专题05 数列与不等式（含数学归纳法）（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题05 数列与不等式（含数学归纳法） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 数列与不等式】 2 【题型二 数学归纳法】 4 【压轴能力测评（12题）】 6 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【题型一 数列与不等式】 一、解答题 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证（且）． 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记的前项和为，求证：. 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 6．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 7．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求； ②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 【题型二 数学归纳法】 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 4．（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 二、解答题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 7．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列、满足，. (1)若数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和． 8．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 9．（24-25高二上·陕西·阶段练习）在数列中，已知，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设是与最接近的整数，求. 10．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）已知各项均为正整数的数列满足. (1)若，求； (2)已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 2．（23-24高二上·浙江台州·期末）记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若无穷数列满足：对于，，其中为常数，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，且，，设，求数列的前项和； (2)若数列为“数列”，且，.求证：. 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）在数列中，且对任意，，，是公差为的等差数列. (1)写出数列的前5项，并求出数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 7．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 8．（23-24高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 9．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列…… (1)求的二阶差数列； (2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和． 10．（2024高二·全国·专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”． (1)某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？ (2)证明： 11．（2024·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 12．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列与不等式（含数学归纳法） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 数列与不等式】 2 【题型二 数学归纳法】 10 【压轴能力测评（12题）】 18 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【题型一 数列与不等式】 一、解答题 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证（且）． 【答案】(1); (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件求出点A坐标.求出导函数，根据导数的几何意义，表示出切线l的方程，即可得到； （2）易求.对该式放缩，可得时，，裂项可得，又，代入式子加起来即可证明. 【详解】（1）由题意，令，解得， 又A在x轴正半轴，故， ，故切线斜率， l：， 令，，所以l在y轴上的截距． （2）证明：由题意． 故， 又对且时，， 所以 ， 得证． 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意计算出，将条件中的变为，然后化简可得是等比数列，计算可得； （2）由（1）可得，采用放缩法可得，根据数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∵数列的前项积为，满足， ∴时，，化为，变形为， 时，， 数列是首项为4，公比为2的等比数列， ∴， 时，亦满足上式，即； （2）先证明左边：即证明，， 又由，解得， 又， 所以， 再证明右边：， ∴． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【详解】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 其前项和为； 令，则， 其前项和为， 所以． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先用赋值法求，再用降标作差的方法求得数列的递推关系，进而求出即可判断为等差数列； （2）利用裂项相消的方法求和，再构造数列，证明即可进行放缩. 【详解】（1）由，令，则有，则， 由可得， 当时， 两式作差可得，且，则， 则，即， 可得， 故是以1为首项，1为公差的等差数列，则. （2）由于， 那么 ， 因，则， 设，则，则，故， 故， 所以. 综上可得，. 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 6．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 7．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求； ②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义可求解. （2）（i）先求得，然后结合对数运算、等比数列前项和公式来求得；. （ii）先求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的最小值. 【详解】（1）由题知， 所以数列是“平方递推数列”． （2）（i）由（1）知，又，有，同时， 由，得， 因此数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 因此． （ii）由（i）知， ； 由，即，， 因为对任意的，，所以数列是递增数列， 又知，当时，，当时，， 因此使得的的最小值为． 【题型二 数学归纳法】 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知： 当时，等式的左边是. 故选：D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解. 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 二、解答题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【分析】先猜想，然后根据数学归纳法的证明方法来证得猜想成立. 【详解】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 7．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列、满足，. (1)若数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列为等差数列，可由条件等式求出，然后得到公差即可得的通项公式，再代入即可求得的通项公式； （2）先求得的通项公式，然后可由条件计算，猜测为等比数列，然后由数学归纳法证明，即可得到通项，再由等比数列求和公式可得. 【详解】（1）由题可知：若数列为等差数列，，令，则 ， 故：，由， 故. （2）由数列是公比2的等比数列可得：， 又，可得， 故猜测是以公比为2的等比数列， 故，下用数学归纳法证明， 当时，成立； 假设时，成立， 下证时，， 由可得：， 故时，仍成立， 所以， 又，根据等比数列求和可得：. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 9．（24-25高二上·陕西·阶段练习）在数列中，已知，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设是与最接近的整数，求. 【答案】(1)， (2) (3)89 【分析】（1）根据数列的首项和递推公式求，的值. （2）可先根据已知的项，猜测数列的通项公式，再用数学归纳法证明. （3）明确数列的项，即可求和. 【详解】（1）由题意：，， . （2）由（1）猜测：，下面用数学归纳法证明. 易知，当时，猜测成立； 假设（）时，猜测成立， 则时，. 即时，猜测亦成立. 综上可知对都成立. （3）因为. 由， 因为，. 因为是与最接近的整数，所以数列的各项是：2个1,4个2,6个3,8个4，…. 所以，， ，… 由，. 所以的前2025项是由：2个1,4个2,6个3,8个4，…，88个44,45个45组成. 所以. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式的方法，可以先归纳猜测数列的通项公式，再用数学归纳法证明. 10．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）已知各项均为正整数的数列满足. (1)若，求； (2)已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 【答案】(1)； (2)（i）85；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意设，根据递推关系分别求出即可； （2）（i）根据递推关系式，结合列举法求解； （ii）利用数学归纳法证明为定值1可满足题意，结合递推关系式构造分式，利用累加法证明不等式成立. 【详解】（1）由题意，设，则， 由递推关系可得则，则， 所以. （2）（i）由题意，，则，即有， 因为数列各项均为正整数，且， 经列举，只有满足题意，解得. 同理，，则，即有， 可解得， 所以. （ii）可以为定值，当时，满足题意. 用数学归纳法证明如下： 当时，，经列举，只有，解得均为正整数，满足题意. 假设时，设， 由可得，由可得 所以则. 此时， 因为，所以均为正整数，满足题意； 当时，，令， 则，则均为正整数，也满足题意. 综上，当时，均为正整数，满足题意. 所以，可以为定值1. 由题意得时，， 又，所以，化简整理得， 取倒数得， 即. 累加可得 又因为， 故得证. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由，，成等差数列可得：，利用两边同时除以，即可构造为，所以第一问就可以得证并计算通项； （2）关键是对通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到和，最后就能证明不等式成立. 【详解】（1）由，，成等差数列可得：， 因为，可得，所以两边同时除以得：， 上式可化为： 所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列 所以，即 （2）因为 所以 又因为 所以， （当n＝1时等号成立）， 综上可知：. 2．（23-24高二上·浙江台州·期末）记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用关系求得，注意的情况，即可证结论； （2）由题意，放缩得，再由裂项相消法即可得证. 【详解】（1）由题设且， 则，所以， 当时，，即， 综上，数列是公差为2的等差数列 （2）由题意及（1）得， 所以， 当时， 则， 又， 所以得证. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若无穷数列满足：对于，，其中为常数，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，且，，设，求数列的前项和； (2)若数列为“数列”，且，.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据“数列”的概念结合等差数列的通项公式先求再求，再利用裂项相消法求和即可； （2）根据题意结合等差数列通项公式可得，根据分析证明即可. 【详解】（1）由题意得，数列是首项为1，公差为2的等差数列， 故，所以， 故， 所以 （2）由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，即. 因为， 若，则； 若，则； 若，则， 可得； 综上所述：； 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设的公差为，的公比为，则，根据题意求出、的值，结合等差数列、等比数列的通项公式可求出这两个数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性和最值可证得结论成立. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 因为，，可得，解得， 故数列的通项公式为， 因为，， 即，解得 故数列的通项公式为. （2）由题得：， 所以，， 因为，故数列单调递增， 所以，，且， 因此，对任意的，. 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据与的关系化简求证即可； （2）①先根据等差数列的定义得到，进而得到，根据错位相减法计算即可； ②化简不等式为，令，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， ，则对任意的恒成立， 令， 为递减数列，则当时，． 6．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）在数列中，且对任意，，，是公差为的等差数列. (1)写出数列的前5项，并求出数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）将和分别代入即可得前5项，通过累加法可得通项公式； （2）通过放缩思想结合裂项相消法即可得结果. 【详解】（1）由题设可得，，，，. 因为，，是公差为的等差数列，所以， 从而有，，…，， 累加可得，所以 又，，是公差为的等差数列，故 综上所述当是奇数时，，当是偶数时，，即 （2）由题设， 当是奇数时 当是偶数时； 所以，且对任意，， 所以时 因此， 7．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式； （2）利用数学归纳法可完成证明. 【详解】（1）由题，； ；. 则推测； （2）证明：. 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 8．（23-24高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【分析】（1），从而可得出， （2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（1）因为， 所以，， ， . （2）猜想， 下面用数学归纳法进行证明： 当时，，猜想正确， 假设当时，猜想也正确， 则有， 当时，， 所以时，猜想也正确， 综上所述，. 9．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列…… (1)求的二阶差数列； (2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列的一阶差数列和二阶差数列即得； （2）根据（1）的规律，猜想的阶差数列为，接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列的前项和公式求解即得. 【详解】（1）由差数列的定义，数列的一阶差数列为 数列的二阶差数列为的一阶差数列，即 故数列的二阶差数列为． （2）通过找规律得，的阶差数列为，下面运用数学归纳法进行证明： ①当时，显然成立；时，由（1）得结论也成立． ②假设该结论对时成立，尝试证明其对时也成立． 由差数列的定义，的阶差数列即的阶差数列的一阶差数列，即 故该结论对时也成立，证毕． 故的阶差数列为．该数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故其前项和为 故的阶差数列为，其前项和为. 10．（2024高二·全国·专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”． (1)某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？ (2)证明： 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意中的规律可得到，然后用数学归纳法的过程进行求证即可； （2）用数学归纳法的过程进行求证即可 【详解】（1）证明如下： ①当时，显然成立； ②假设当时，即成立， 则当时， 故当时等式也成立． 根据①和②，可知等式对任意正整数都成立; （2）③当时，左右显然成立． ④假设当时，即 则当时， 故当时等式成立． 根据③和④，可知等式对任意正整数都成立 11．（2024·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，后由可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，，后由数学归纳法可证明结论. 【详解】（1）由题，时，有，则 ， 则. 注意到，则. （2）由（1）可得，则 当时，. 故所证结论相当于，，. 当时，结论显然成立； 假设时，结论成立，则， 当时，因，，则. 综上，结论成立. 12．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用与关系，得到与间的关系，再利用定义即可证明结论；(2)利用数学归纳法即可证明结论. 【详解】（1）依题知得 . 当时， 当时， . ，得到，可变形为， . 所以，数列是等比数列. （2）由①得 即证明： 下面用数学归纳法证明此不等式： ①当时，不等式左边=2，不等式成立 ②假设当时不等式成立，即： 那么，当时，左边 要证， 只要证 所以不等式成立 即当时不等式成立 综合①､②原不等式对一切正自然数成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$