精品解析：江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. （ ） A B. C. D. 2. 复数.则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在中，已知角，的对边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程的解在内，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则______. 13. 已知是第二象限角，且，则______． 14. 已知平面向量，满足 ，且， 与夹角余弦值最小值等于 _________ . 四、解答题（本大题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实数取何值时，复数是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）0? 16. 已知向量，． （1）若，求值； （2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 17. 若，均为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，且边边上的中线长，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围. 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为 （1）求函数的“伴随向量”的坐标； （2）在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，. （i）求周长的最大值； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】， 故选：C． 2. 复数.则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，即可得虚部. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部是. 故选：D. 3. 已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 4. 在中，已知角，的对边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解作答. 【详解】在中，，，，由正弦定理得， 所以. 故选：A 5. 已知方程的解在内，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算. 【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点， ∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内， 故. 故选：B. 6. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两角差的正弦公式求出，进而利用两角和的正弦公式得，最后利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：B. 8. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“最美三角形”的概念可知，，利用建立的关系，即可求解. 【详解】由题意，，，、， 且， 所以，即， 所以，即， 所以. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换逐个选项计算即可. 【详解】对A，因为， 故，故，故A正确； 对B， ，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC． 11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据模长公式即可求解A,根据投影向量的计算公式即可求解B,根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解CD. 【详解】由题意，所以，故A正确； 因为，所以在上的投影向量为，故B正确； ，即，所以或，故C错误； 由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正确. 故选:ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用三角形面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以. 故答案为： 13. 已知第二象限角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果. 【详解】是第二象限角，， ，， . 故答案为：. 14. 已知平面向量，满足 ，且， 与夹角余弦值的最小值等于 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的运算律化简,结合题中所给模长用表示出,即可用表示出与夹角的余弦值;利用换元法令,由平面向量数量积定义及三角函数的值域,求得的范围.代入中求得m的取值范围.再根据平面向量数量积定义,用m表示出与夹角余弦值,即可由m的取值范围结合表达式的性质得解. 【详解】平面向,满足,则 因为 展开化简可得, 因为,代入化简可得 设与的夹角为 则由上式可得 而 代入上式化简可得 令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得 ,而 所以 由余弦函数的值域可得,即 将不等式化简可得,解不等式可得 综上可得,即 而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为, 则 当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大 所以当时, 的值最小 代入可得 所以与夹角余弦值的最小值等于 故答案为: 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合应用,根据向量的模求得向量夹角的表示形式,三角函数值域的有界性,由函数解析式及性质求最值,综合性强,属于难题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 实数取何值时，复数是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）0? 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【小问1详解】 当，即或时，复数是实数； 【小问2详解】 当，即且时，复数是虚数； 【小问3详解】 当即时，复数是0. 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及两向量垂直的条件即可求解; （2）根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件即可求解. 【小问1详解】 若，则， ， ，， ，，， ， . 【小问2详解】 向量与的夹角为锐角，则， ，， ，又， ，， 又当与的夹角为不符题意， ， ， 所以的取值范围为，，． 17. 若，均为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数基本关系式和二倍角的正切公式即可求解；（2）根据两角差的余弦公式以及三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 ，均为锐角，且，所以； 所以，故； 【小问2详解】 由于，均为锐角，所以， 由于，所以； . 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，且边边上中线长，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，又，所以，即可求解角. （2）结合利用余弦定理求得，然后三角形中线的向量形式得，平方化简求得，最后代入面积公式即可得解. （3）先根据锐角三角形的性质求得，然后利用正弦定理化边为角，再利用两角差的正弦公式及二倍角公式化简得，利用正切函数的单调性求得，再利用不等式性质即可求解. 【小问1详解】 在中，因为， 所以根据正弦定理得， 又，得， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由，由余弦定理得，解得. 又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知， 等式两边平方得，解得（负值舍）， 所以的面积. 【小问3详解】 因为锐角三角形，且由（1）知. 所以，即，解得. 由正弦定理得： . 因为，所以，所以， 所以， 所以的范围为. 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为 （1）求函数的“伴随向量”的坐标； （2）在中，角，，对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，. （i）求周长的最大值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦公式变形函数，再利用“伴随向量”的定义求出. （2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合基本不等式及二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 ， 所以函数的“伴随向量”为. 【小问2详解】 （ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得， 由，得，，则， 在中，由余弦定理得：， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为. （ⅱ）由（ⅰ）， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$