第十章：复数章末重点题型复习（专项训练）数学人教B版必修第四册

第十章：复数章末重点题型复习 题型一 已知复数类型求参数 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 2．（河南省2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（   ） A．1 B．6 C．5 D．1或5 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念可得结果. 【详解】由复数是纯虚数，则，解得：. 故选：C. 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义求出，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B 4．（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 题型二 由复数相等求参数 1．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的定义求值即可. 【详解】根据复数相等的定义，可得. 故选：A. 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的相等 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 3．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的相等 【分析】两个复数相等的条件是实部相等和虚部相等，以及充分必要条件的成立条件即可判断. 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复数的相等 【分析】由复数相等的条件表示出，再结合二次函数和正弦函数的性质求出范围即可； 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 题型三 复数相等与方程的根 1．（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【详解】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于x的方程有实根，求实数a的值 . 【答案】或或 【知识点】复数的相等 【分析】将原方程化为形式，利用复数为相等即可求解. 【详解】原方程可化为. 设原方程的实根为，所以， ∴，解得或. 所以实数a的值为0或或， 故答案为：0或或. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】设是方程的一个实根，根据复数相等结论化简方程，可求. 【详解】设，为原方程的根， 则原方程化为，则, 解得或 故当时，方程至少有一个实根. 题型四 复数的四则运算 1．（2025·山西晋城·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算计算可得. 【详解】由，得． 故选：A． 2．（2025·湖南岳阳·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】先将分式进行整理得出，再利用复数除法运算化简即可. 【详解】，则，即， 则. 故选：B 3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】先根据 的次幂每次一个循环，得出；再根据复数的四则运算得出；最后根据复数虚部的定义即可得出结果. 【详解】因为， 所以. 又因为， 所以. 所以的虚部为. 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 题型五 根据复数的运算求参数 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，为虚数单位，若为实数，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得. 【详解】依题意，为实数 所以. 故答案为： 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 【答案】 6 11 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、根据相等条件求参数、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解. 【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)， 所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴，解得. 故答案为：6，11. 3．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可. 【详解】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 4．（20-21高一下·上海徐汇·期末）设复数，是实数，则，满足条件 ． 【答案】且 【知识点】已知复数的类型求参数、根据除法运算结果求参数 【分析】化简，再由是实数，虚部为，分母不为化简，即可得答案. 【详解】由题意，是实数，即为实数，可得且，即且. 故答案为：且. 题型六 复数的运算与复数的模 1．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 2．（2025·广东清远·二模）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】先用除法法则得到，利用模长公式得到答案 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B． 3．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算化简可得，进而可得复数的模. 【详解】， 则， 故选：C. 4．（22-23高三上·广西玉林·阶段练习）已知复数z满足，且，则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】设，由已知条件列方程求解. 【详解】解：设，则 有，解得． 由，解得或（不合题意，舍去）， 有，∴．得． 故选：D． 题型七 复数的几何意义及其应用 1．（24-25高一上·上海·课后作业）复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 【答案】. 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】利用第四象限点的特征建立不等式，求解参数即可. 【详解】根据题意，得，解得. 所以实数m的取值范围是. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 题型八 复数的运算与复数的几何意义 1．（2025·山西·二模）在复平面内，复数对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简复数，由复数的几何意义得解. 【详解】，所以在复平面内该复数对应点的坐标为. 故选：A. 2．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘、除法运算化简，由几何意义可得复数所对应的点的坐标，从而判断其位置. 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 3．（24-25高二下·广东阳江·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】利用乘法运算化简复数，即可找出复数所对应的点. 【详解】因为，所以其对应的点位于第四象限. 故选：D 4．（2025高一·全国·专题练习）复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】解方程，得出的值，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为复数满足，所以，解得或． 即点的轨迹为以原点为圆心，半径为和半径为的圆． 故选：D． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，且z的虚部为，在复平面内对应的点在第四象限． (1)求； (2)若，在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形 【知识点】向量垂直的坐标表示、复数的坐标表示、求复数的模、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】（1） 运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果； （2） 运用复数几何意义、模长和夹角公式可求得结果． 【详解】（1）在复平面内对应的点在第四象限且z的虚部为，设，则， 由，解得， 所以. （2）由（1）知，，所以， 所以，，如图所示， 则，， ，， 所以， 又，有， 所以为等腰直角三角形． 题型九 复数的运算与复数特征 1．（2024·四川成都·二模）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】根据复数代数形式加减运算和共轭复数的概念得到方程组，解出即可. 【详解】， 则，解得，则其虚部为. 故选：A. 2．（2023·河南郑州·一模）已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】设，则，由，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 所以， 即，所以或， 即或， 所以复数的虚部为或. 故选：A. 3．（安徽省滁州市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量监测数学试题）已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算进行化简，即可得解. 【详解】由， 则， 其实部为，虚部为， 故实部与虚部之积为， 故选：A. 4．（西藏自治区拉萨市2025届高三下学期第二次联考（二模）数学试题）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算得出复数结合实部定义即可求解. 【详解】由题意可得，故的实部为． 故选：A． 题型十 复数范围内分解因式 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数范围内分解因式、复数范围内方程的根 【分析】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【详解】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【知识点】复数范围内分解因式、复数范围内方程的根 【分析】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 题型十一 复数范围内方程根的问题 1．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的一个根，则其另外一个根是 ， ． 【答案】 / 13 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】根据虚数根成对得出另一个根，再结合两根积得出参数. 【详解】由是方程的一个根，则另一个根为，所以． 故答案为：；. 2．（20-21高一下·浙江温州·期末）在复平面内，复数，对应的点分别为（1，-2），，，且为纯虚数． （1）求a的值； （2）若的共轭复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据相等条件求参数、根据复数的坐标写出对应的复数、根据除法运算结果求参数 【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得，再设，利用复数相等求a的值；（2）将代入方程，求实数，的值. 【详解】（1）由条件可知，， ，则， 所以，解得：； （2）， 由条件可知， 得， 则，解得：. 题型十二 复数的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）下面四个命题中正确的是（　　） A．对应的点在第二象限 B．若复数，满足，则 C．方程在复数集内有两解和 D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AD 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、判断复数对应的点所在的象限、根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】根据复数的几何意义可判断A；根据复数的乘法运算可判断B；直接求解方程可判断C；化简可得，再根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，复数对应的点为，故该点在第二象限内，故A正确； 对于B，令，，满足，但，故B错误； 对于C，方程在复数集内有两解和，故C错误； 对于D，复数满足，整理得：， 故（无意义），所以复数在复平面内对应点的轨迹为圆，故D正确． 故选：AD． 2．（多选）（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习），是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征、求共轭复数的复数特征 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 3．（多选）（23-24高二下·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 【答案】BC 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】由平面向量数量积公式计算可判断A项，设出、，结合计算即可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项. 【详解】对于A项，因为， 所以或或，故A项错误； 对于B项，设（），（）， 则， 所以，解得或， 即或，故B项正确； 对于C项，因为， 所以，所以，故C项正确； 对于D项，若，，则满足， 但此时，故D项错误. 故选：BC. 4．（多选）（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．对于复数，若，则 C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D．复数z满足，则的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为. 【详解】对于A选项，设，则， 为实数，A对； 对于B，若，例如，满足， 但，，即，故B错误； 对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为一元二次方程的两根，C对； 对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对． 故选：ACD 5．（多选）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．实数，满足：，则且 B．复平面内的对应点位于直线上，则 C．在复数范围内，方程的解是 D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上 【答案】ABD 【知识点】复数的相等、复数的坐标表示、复数范围内方程的根 【分析】对于A：根据复数相等列式求解即可；对于B：根据复数的几何意义列式求解即可；对于C：解复数系方程即可；对于D：根据复数的几何意义可得点，，，的坐标，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为， 则，解得，故A正确； 对于选项B：因为复数的对应点为， 要使点在直线上， 则，解得，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即 所以方程的解为，故C错误； 对于选项D：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，，，， 可得， 所以，，，，这4个点在原点为圆心，为半径的圆上，故D正确； 故选：ABD. 6．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，（，且，），且. (1)求的值； (2)证明：； (3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】数量积的坐标表示、复数的坐标表示、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）根据复数的模公式直接化简计算即可； （2）结合（1）及复数模的公式直接可得证； （3）根据复数在复平面内点的坐标结合向量数量积公式直接计算. 【详解】（1）由已知，则，， 所以， 又，则， 所以， 化简可得， 又，所以，即； （2）由（1）得， 所以， 又， 所以； （3）设在复平面上对应的向量为， 在复平面上对应的向量为， 所以， 故，解得. 7．（河南省2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题）已知复数，． (1)若，求； (2)在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求的大小． 【答案】(1)； (2). 【知识点】向量夹角的计算、求复数的模、复数的除法运算、复数的向量表示 【分析】（1）利用共轭复数的意义、复数除法运算求出，再求出. （2）求出的坐标，再利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）由复数，，得， ， 所以. （2）依题意，，，， 因此，而， 所以 8．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数，，． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）由纯虚数定义可得，后由复数模计算公式可得答案； （2）由复数乘法，结合复数几何意义可得在复平面内对应的点为，结合其在上可得答案. 【详解】（1）由题意得， 由纯虚数的定义得，且，解得， 整理得，，则； （2）由题意得， 由复数的几何意义得在复平面内的点的坐标为， 又在上，则，解得或. 9．（21-22高一下·山西太原·阶段练习）设为虚数单位，，复数，. (1)若是实数，求的值；若是纯虚数，求的值； (2)若所对应的向量与所对应的向量是平行向量，求的值. 【答案】(1)；. (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数、根据复数乘法运算结果求参数、根据除法运算结果求参数 【分析】（1）利用复数的乘法，除法运算化简和，然后利用实数和纯虚数的定义得到方程（组）求解； （2）根据复数所对应的向量平行的充分必要条件列出方程，求得a的值. 【详解】（1）， 若是实数，则，解得； ， 若是纯虚数，则，解得. （2） , ， 所对应的向量与所对应的向量是平行向量, 解得：. 10．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、根据相等条件求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解. （2）（i）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围. 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. （2）（i）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为， 即，解得， 所以该方程的另一复数根为. （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章：复数章末重点题型复习 题型一 已知复数类型求参数 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 2．（河南省2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（   ） A．1 B．6 C．5 D．1或5 3．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 4．（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 题型二 由复数相等求参数 1．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）若（，是虚数单位），则的值分别等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 题型三 复数相等与方程的根 1．（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于x的方程有实根，求实数a的值 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 题型四 复数的四则运算 1．（2025·山西晋城·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 题型五 根据复数的运算求参数 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，为虚数单位，若为实数，则 ． 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 3．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 4．（20-21高一下·上海徐汇·期末）设复数，是实数，则，满足条件 ． 题型六 复数的运算与复数的模 1．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 2．（2025·广东清远·二模）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·广西玉林·阶段练习）已知复数z满足，且，则复数z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 题型七 复数的几何意义及其应用 1．（24-25高一上·上海·课后作业）复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 题型八 复数的运算与复数的几何意义 1．（2025·山西·二模）在复平面内，复数对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 3．（24-25高二下·广东阳江·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025高一·全国·专题练习）复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 6．（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，且z的虚部为，在复平面内对应的点在第四象限． (1)求； (2)若，在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，试判断的形状． 题型九 复数的运算与复数特征 1．（2024·四川成都·二模）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南郑州·一模）已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 3．（安徽省滁州市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量监测数学试题）已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 4．（西藏自治区拉萨市2025届高三下学期第二次联考（二模）数学试题）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 题型十 复数范围内分解因式 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 题型十一 复数范围内方程根的问题 1．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的一个根，则其另外一个根是 ， ． 2．（20-21高一下·浙江温州·期末）在复平面内，复数，对应的点分别为（1，-2），，，且为纯虚数． （1）求a的值； （2）若的共轭复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 题型十二 复数的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）下面四个命题中正确的是（　　） A．对应的点在第二象限 B．若复数，满足，则 C．方程在复数集内有两解和 D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 2．（多选）（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习），是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（23-24高二下·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 4．（多选）（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．对于复数，若，则 C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D．复数z满足，则的最大值为 5．（多选）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．实数，满足：，则且 B．复平面内的对应点位于直线上，则 C．在复数范围内，方程的解是 D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上 6．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，（，且，），且. (1)求的值； (2)证明：； (3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 7．（河南省2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题）已知复数，． (1)若，求； (2)在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求的大小． 8．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数，，． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值． 9．（21-22高一下·山西太原·阶段练习）设为虚数单位，，复数，. (1)若是实数，求的值；若是纯虚数，求的值； (2)若所对应的向量与所对应的向量是平行向量，求的值. 10．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$