高二数学月考卷03（新高考通用）【测试范围：人教A版2019选必二导数+选必三全部内容】-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D D B A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一（满足能被6整除即可） 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题得；（3分） （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为；（6分） （3）列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 （8分） 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得，（11分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，（12分） 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题可得：，（2分） 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，，（5分） 解得：.（6分） （2）因为函数在区间上单调递减， 所以，在上恒成立，（8分） 即在上恒成立，（9分） 令， 则，（11分） 则在区间上单调递减，（12分） 所以，（14分） 所以，，即的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （5分） （2）（8分） ， （10分） （3）的展开式中，求含项的系数为（13分） （15分） 18．（17分） 【详解】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，（1分） 且，． （5分） X 0 1 2 3 P （6分） .（7分） （2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即．（8分） 第二步：求经验回归方程．其中，（9分） 由提供的参考数据，可知，又，故，（10分） 由提供的参考数据，可得，故．（11分） 当时，， 即估计其绩效等级优秀率为0.498． （12分） （ii）由（i）及提供的参考数据可知，（13分） 又，即，可得，即，（14分） 又，且， 由正态分布的性质，得，（16分） 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意可得，，（2分） .（4分） （2）设，则，，，， 以此类推可知，对任意的，，（5分） 则，（6分） 所以， .（9分） （3）对任意的，要证明，即证，（10分） 即证，（13分） 令，其中， 则，（15分） 所以，函数在上单调递增， 故当时，，（16分） 即，故原不等式得证.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选必二导数+选必三全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 3．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 4．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 5．已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 6．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（    ） A． B． C． D． 7．中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 11．某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 13．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 17．（15分） 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 18．（17分） 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19．（17分） 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选必二导数+选必三全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 3．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 4．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 5．已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 6．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（    ） A． B． C． D． 7．中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 11．某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 13．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 17．（15分） 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 18．（17分） 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19．（17分） 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选必二导数+选必三全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因， 所以，解得. 故选：. 2．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】B 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种， 故选：B. 3．下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设二项展开式的第为常数项. 对A：由，由，所以展开式的第6项为常数项，即的展开式有常数项； 对B：由，由，所以展开式的第5项为常数项，即的展开式有常数项； 对C：由，由，所以的展开式的第9项为常数项，即的展开式有常数项； 对D：由，由，所以的展开式不存在常数项. 故选：D 4．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 【答案】D 【详解】对于A，易知， 又样本中心点在回归方程上，即, 所以，解得，即A错误； 对于B，由可知随着的增大而增大，因此变量与是正相关关系，即B错误； 对于C，由回归方程可知增加1个单位，的估计值增加3个单位左右，因此C错误； 对于D，回归方程必过样本中心点，即必过点，可得D正确. 故选：D 5．已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 【答案】B 【详解】因为， 由题意可得：，解得或. 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极小值，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极大值； 综上所述：的极大值为32. 故选：B. 6．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设员工有驾照为事件，男员工有驾照为事件， 则，， 则由条件概率可得. 故选：A 7．中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为（   ） A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【详解】按照1:1:3的比例分组，共有种分组方法， 按照2:2:1的比例分组，共有种分组方法， 将分好的三组安排除“炉火”活计之外的三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是. 故选：A 8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确； 对于B，因为第3项二项式系数为，第8项的二项式系数为， ，故B正确； 对于C，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，令可得①， 令可得②， 两式相减可得， 所以，故D错误； 故选：ABC 10．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 【答案】AC 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 11．某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 【答案】/ 【详解】根据两点分布的特点得， 则， 根据方差的性质得， 故答案为：. 13．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【详解】（1）由题得；（3分） （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为；（6分） （3）列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 （8分） 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得，（11分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，（12分） 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.（13分） 16．（15分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可得：，（2分） 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，，（5分） 解得：.（6分） （2）因为函数在区间上单调递减， 所以，在上恒成立，（8分） 即在上恒成立，（9分） 令， 则，（11分） 则在区间上单调递减，（12分） 所以，（14分） 所以，，即的取值范围为．（15分） 17．（15分） 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （5分） （2）（8分） ， （10分） （3）的展开式中，求含项的系数为（13分） （15分） 18．（17分） 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【详解】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，（1分） 且，． （5分） X 0 1 2 3 P （6分） .（7分） （2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即．（8分） 第二步：求经验回归方程．其中，（9分） 由提供的参考数据，可知，又，故，（10分） 由提供的参考数据，可得，故．（11分） 当时，， 即估计其绩效等级优秀率为0.498． （12分） （ii）由（i）及提供的参考数据可知，（13分） 又，即，可得，即，（14分） 又，且， 由正态分布的性质，得，（16分） 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865．（17分） 19．（17分） 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. 【详解】（1）由题意可得，，（2分） .（4分） （2）设，则，，，， 以此类推可知，对任意的，，（5分） 则，（6分） 所以， .（9分） （3）对任意的，要证明，即证，（10分） 即证，（13分） 令，其中， 则，（15分） 所以，函数在上单调递增， 故当时，，（16分） 即，故原不等式得证.（17分） ( 1 / 15 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$