6.2 无理数和实数课件 2024-2025学年 沪科版七年级数学下册

第6章 实数 6.2 无理数和实数（2课时） 第二课时 实数的运算 1 第二课时 实数的运算 目标素养 导航 2 内容要求 核心素养 （1）了解实数与数轴上的 点一一对应，能用数轴上的点表 示实数. （2）能借助数轴理解相反 数和绝对值的意义，会求实数的 相反数和绝对值. （1）通过了解实数与数轴上点 的关系，以及借助数轴理解相反数和 绝对值，形成和发展几何直观. （2）会求实数的相反数和绝对值，能进行实数的运算，能按要求进 行简单的近似计算，形成和发展运算能力. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 内容要求 核心素养 （3）能进行实数的运算， 能按要求进行简单的近似计算. （4）能比较实数的大小， 能用有理数估计一个无理数的大 致范围. （3）通过比较实数的大小及用 有理数估计一个无理数的大致范围， 形成和发展推理能力. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 第二课时 实数的运算 新知预习 导学 5 知识梳理 1.实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点__________，即每一个 实数都可以用数轴上的一个____来表示；反过来，数轴上的每一个点都 表示一个______. 一一对应 点 实数 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 2.实数的相反数、倒数、绝对值：在实数范围内，相反数、倒数、绝对 值的意义与在有理数范围内完全一样.如 的相反数是______，倒数是 _ __.任意一个实数 的绝对值仍然用____表示. 3.实数的运算：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运 算，正数及零可以进行开____方运算，任意一个实数可以进行开____方 运算.有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用. 平 立 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 4.实数的大小比较：两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右 边的点所表示的数总是______左边的点所表示的数.在实数范围内也有： 大于 （1）正数______零，负数小于零，正数大于负数. （2）两个正数，绝对值____的数较大. （3）两个负数，绝对值大的数反而____. 大于 大 小 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 课前自测 1.（巴中中考）在0，1，， 中最小的实数是( ). B A.0 B. C.1 D. 2.如图1，数轴上表示实数 的点可能是( ). 图1 C A.点 B.点 C.点 D.点 3.的相反数是______， 的绝对值是____. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2）.（精确到 ） 解：原式 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 第二课时 实数的运算 重点直击 导析 11 知识点一 实数和数轴上的点的对应关系 例1 如图2，面积为5的正方形的顶点 在数轴上，且表示的数为 若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点 表示的数为 _______. 图2 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 分析 解 因为正方形的面积为5，所以. 因为 ，所以. 因为点表示的数为，且点在点的右侧，所以点 表示的数为 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 方法指导 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，借助数轴上的点和数 的对应关系，结合线段的和、差计算，可以得到数轴上的某些点所表 示的数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 针对训练 1.点在数轴上表示的实数如图3所示，把点 向右移动2个单位长度到达 点，则点 表示的数为_______. 图3 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 知识点二 实数的相反数、倒数、绝对值 例2 求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1）2.4；（2） ；（3）；（4） . 分析 根据实数的相反数、倒数和绝对值的意义求解. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 解： 原数 相反数 倒数 绝对值 （1） 2.4 2.4 （2） （3） （4） 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 方法指导 求一个实数的绝对值，首先要判断这个数的正负性，再根据“非负 实数的绝对值等于它本身，负实数 的绝对值等于它的相反数”来求 解. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 针对训练 2.下列各数中，倒数等于本身的是( ). A A. B.2 C. D. 3.的相反数是______， _______. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 知识点三 实数的运算 例3 计算： （1）（精确到 ）； 分析先利用计算器求得平方根的值，计算后再按要求取近似值. 解：原式 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 （2） . 分析先化简， ，再去括号求出结果. 解：原式 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 方法指导 在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值 时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行 计算.取无理数的近似值时，一般比要求的精确度多取一位小数，最后 对计算结果四舍五入. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 22 针对训练 4.计算： （1）（精确到 ）； 解：原式 . （2） . 解：原式 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 知识点四 实数的大小比较 例4 比较下列各组数的大小： （1） 和6； 分析把6改写成带根号的形式，两个含同次根号的实数比较大小，被开 方数大的其值也大. 解：因为，而 ， 所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 （2）和 ； 分析只要比较出 与3的大小，就可得出结果. 解：因为 ，又 ，所以，即 . 所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 （3）和 . 分析两个负实数比较大小，关键是比较它们的绝对值的大小，绝对值小的负实数反而大. 解：因为， ， 又， ， 所以 . 所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 方法指导 对于非负数，被开方数越大，算术平方根越大，立方根也越大.即 若，则， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 针对训练 5.比较下列各组数的大小： （1）和 ； 解：因为，而，所以. 所以 . （2）6和 . 解：因为，而，所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 28 第二课时 实数的运算 素养达标 导练 29 基础巩固 1. 等于( ). A A. B. C.10 D. 2.（自贡中考）在0，，， 四个数中，最大的数是( ). C A. B.0 C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 30 3.如图4，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上， 则被覆盖的数可能为( ). 图4 C A. B. C. D. 4.（广西中考）写出一个比 大的整数，可以是_________________. （答案不唯一）2 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 31 5.近似计算（精确到 ）： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 32 6.比较下列各组数的大小： （1）和 ； 解：因为，，且 ，所以 . （2）和 ； 解：因为， ，且 ，所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 33 （3） 和0.25. 解：因为，又由，得 ，即 ，所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 34 能力提升 7.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式， 即：如果三角形的三边长分别为，，，记 ，那么面积 .若某个三角形的三边长分别为2，3，3， 其面积介于整数和之间，则 的值为( ). B A.2 B.3 C.4 D.5 提示：根据题意，得 .所以.因为 ，所以2.故 的值为3. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 35 8.如图5，数轴上的点，分别表示数2，.若点到点 的距离等于 点到点的距离，则点 表示的数是_________. 图5 提示：由题意可知，点到点的距离为，即点到点 的距离为 .所以点表示的数是 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 36 综合拓展 9.已知的整数部分为，小数部分为.求代数式 的值. 小锦囊 先估算出的值在哪两个相邻整数之间，再确定其整数部分 的值，则小数部分 . 解：因为，所以. 所以 的整数部分为3，小数部分为，即， . 所以 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 37 $$第6章 实数 6.2 无理数和实数（2课时） 第一课时 无理数 1 第一课时 无理数 目标素养 导航 2 内容要求 核心素养 了解无理数和实数的意 义；知道实数由有理数和无 理数组成，能对实数按要求 进行分类. 通过了解无理数和实数的意义，知道 实数由有理数和无理数组成，能对实数按 要求进行分类，形成和发展抽象能力. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 第一课时 无理数 新知预习 导学 4 知识梳理 1.无理数：无限不循环____数. 2.实数：______数和______数的统称. 小 有理 无理 3.实数的分类： （1）按照定义分类 整 循环 无理 不循环 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 （2）按照符号性质分类 无理 零 无理 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 课前自测 1.（福建中考）下列实数中，无理数是( ). D A. B.0 C. D. 2.判断正误（对的画“√”,错的画“×”） （1）不带根号的数一定是有理数. ( ) × （2）有限小数都是有理数. ( ) √ （3）无理数都是无限小数. ( ) √ （4）有理数和无理数构成实数.( ) √ 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 3.写出一个有理数_________________，写出一个无理数_____________ _______，它们都属于______. （答案不唯一） （答案不唯一） 实数 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 第一课时 无理数 重点直击 导析 9 知识点一 无理数 例1 下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，， （两个8之间依次增加一个 2），，， . 分析 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 解：是有限小数；，是分数； ，是分数； 2 （两个8之间依次增加一个2）是无限不循环小数； 中的 是无限不循环小数，不是整数；是无限循环小数； 是开方开不尽的数. 所以，，，是有理数， （两个8之间依次增加一个2），， 是无理数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 方法指导 在目前的学习中，常见的无理数主要有三种类型：①开方开不尽 的数，如；②含圆周率 的数，如 ；③有规律但不循环的无限小 数，如 （两个8之间依次增加一个2）. 像这样的数，虽然是分数的形式，但它的“分母” 不是 整数，是无理数，所以 不是分数，是无理数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 针对训练 1.下列各数中，属于无理数的是( ). D A. B.4.5 C.0 D. 2.在0，， ，， 中，无理数的个数是___. 2 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 知识点二 实数的分类 例2 把下列各数填入相应的集合内（各数之间用逗号隔开）： ，0，，， （两个1之间依次增加一个 0），，，，， . 正有理数集合：{…}； 非正整数集合：{…}； 负分数集合：{…}； 无理数集合：{…}； 正实数集合：{…}. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 分析 根据各数集包含的数的特点进行分类，注意将能化简的数先化简 再分类. 解： 正有理数集合：，，， ； 非正整数集合：，0，， ； 负分数集合：，， ； 无理数集合： （两个1之间依次增加一个0）， ， ； 正实数集合：， （两个1之间依次增加一个 0），，， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 方法指导 解决实数的分类问题时，一次只能按照一个标准来分，避免遗漏 和重复. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 针对训练 3.把下列各数的序号填入相应的集合内： ，，，，，， ， ，， （两个1之间依次增加一个0）. 负有理数集合：{__________…}； 整数集合：{________…}； 负分数集合：{________…}； 无理数集合：{______…}. ①⑤⑦⑨ ③⑧⑨ ①⑤⑦ ②⑩ 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 第一课时 无理数 素养达标 导练 18 基础巩固 1.（日照中考）实数，0，， 中无理数是( ). C A. B.0 C. D.1.732 2.下列各数中，属于负实数的是( ). B A. B. C. D. 3.下列说法正确的是( ). C A.是无理数 B. 是无理数 C.不是分数 D. 不是有理数 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 4.把，， 写成分数形式分别为_________，这3个实数中有理 数的个数为___. ，， 3 提示：.设，则.解得.设 ，则 .解得，则 .故这3个实数都是有 理数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 5.把下列各数的序号填入相应的集合内： ，，，，，， ， （两个3之间依次增加一个0），， . （1）负实数集合：{____________…}； （2）分数集合：{________…}； （3）无理数集合：{__________…}. ①③⑤⑥⑦ ①⑨⑩ ②⑤⑦⑧ 6.写出两个比4大的无理数：_________________________. （答案不唯一）， 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 能力提升 7.给出一组数：，，，，， ， ，将它们按下面的 方式进行排列： ，，，， ； ，，，， ； … 若的位置记为，的位置记为 ，则这组数中最大的 有理数的位置记为( ). A. B. C. D. 提示：排在第6行的第5个，其位置记为 ，故这组数中最大的有理数的位置记为 . C 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 22 8.下图是一个数值转换的原理图.（ 为非负实数） （1）当时，____；当时， ____. （2）是否存在输入值后始终不能输出 值的情况？如果存在，请直接 写出所有不能输出值的 值；如果不存在，请说明理由. 解：存在.当输入的值为0或1时，始终不能输出 值. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 综合拓展 9.探究与应用 【特例呈现】我们可以用“夹逼法”来估计 的大小. 因为， ， 所以 . 因为， ， 所以 . 因为， ， 所以 . 由此可得 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 【方法应用】仿照上面的方法，不借助计算器，判断下列近似计算 的结果是否正确，并说明理由. （1） ； 解：错误.理由：因为，即 ，所以. 故 是错误的. （2） ； 解：正确.理由：因为，即 ，所以. 故 是正确的. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 （3） ； 解：错误.理由：因为，即，所以 . 故 是错误的. （4） . 解：错误.理由：因为，即 ，所以. 故 是错误的. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 $$