精品解析：江苏省镇江市句容市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

八年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写答题卡在相应的位置上） 1. 年月日，中国航天员在太空中完成了长达小时的太空行走，打破了美国于年创造的世界最长单次太空行走纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一条不透明袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（ ）个． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 蛟龙去，灵蛇来．乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意吉祥如意，象征中华文化中绵延不断、生生不息的精神内核．小红想调查她所在学校学生对“巳”字寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级每个班中随机抽取的学生 4. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A 12 B. 16 C. 20 D. 24 6. 数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ） A. 两组对边平行 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 两组对边相等 7. 如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A 42 B. 46 C. 48 D. 50 10. 如图，在中，，D为边上一动点，E为平面上任意一点，若以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则的长最小为（ ） A. 12 B. 10 C. 9.6 D. 7.2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 12. 七（1）班期中数学考试成绩的最高分为98，最低分为30，如果把考试成绩绘制成直方图，组距为10，则应分的组数为______． 13. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是________． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，点为的中点，则线段的长为_________________． 16. 如图，在边长为4正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点C成中心对称的； （2）直接写出点的坐标为______； （3）的面积为______． 18. 近年来我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图． 某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图        （1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？ （2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率； 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 20. 如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求． （1）依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； （2）请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 24. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点． （1）求证：； （2）延长至G，使，连接，延长交于点P． ①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； ②在①的条件下，若，，求四边形的面积． 25. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写答题卡在相应的位置上） 1. 年月日，中国航天员在太空中完成了长达小时的太空行走，打破了美国于年创造的世界最长单次太空行走纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形能重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不能重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（ ）个． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可． 【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大， ∴黄球的数量要多于白球的数量， ∵袋子里白球和黄球共10个 ∴袋子里至少装6个黄球； 故选B． 3. 蛟龙去，灵蛇来．乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意吉祥如意，象征中华文化中绵延不断、生生不息的精神内核．小红想调查她所在学校学生对“巳”字寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键． 根据抽样调查的可靠性逐一进行判定即可出答案． 【详解】解：A．随机抽取该校一个班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故A选项不符合题意； B．随机抽取该校一个年级的学生，不能很好地反映总体的情况，故B选项不符合题意； C．随机抽取该校一部分女生，不能很好地反映总体的情况，故C选项不符合题意； D．分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生，能很好地反映总体的情况，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6. 数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ） A. 两组对边平行 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 两组对边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键．根据菱形的判定，以及平行四边形的性质定理判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形菱形， ∴她判定四边形为菱形依据是四条边相等． 故选：． 7. 如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键． 根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：A． 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 9. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，D为边上一动点，E为平面上任意一点，若以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则的长最小为（ ） A. 12 B. 10 C. 9.6 D. 7.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，当是平行四边形的对角线，且时，的长最小，和交于M，作于H，连接，由勾股定理，三角形的面积公式求出的长，即可解决问题． 【详解】解：当是平行四边形的对角线，且时，的长最小，和交于M，作于H，连接， 在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∴长的最小值是9.6． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 12. 七（1）班期中数学考试成绩的最高分为98，最低分为30，如果把考试成绩绘制成直方图，组距为10，则应分的组数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，首先计算极差，即计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数．首先计算出最大值和最小值的差，再利用极差除以组距即可． 【详解】解：∵最高分为98，最低分为30，如果把考试成绩绘制成直方图，组距为10， ∴， ∴应分的组数为7． 故答案为：7． 13. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质求得，结合角平分的性质求得，进一步利用平行四边形的性质求得即可． 【详解】解：，， 平分， ． ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和；由旋转的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和求出，即可求解；掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，旋转角为， ， ， 旋转角的度数为； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，点为的中点，则线段的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．根据矩形和角平分线的性质可得，，由此可得，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， 在中，， 点为的中点， ， 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案：②③． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点C成中心对称的； （2）直接写出点的坐标为______； （3）的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，坐标与图形；解题的关键是掌握中心对称变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质作出点，，的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系，写出点的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得，的面积为： ． 18. 近年来我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图． 某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图        （1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？ （2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率； 【答案】（1）80万辆 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和条形统计图的信息关联，理解题意是解题的关键． （1）从扇形统计图中可知，第二季度销售新能源汽车辆数所在扇形的圆心角为，从条形统计图中可知，第二季度销售了20万辆车，从而可以求出这个区域2024年度共销售新能源汽车的辆数； （2）从（1）中可知第一季度销售了万辆，将条形统计图补充完整．根据条形统计图中每个季度销售的新能源汽车辆数，求出所占的百分比，再补全扇形统计图即可； （3）根据解析（2）中结果求出第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率即可． 【小问1详解】 解：（万辆）， ∴这个区域2024年度共销售新能源汽车80万辆； 【小问2详解】 解：万辆， 第一季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 第三季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 第四季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 补全条形统计图和扇形统计图，如图所示：         【小问3详解】 解：根据以上信息，第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率为． 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． 【小问3详解】 摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． 【小问4详解】 当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 20. 如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明； （2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求． （1）依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； （2）请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】（1）四个角都是直角的四边形是矩形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； 【小问2详解】 解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 23. 如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点． （1）求证：； （2）延长至G，使，连接，延长交于点P． ①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； ②在①的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①当时，四边形是矩形；理由见解析；②24 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再利用证明即可； （2）①根据平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，结合，即可得证；②由三角形中位线定理得出，再由矩形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∵点E，F分别为，的中点， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，四边形是矩形； 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴． 同理可得， ∴， ∴． ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； ②∵，， ∴，． ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 25. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）30 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解； （）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分, ∴，， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 同（1）可证， ∴， 在正方形中，，， 由折叠知，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $