x，，，，则（ ） A. 当时， B. 存在实数a，使得 C. 对任意，都有 D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设曲线在点处的切线方程为，则___________. 13. 已知，，则______. 14. 如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在 容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 16. 为研究运动习惯对疾病N的预防效果，研究所通过统计，得到如下列联表： 运动习惯 疾病N 合计 未患病 患病 无运动习惯 85 65 150 有运动习惯 105 45 150 合计 190 110 300 （1）依据小概率值的独立性检验，分析运动习惯是否与患该疾病有关. （2）从300人中任选一人，A表示“选到的人有运动习惯”，B表示“选到的人患有疾病N”．《流行病学》中常用来研究某习惯导致的患病率，称为人群归因风险，请利用样本数据，估计PAR的值，并解释其现实意义. 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； （3）设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 18. 已知函数，， ． （1）求证：函数的图像是轴对称图形； （2）当 时，求函数的最大值； （3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． （1）求C的标准方程； （2）设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $