数学（四川成都卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） 数学·全解全析 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A． B．-2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “做”与“己”是相对面， “最”与“的”是相对面， “自”与“好”是相对面； 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘法公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 4．点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键．点到轴的距离为5，点的纵坐标是或，又因为点的横坐标是，从而得到点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离为5， 点的纵坐标是或， 点的横坐标是， 点的坐标是或． 故选：B． 5．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：A．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意； B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意； C．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意； D．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意； 故选： 6．在中，相交于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意； B、由对角线垂直的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意； C、如图， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意； D、∵平行四边形中，， 有， ∴，即， ∴四边形是矩形，故不能判定这个四边形是菱形，符合题意； 故选：D． 7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 8．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若m，n为实数，且m＝+8，则m+n的算术平方根为 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：依题意得：1﹣n≥0且n﹣1≥0， 解得n＝1， 所以m＝8， 所以m+n的算术平方根为：＝3． 故答案是：3． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，掌握运算法则是解题关键 10．方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验，时，， 分式方程的解为，故答案为：． 11．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，由弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∵的长， ∴“莱洛三角形”的周长等于的长． 故答案为：． 12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单随机事件概率的求法，根据公式求出答案即可； 【详解】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种， 所以根据概率公式即可求得, 故答案为：． 13．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为 ． 【答案】72 【详解】延长AC到点A'，使AC=A'C，连接A'B交EF于点Q，此时AQ+BQ的值最小，理由如下： 如图1，连接OA'，QA．∵AC⊥EF，AC=A'C，∴A，A'关于EF对称，∴OA=OA'，AQ=A'Q，AC=A'C=2，∴A'B=A'Q+BQ=AQ+QB，OA+OB=OA'+OB．∵OA'+OB>A'B，∴OA+OB>AQ+QB，∴AQ+QB的值最小，最小值a为线段A'B的长度，过点A'作直线A'M⊥BD交延长线于点M． 图1 ∵AA'⊥EF，BD⊥EF，A'M⊥BD，∴四边形CA'MD为矩形，∴A'C=DM=2，A'M=CD=4，∴BM=BD+DM=4+2=6，在Rt△A'MB中，由勾股定理，得A'B==2，∴a=2． 如图2，连接BA并延长交直线EF于点Q，此时|AQ－BQ|的值为最大，理由如下：∵|AQ－BQ|=AB，AB≥|OA－OB|，∴|AQ－BQ|≥|OA－OB|，∴最小值b为线段AB的长，过点A作AN⊥BD于点N． 图2 ∵AC⊥EF，BD⊥EF，AN⊥BD，∴四边形CDNA为矩形，∴AN=CD=4，DN=AC=2，∴BN=BD－DN=4－2=2．在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB==2，∴b=2，∴a2+b2=（2）2+=72． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：； 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 （2）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为． 15．年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： (1)求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； (2)若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； (3)若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】本题考查了统计与概率的知识．掌握概率公式∶概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）先根据D类人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个小组人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形； （2）从抽样调查中可知B(关注较多)的人数占抽样人数的比例可求该校“B(关注较多)”的学生人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人) C（关注较少）人数：(人) 画图为 （2）解：依题意得： B（关注较多）占抽样调查的学生总数比： B（关注较多）的学生人数：(人) 答：“B（关注较多）”的学生人数为人． （3）解：画树状图为∶ 共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度约为． 17．已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，先由等边对等角得到，再由直径所对的圆周角是直角推出，则可证明，即，据此可证明结论； （2）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （3）根据（2）所证，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为圆的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，D为△ABC内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，故答案为：． 20．已知和是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意可得，，原式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 21．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块 个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统． 【答案】 【分析】①由题意列出算式即可； ②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，再列式计算即可． 【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个； ②一个科技系统需个模块和个模块， 天两模块同时开发出数量最多， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， ∴每6天为一个循环，每6天组装套系统， ∵ 最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， 天最多能组装模块套系统． 天最多能组装模块套系统． ∴26太难最多能组装189套系统， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答． 22．在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】延长，过点作交于点E，证明 ，求出，，结合勾股定理求解即可得到答案；画出图形，连接，，先用勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明即可求出答案； 【详解】解：延长，过点作交于点E， ∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 如图所示，连接，， ∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，解题的关键在于根据题目要求画出旋转后的图形，再连接相应的线段，证明三角形相似，利用勾股定理和相似三角形的性质求出线段的长． 23．开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，进而由得，得到，即可判断①；由抛物线经过点，得，得，即得，又由对称轴得，可得，即可得，即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；由方程有两个不相等的实数根，可得抛物线与轴有两个不同的交点，根据根的判别式可判断④；综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线经过点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，故③错误； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， 即抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论的是②④，故答案为：②④． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．某服装店经销，两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种T恤衫进价每件上涨了5元，种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种T恤衫共150件，且种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍，设此次购进种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)元；(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组，不等式和函数关系式是解题的关键。 （1）设购进种T恤衫件，购进种T恤衫件，根据服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件列出方程组求解即可； （2）①设第二次购进种T恤衫件，则购进种T恤衫件，根据种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再根据利润等于单件利润乘以销售量分别求出两种T恤衫的利润，求和即可得到答案；②利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设购进种T恤衫件，购进种T恤衫件， 根据题意列出方程组为：， 解得， ∴全部售完获利（元）． （2）解：①设第二次购进种T恤衫件，则购进种T恤衫件， 根据题意， 解得， ∴ ； ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ∵，一次函数随的增大而减小， ∴当时，取最大值，（元）， ∵， ∴服装店第二次获利不能超过第一次获利． 25．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求△PEF的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或 【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． （1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式； （2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积； （3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令,则， 令，则， 解得， ∴，，， 假设直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴△ADE是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 当斜边最大时，的面积最大， 假设，， 求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值， ， 是等腰直角三角形， ， ∴的面积为； （3）解：分两种情况讨论， ①当为平行四边形的边时，则有，且， 如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中，， ， ， 点到对称轴的距离为3， 又， 抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得：或， 当时，代入，得：， 当时，代入，， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， 如图，设的中点为， ，， ， 点在对称轴上， 点的横坐标为，设点的横坐标为， 根据中点公式得：， ，此时， ； 综上所述，点的坐标为或或． 26．如图，在平行四边形中，O为的中点，直线l与边重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为，直线l于点M，直线l于点N，连接、． (1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转（）时，请直接写出、的数量关系是_______； (2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转（）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)若旋转角，当平行四边形为正方形，且边长为时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；(2)成立，理由见解析；(3)或 【分析】（1）如图，延长，交于点，通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出； （2）如图， 延长、， 交于点， 通过证明，再根据直角三角形中位线性质，进而证出； （3）情况：如图，逆时针旋转，先证出， 再根据直角三角形性质及勾股定理可求出长；情况：如图，顺时针旋转， 延长、交于点， 连接， 并过点作， 通过证明推出， 再通过证明， 推出为等腰直角三角形，再通过得出，最后可求出． 【详解】（1）延长，交于点， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵为中点， ∴， ∴在与中 ， ∴， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：成立，理由为： 延长、， 交于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵为直角三角形， ∴； （3）情况：如图，逆时针旋转， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴在中，， 同理， ； 情况：如图，顺时针旋转，延长、交于点，连接，并过点作 ， ， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴在中，， ， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查三角形全等证明、等腰三角形性质、勾股定理、平行线判定、直角三角形相关性质、正方形性质等知识点，根据题意做出正确的辅助线是解题的关键． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） 数学·参考答案 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B B D D B 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．3 10． 11． 12． 13．72 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）解：原式 （2）解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为． 15．（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人) C（关注较少）人数：(人) 画图为 （2）解：依题意得： B（关注较多）占抽样调查的学生总数比： B（关注较多）的学生人数：(人) 答：“B（关注较多）”的学生人数为人． （3）解：画树状图为∶ 共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16．解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度约为． 17．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为圆的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19． 20．2027 21． 22．或 23．②④ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（1）解：设购进种T恤衫件，购进种T恤衫件， 根据题意列出方程组为：， 解得， ∴全部售完获利（元）． （2）解：①设第二次购进种T恤衫件，则购进种T恤衫件， 根据题意， 解得， ∴ ； ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ∵，一次函数随的增大而减小， ∴当时，取最大值，（元）， ∵， ∴服装店第二次获利不能超过第一次获利． 25．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令,则， 令，则， 解得， ∴，，， 假设直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴△ADE是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 当斜边最大时，的面积最大， 假设，， 求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值， ， 是等腰直角三角形， ， ∴的面积为； （3）解：分两种情况讨论， ①当为平行四边形的边时，则有，且， 如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中，， ， ， 点到对称轴的距离为3， 又， 抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得：或， 当时，代入，得：， 当时，代入，， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， 如图，设的中点为， ，， ， 点在对称轴上， 点的横坐标为，设点的横坐标为， 根据中点公式得：， ，此时， ； 综上所述，点的坐标为或或． 26．解:（1）延长，交于点， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵为中点， ∴， ∴在与中 ， ∴， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：成立，理由为： 延长、， 交于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵为直角三角形， ∴； （3）情况：如图，逆时针旋转， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴在中，， 同理， ； 情况：如图，顺时针旋转，延长、交于点，连接，并过点作 ， ， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴在中，， ， 综上：的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 A卷 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 9 ． ____________ 10 ． ____________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 三、解答题（共 48 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 14．（12分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15．（8分） 16．（8分） 17．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（10分） B 卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 19 ． ____________ 20 ． ____________ 21 ． ______________ 22 ． ______________ 23 ． ______________ 24．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） 26．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） 数学·答题卡 A卷 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 5分，共 20分） 9．____________ 10．____________ 11．______________ 12．______________ 13．______________ 三、解答题（共 48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（12分） 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 15．（8分） 16．（8分） 17．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） B卷 一、填空题（每小题 5分，共 20分） 19．____________ 20．____________ 21．______________ 22．______________ 23．______________ 24．（8分） 25．（10分） 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( …… ………… ○…… ………… 内…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( …… ………… ○…… ………… 内 …… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A． B．-2025 C． D． 2．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15 6．在中，相交于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若m，n为实数，且m＝+8，则m+n的算术平方根为 ． 10．方程的解为 ． 11．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于 ． 12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是 ． 13．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：； （2）解不等式组：． 15．年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： (1)求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； (2)若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； (3)若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 17．已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求半径的长． 18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，D为△ABC内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，，则的长为 ． 20．已知和是方程的两个解，则的值为 ． 21．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块 个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统． 22．在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为 ． 23．开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．某服装店经销，两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种T恤衫进价每件上涨了5元，种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种T恤衫共150件，且种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍，设此次购进种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 25．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求△PEF的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 26．如图，在平行四边形中，O为的中点，直线l与边重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为，直线l于点M，直线l于点N，连接、． (1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转（）时，请直接写出、的数量关系是_______； (2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转（）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)若旋转角，当平行四边形为正方形，且边长为时，请直接写出线段的长． 试题第3页（共8页）试题第4页（共8页） 试题第1页（共8页）试题第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（四川成都卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A． B．-2025 C． D． 2．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15 6．在中，相交于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若m，n为实数，且m＝+8，则m+n的算术平方根为 ． 10．方程的解为 ． 11．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于 ． 12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是 ． 13．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：； （2）解不等式组：． 15．年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： (1)求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； (2)若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； (3)若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 17．已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求半径的长． 18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，D为△ABC内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，，则的长为 ． 20．已知和是方程的两个解，则的值为 ． 21．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块 个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统． 22．在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为 ． 23．开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．某服装店经销，两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进，两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种T恤衫进价每件上涨了5元，种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种T恤衫共150件，且种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍，设此次购进种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 25．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求△PEF的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 26．如图，在平行四边形中，O为的中点，直线l与边重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为，直线l于点M，直线l于点N，连接、． (1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转（）时，请直接写出、的数量关系是_______； (2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转（）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)若旋转角，当平行四边形为正方形，且边长为时，请直接写出线段的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$