重庆市2025届高三下学期学业质量调研抽测（第二次模拟考试）数学试卷

[机密]2025年 高2025届学业质量调研抽测（第二次） 4月19日前 数学试题 (数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分) 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置！ 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知全集U={L,2,3,4,5},集合M满足CM={1,2,5},则 A.3gM B.2∈M C.5∈M D.4∈M 2.从小到大排列的一组数据：80,86,90,96,110,120,126,134，则这组数据的下四分 位数为 A.88 B.90 C.123 D.126 3.已知命题p:a=-1,命题q:复数z=1-a2+(a-1)i(a∈R)为纯虚数，则命题p 是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为 A.20 B.24 C.30 D.36 第1页，共6页 5已知函数f)是定义在R上的偶函数。且f心在（一0）上为增函数，设a=月号， b=3,c=(-3)i,则f(a@,fb),fe)的大小关系是 2 A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(a)>f(c)>f(b) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b) 6,若函数f)=sin(@x+孕(@>0)在Q)上有且仅有1个零点和1个极值点，则0的取 值范围是 ca D. 7.已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点，直线1与抛物线C相交于A,B两点，且直线 OA,OB的斜率之积为-2，则点O到直线1的最大距离为 A.2 B.3 C.4 D.6 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,>0,4Sn=a1-2an1+1,将数列{an}与数列 忙-的公共须从小到大排列得到新数列仁，则是2 间C A. B. 80 4 c20 40 21 D. 21 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.已知0为△4BC内部的一点，满足OA+OB+0C=0,1OC=21OB=2, 0B.0C=0,则 A.1045 B.co8∠AOB= 5 C.14BE22 D.0=}B+4d 第2页，共6页 10.如图，已知正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长为2，侧棱长为4，点E,F分别为 D BB,DD的中点，则 A.AC,⊥CF A F B.平面EAC∥平面FAC C.三棱锥C-ECF的体积为； B D.四面体EACF的外接球的表面积为12π 第10题图 1.已知双曲线C:_上=1的左右顶点分别为A,B,双曲线C的右焦点为F,点M 3 是双曲线C上在第一象限内的点，直线MF交双曲线C右支于点N,交y轴于点P, 且PM=M正，PN=uNF.设直线MA,MB的倾斜角分别为a&,B,则 A.点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积 3-2 B.设R(4,I),则MR|+|MFI的最小值为√37-2 C.+4为定值 D.当2tanc+tanB取最小值时，△MAB的面积为2√6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(5x2-马5的展开式中的常数项是 13.过点P(-2,0)的直线1与曲线y=V-x2+2x+2有公共点，则直线I的斜率的最大 值为 14.已知函数fx)满足f(x+2)=f(x+1)-fx),且f0)=3,f(⑤=5， 2025 第3页，共6页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c,且csin A+√5 acosC=√3b. (I)求角A的值： (Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围. 16.(本小题满分15分) 某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测 量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径 [1.0,1.2） [1.2,1.4) 1.4,1.6) [1.6,1.8) 1.8,2.0] (单位：厘米) 零件个数 10 25 30 25 10 (I)经统计，零件的直径5服从正态分布W1.5,0.2282),据此估计这批零件直径在区 间[1.044,1.5]内的概率； (Ⅱ)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2,1.4)内的零件 个数为7，求刀的分布列和数学期望： (Ⅲ)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零 件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为 0.2,现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲 机器生产的概率， 参考数据：若随机变量5~N(4,σ2)，则P(u-≤5≤4+o)≈0.6827， P(4-2o≤5≤4+2o)≈0.9545，P(4-3o≤5≤4+3o)≈0.9973. 第4页，共6页 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形， 平面PAD⊥平面ABCD,E为侧棱PD的中点，O为AD的中点，M为线段PC上一点. (I)若点M为线段PC的中点，求证：直线OM∥平面PAB; (亚)若 PM=,且点B到平面ACE的距腐为25，求直线AM与平面PAB所 PC3 成角的正弦值 第17题图 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2-1+aln(1+x). （I)设过点(x,)且与曲线y=f(x)过此点的切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在 点(x,y%)处的法线.若曲线y=f(x)在点(0，-1)处的法线与直线3x-2y+1=0 平行，求实数a的值； (Ⅱ)当a=2时，若对任意x∈(-l,+o),不等式f(x)+x+2≤be+lnb恒成立， 求b的最小值： (Ⅲ)若f()存在两个不同的极值点x,x2,x<:2且f(:)<m心，求实数m取值范围。 第5页，共6页 19.(本小题满分17分) 已蜘椭腰E的中心为坐标原点，焦点在x箱上，离心率为三，点亿- 在椭圆E上 (I)求E的方程： (Ⅱ)过点T(,0)且斜率存在的两条直线h互相垂直，直线交E于4B两点，直 线L,交E于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点 2(gn,0),其中n∈N'. ①求qn; ②设椭圆E的上顶点为P,记△PT9的面积为Sn,令an=ln(9S),b1=b好+bn, 2 么=1，求证： ，3 n+1 -<1. 2b,-a3b2-a2(n+10b。-a 第6页，共6页 数学参考答案及评意见 一、选拜圆：本大思共8小题，每小题6分，共0分、 1-4:DACC 5-8:BACA 二、选择题：本大恩共3小恩，每小题6分，共18分.在每小圆给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分.选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.ACD 10.BD 11.BCD 三、填空题：本大圆共3小圆，每小圆5分，共15分 12.45 14.-J0 四、解答恩：本大愿共5小圆，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赛。 15.(I csin+3acosC=36. sinCsinA+V5sin0osC=5sinB,…2分 sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, sinCsin 4=V5 cos AsinC,'Ce(0,π)，sinC≠0，tanA=√5,5分 :Ae(0,π).A= 3 6分 (Ⅱ)由正兹定理得： - sin B"sinc6=nB、sn〔 )1 3cosC sinC sinC -2+2sinc Gbcs血口55L5osS上5】B -6 44 2 2sinC ,…10分 4 2 2tanC 4= 4MBC为脱角三角形0<B三只-C<7,且0<C< 3 <c<号.iamc>5 4…l2分 6 2 8 2 闻AMBC面积的取值范图C5V尽 82 3分 第1页，共6页 16.解：(1)零件的直径5服从正态分布N1.50.2282),则 P(4-2a≤5≤H+2a)=P0.5-2×0.228≤5≤15+2×0.228)=0.9545， ∴P1.044≤5≤1.S)=0.47725. …4分 (Ⅱ)由题意知，这批号件直径在1.2,1.4)的概率为三，1的取值为0，L,2,3,4, 则P=0=cr=8%n=0=cr9-器-器 P=4=C'=256 即7的分布列为： 0 1 2 3 y P 81 27 27 3 256 64 128 256 ……9分 ∴E(0)=0 .27 3 8+164 、27 +2× +3× +4× =1. …10分 256 128 64 256 设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件A,“抽取的零件为乙机器生产”记为事件A, “抽取的乎件为次品”记为事件B, 则P4)-子，P4)=}PB10=03.PB到4)=02， P8=P(4)P(B14)+P(4)P(B14)=2x0.3+x0.2= 1 3 15 …13分 2 P418)=P4-P4)Pa142_ ×0.3 3 3 P(B) P(B) 4 4 15 这个零件是甲机器生产的概率为 …15分 17.证明：(I)当点M为线段PC的中点时，取BP的中点N,连接MW.AW, N/BC,且MN=58C, ……2分 又O为AD的中点，底面ABCD是矩形， :A0WBC,且A0=BC, .MN∥AO,且N=AO, 第2页，共6页 四边形AON为平行四边形，.OMN,…5分 又OMa平面PAB,WC平面PAB,,OM∥平面PAB.…6分 (I)在平面ABCD内作OF∥AB,则OF⊥AD. ,平而PAD⊥平面ABCD.侧面PAD是边长为2的正三角形，O为AD的中点， P0⊥平面ABCD,……7分 如图所示，以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、：袖， 建立空间直角坐标系 食，离40-0，a,-0,ca0.Paa.Bo39 ÷C-a20.正=9丽=a0 没平面AC5的法向量为m=(:y,z): mAC= +2y=0 由 m·E=0 得3,5.取x=2,m=(亿-a5a)·官 z=0 2 ∴点8到平面4CE的距离为，m风。2025 解得a=2.…10分 |m√4+4a25 ÷西-.示=aw同写}5.-写2 设平面PAB的法向量为n=(:,,): 万·B=0[2x=0 由 得 P=0y+5x=0 取名=l,得平面8P的-个法向量为n=(0,-5,).…13分 设直线4M与平面PAB的夹角为6， 25 则in0cos<MA+ 3 2x428 3 :直线4M与平面PM6所成角的正弦值为 …l5分 8 第3页，共6页 18解：（1)由fx)=x2-1+aln1+x)得 f6到=2x+.a=2公+2x+0,x>-1,…2分 1+x 】+x ∴”(O)=a,曲线y=∫(x)在点(0，-)处的法线的斜串为-一， a 由照感知：日子=号 3 …5分 (Ⅱ)当a=2时，f(x)=x2-1+2ln0+x), ∴对任意x∈(-l,+oo),x2+x+1+2ln(1+x)≤be+lnb恒成立，即 (x+)+ln0+x)2≤be+ln(be)恒成立。…7分 设g(x)=x+nx,则8(0+x))sgbe).又g()=1+>0,g()在xe(0,+o)上单调道增. +x≤be,即b20+x,… e 令网=0+.x>-l.r=二x e 当-1<x<1时.（因单调递增。x>1时.(x)单调递减，1）的最大值为仙=4. e 4 b的最小值为.…………11分 皿由f(x)=x2-1+aln(0+x)得f'(x)=2x+ 2x2+2x+0,x>-1 +x1+x 令(x)=0,则2x2+2x+a=0有两个大于-1的解， △=4-8a>0 2-2+a>0·0<a<2 则 +=小，锅受 :%<6,5=2+4-@=+西，：0<a<月 4 2 、-5<为0 …13分 f(x)=2-1+aln1+x)=(-1-x2)2-l+2(-1-x)xn(-x) 为2+2x+2(-l-为3)xlh(-为)<mx3 第4页，共6页