精品解析：江苏省泰州市靖江市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列调查中，最适合进行抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 调查某市中学生的视力情况 C. 审核书稿中的错别字 D. 调查某班同学防溺水安全知识学习情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查，适合全面调查，故A不符合题意； B. 调查某市中学生的视力情况，适合抽样调查，故B符合题意； C. 审核书稿中的错别字，适合全面调查，故C不符合题意； D. 调查某班同学防溺水安全知识学习情况，适合全面调查，故D不符合题意； 故选：B． 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题关键，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子上中有个球，则白球出现的概率为，篮球出现的概率为，红球出现的概率为，黑球出现的概率为， 试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， 该种球的颜色最有可能是蓝色， 故选：C． 4. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据题意画出图形，由三角形中位线定理以及矩形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形的对角线，点G，F，E，H分别为边，，，的中点， 在中， 分别为，的中点， ， ， 在中， 分别为，的中点， ， ， ， ， 为平行四边形， 又∵在中， 分别为，的中点， ， 又，， ， ∴四边形为矩形． 故选B． 5. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的，得出随的增大而减小，再结合，进行作答即可．本题考查了一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：在一次函数中，， 随x增大而减小， 一次函数的图象过点，，且， ， 故选：A． 6. 如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案. 【详解】解：过点作于，于， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选: ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 _____（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件概念对选项进行判断即可． 【详解】解：∵①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件；④是随机事件； ∴确定事件是①③， 故答案为：①③． 【点睛】此题考查了随机事件、必然事件，解题的关键是熟悉随机事件、必然事件的概念． 8. 2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 9. 在中，若，则________°． 【答案】130 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，再利用平行四边形邻角互补得出，即可求得答案． 【详解】四边形是平行四边形，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键． 10. 用反证法证明“是无理数”时，第一步应该假设______． 【答案】不是无理数，是有理数 【解析】 【分析】利用反证法应先假设所证的结论错误，命题的反面正确，据此即可解答． 【详解】解：第一步应该假设：不是无理数，是有理数． 故答案为：不是无理数，是有理数． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 11. 设为正整数，且，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键．由，结合算术平方根即可确定n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为8． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点A按逆时针旋转后得到，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化——旋转．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，结合旋转的性质，可得出的长，再结合点A的坐标，即可求出点B1的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 13. 如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：3． 14. 如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________． （1） （2） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，点是的中点，点是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在上，连接．若为直角三角形，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，，，分类讨论：第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形，四边形是矩形，；第二种情况，如图所示，时，是直角三角形，过点作于点，作于点，，四边形是矩形，是等腰直角三角形，，；由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，点是的中点， ∴是等腰直角三角形，，， 第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∴是等腰直角三角形，，， 由旋转可得，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 第二种情况，如图所示，时，是直角三角形，过点作于点，作于点， ∴是等腰直角三角形，， 同理，，四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 综上所述，当为直角三角形，的长为或， 故答案为：或 ． 16. 如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，分别求出点P恰好在线段上和直线恰好经过点C时m的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点P恰好在线段上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，当直线恰好经过点C时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开立方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以3，再同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或． 18. 某校开展了学生的兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图． 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 30 20 40 请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）在扇形统计图中，求“阅读”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求，请说明理由． 【答案】（1）50，60 （2）“阅读”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数为 （3）这样的设立计划不能满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求，见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合应用，用样本估计总体，求扇形的圆心角等知识，解题的关键是： （1）用“围棋”兴趣活动的人数除以其所占的百分比，求出总人数，用总人数乘以“书法”兴趣活动占的百分比即可求出a，用总人数减去其余各组人数，即可求出b； （2）用乘以“阅读”兴趣活动占的百分比即可求解； （3）求出“剪纸”兴趣活动的学生的人数即可判断. 【小问1详解】 解：参加兴趣活动的人数为（人）， “书法”兴趣活动的人数为， “剪纸”兴趣活动的人数为（人）， 故答案为：50，60； 【小问2详解】 解：； 答：“阅读”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：不能， 理由：∵喜爱“剪纸”兴趣活动的学生的人数， ∴这样的设立计划不能满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形平移、旋转的性质，掌握图形变换是解题的管家． （1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标； （2）根据旋转的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标． 【小问1详解】 解：根据图形平移作图如下， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据旋转的性质作图， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在中，中线相交于点分别为的中点．求证：和互相平分． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据中位线的判定和性质得到，，可证四边形是平行四边形，得到，由此即可求解． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴和互相平分． 21. 如图，在中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接． （1）从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明； 你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可） （2）在（1）的条件下，当时，求的度数． 【答案】（1）条件为①，结论为②，证明见解析；条件为②，结论为①，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）条件为①，结论为②，由三线合一定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；条件为②，结论为①，由三线合一定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； （2）证明为的中位线，得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：条件为①，结论为②，证明如下： ∵，为上的中线， ∴， ∵，点F为中点， ∴， ∴； 条件为②，结论为①，证明如下： ∵，为上的中线， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵为上的中线，点F为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 23. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 24. 某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往、两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） 公司 1.8 1.6 公司 1.6 1.2 （1）若派往公司名技术员，余下的工作人员全部派往公司，求出这50名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）根据研发需要，50名工作人员派往公司40名，派往公司10名．请求出月工资总额的最小值． 【答案】（1），其中，且x为整数 （2）80万元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）若派往公司名技术员，则派往公司名技术员，30名操作员，根据工资情况列函数关系式即可． （2）设月工资总额为W元，派往公司名技术员，名操作员，则派往公司名技术员，名操作员，列出W随m的一次函数，即可求解． 【小问1详解】 解：若派往公司名技术员， 由题意知，，其中，， ，且x为整数， 即（万元）与（名）之间的函数表达式为，其中，且x为整数． 【小问2详解】 解：设派往公司名技术员，名操作员，则派往公司名技术员，名操作员， 设月工资总额为W元，则： ， ， W随m的增大而减小， ，且x为整数， 时，W取最小值， ． 即月工资总额的最小值为80万元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”． （1）若，则点的“伴随点”的坐标为 ； （2）若，求点的“伴随点”的坐标； （3）连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 【答案】（1） （2），点的“伴随点”的坐标为或 （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质可得点共线，，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，在中，，可证，得到；第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，可证是等腰直角三角形，，则，则，，所以；第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解． 【小问1详解】 解：直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，，如图所示， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据（1）的计算得到，，， 在中，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，，，，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，点的“伴随点”的坐标为或； 【小问3详解】 解：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 由（2）可得，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，垂直平分，是等腰直角三角形，，，， ∴； 综上所述，线段的长为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是关键． 26. 如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上． 【猜想证明】 （1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明． 【探索发现】 （2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：． 【拓展延伸】 （3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）的周长最小时线段的长为12 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，，旋转，得到，等边对等角，等量代换得到，8字形得到，平行线的性质，得到，等量代换得到即可； （2）易得四边形是正方形，连接，易得，等边对等角，等角的余角相等，推出，进而得到，作交于点H，得到，，即可得证； （3） 在上截取，连接，证明，得到当的周长最小时，的周长最小，根据的周长为，得到当点N，E，C共线时，的周长最小，证明，得到，过点A作于点Q，利用三角函数求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）． 证明：如图（1），连接，设交于点M． 四边形为菱形， ，，． 又， ， ，． ∵旋转， ， ， ， ． 又， ， ， ， ． （2）证明：四边形是菱形，由（1）可知：， 四边形是正方形， ，． 如图（2），连接，同法（1）可得：， ． 又，， ， ． 作交于点H，则，，， ∵， ， ∵，，， ∴， ． （3）如图（4），在上截取，连接． ， ， ． 又， ， 当的周长最小时，的周长也最小． 同（1）可知：， 的周长为， 当点N，E，C共线时，的周长最小，如图（5）． ， ， ， ． 过点A作于点Q，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形和特殊图形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合进行抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 调查某市中学生的视力情况 C. 审核书稿中的错别字 D. 调查某班同学防溺水安全知识学习情况 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 4. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 5. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 _____（填写序号）． 8. 2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 9. 在中，若，则________°． 10. 用反证法证明“是无理数”时，第一步应该假设______． 11. 设为正整数，且，则的值为______． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点A按逆时针旋转后得到，则点的坐标是__________． 13. 如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为_________． 14. 如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________． （1） （2） 15. 如图，在中，，点是的中点，点是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在上，连接．若为直角三角形，则的长为_________． 16. 如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某校开展了学生的兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图． 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 30 20 40 请根据统计表和统计图提供信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）在扇形统计图中，求“阅读”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求，请说明理由． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 20. 如图，在中，中线相交于点分别为中点．求证：和互相平分． 21. 如图，在中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接． （1）从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明； 你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可） （2）在（1）的条件下，当时，求的度数． 22. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 23. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 24. 某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往、两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） 公司 1.8 1.6 公司 1.6 1.2 （1）若派往公司名技术员，余下的工作人员全部派往公司，求出这50名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）根据研发需要，50名工作人员派往公司40名，派往公司10名．请求出月工资总额的最小值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”． （1）若，则点的“伴随点”的坐标为 ； （2）若，求点的“伴随点”的坐标； （3）连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 26. 如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上． 【猜想证明】 （1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明． 【探索发现】 （2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：． 【拓展延伸】 （3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $