精品解析：江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出其共轭的虚部. 【详解】衣题意，，， 所以的虚部为. 故选：B 2. 已知向量则两向量之间的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】解：因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以， 故选：C 3. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可. 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 4. 下列关于向量，说法正确是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为钝角 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于，当时与不一定共线；对于，当时不一定等于；对于，当时，满足；对于，根据向量的运算性质即可判断. 【详解】对于，当时，满足，但与不一定共线，故错误； 对于，当时，，但不一定等于，故错误； 对于，当时，满足，此时与夹角不钝角，故错误； 对于，根据向量的运算性质可知，故正确. 故选：D. 5. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数及二次函数求出值域. 【详解】函数，而， 则当时，有；当时，有， 所以的值域为. 故选：C 6. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的几何图形，求出在方向上投影的数量，再利用数量积的定义求出范围. 【详解】令在方向上投影的数量为， 当点在线段上时，；当点在线段上（不含点）时，； 当点在线段上（不含点）时，， 则当点在折线上时，， 同理当点在折线上时，， 因此点为六边形边上运动时，， 于是， 所以的取值范围为. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别平方后相加即可求，再用二倍角公式求解即可. 【详解】 ① ② ①＋②得： ， ， 故选： 8. 在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（ ） A. 若为纯虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由纯虚数的定义，求出的值，即可判断A；由复数表示的点所在象限，求出的范围，即可判断B；由题意求得，求出的值，即可判断C；由题意可得，再求出，即可判断D. 【详解】对于A，因为为纯虚数， 所以，解得，故A错误； 对于B，因为复平面内表示复数的点位于第四象限， 所以，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，解得，所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】在矩形中，以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 由，得，， 对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：AD 11. 尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操作步骤完成几何图形的构造.已知中，，现需用尺规作图作出该三角形，下列说法正确的有（ ） A. 可以作出两个不同的三角形 B. 作出的三角形中没有锐角三角形 C. 作出的三角形中，三角形的面积不变 D. 作出的三角形中，可能为锐角，也可能为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理确定三角形的个数，再逐项判断. 【详解】在中，，由正弦定理得， 由，得，由，得或， 因此可以作出两个不同的三角形，可能为锐角，也可能为钝角，AD正确； 当时，，是钝角三角形；当时，是钝角三角形，B正确； 当时，；当时，， 的面积有两个不同值，C错误. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由投影向量的坐标表示求出即可. 【详解】由题意可得， 在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系及正余弦齐次式法求得目标值. 【详解】由，得. 故答案为： 14. 在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用共线向量定理的推论及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由是边上靠近四等分点，得，则， 而，则，由共线，得， 又，因此，当且仅当时取等号， 因此，， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足与的夹角为. （1）求； （2）当为何值时，向量与垂直？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求出模. （2）利用垂直关系的向量表示列式，再利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由与的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 由向量与垂直，得 ，解得， 所以当时，向量与垂直. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的周期，最大值，最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解. （2）由（1）求得，再利用诱导公式及二倍角余弦公式求解. 【小问1详解】 向量， 则， 所以函数的周期为，最大值为2，最小值为. 【小问2详解】 由，得， 所以. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求角； （2）若的平分线与边交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件限制出的范围，并求出，然后在中利用正弦定理即可； （2）先证明角平分线定理并得出，，再利用余弦定理得出的值，即可利用面积公式求解. 【小问1详解】 因，且， 则且， 在中利用正弦定理得，，即，得， 因，则或， 若，则，不符合题意；若，则， 故. 小问2详解】 因是的角平分线，且， 则，则， 在中利用余弦定理得，， 得，则， 则的面积. 18. 在中，角的对边分别为为锐角三角形，已知，且满足条件. （1）求的大小； （2）求取值范围； （3）求的内切圆半径的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理，结合和差角的正余弦公式求出的范围. （3）利用三角形面积公式可得，结合（2）中信息求出最大值即可. 【小问1详解】 由，得， 在锐角中，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则，令，由锐角，得， 由正弦定理得，则， 因此 ， 由，得，则，， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 19. 设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若且与的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值. 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用数量积的定义及运算律求出；②由表示出和及，再利用夹角公式建立方程求解. （2）设出点的坐标，用表示，利用数量积的运算律，结合正余弦定理及三角恒等变换求出最大值. 【小问1详解】 ①由，得， 则， 所以； ②由，即， 得， ， ， 由与的夹角为，得，得，而， 所以. 【小问2详解】 依题意，设，， ，在中，由余弦定理得， 由为中点，得， 由为中点，得， 则 ， 在中，由正弦定理得， 设，则， ，其中锐角由确定， 由，得，则当时，， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知向量则两向量之间的夹角为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 下列关于向量，说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为钝角 D. 5. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（ ） A. 若为纯虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操作步骤完成几何图形的构造.已知中，，现需用尺规作图作出该三角形，下列说法正确的有（ ） A. 可以作出两个不同的三角形 B. 作出三角形中没有锐角三角形 C. 作出的三角形中，三角形的面积不变 D. 作出的三角形中，可能为锐角，也可能为钝角 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为_______. 13. 已知，则__________. 14. 在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足与的夹角为. （1）求； （2）当为何值时，向量与垂直？ 16. 已知向量，函数. （1）求函数的周期，最大值，最小值； （2）若，求值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求角； （2）若的平分线与边交于点，且，求的面积. 18. 在中，角的对边分别为为锐角三角形，已知，且满足条件. （1）求大小； （2）求取值范围； （3）求的内切圆半径的最大值. 19. 设是平面内相交成两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）仿射坐标系中 ①若，求； ②若且与的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$