专题07 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数、其他知识交汇（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题07 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数、其他知识交汇 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 概率结合数列递推（马尔科夫链）】 3 【题型二 概率结合导数】 11 【题型三 概率结合统计】 18 【压轴能力测评（9题）】 27 一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 二、概率结合统计 1、概率与统计图表的综合应用题关键点： （1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息； （2）①进行概率与统计的正确计算；②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时注意运用对立事件的概率。 2、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． （2）频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 【题型一 概率结合数列递推（马尔科夫链）】 一、解答题 1．（23-24高二下·广东肇庆·期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据古典概型的概率求出，根据相互事件及互斥事件的概率公式求出； （2）依题意可得，即可得到，从而得到是以，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、， 所以， 第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 所以第二秒灯点在底面上的概率； （2）第秒亮灯点在底面上的概率为， 在底面上的概率为， 所以， 所以，所以是以，公比为的等比数列， 所以，则. 2．（2025·宁夏银川·一模）为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 【答案】(1) (2)①，，；②“球类”为900人，“田径”为1200人. 【分析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案； （2）①由题可得、，当时，得，即，所以是等比数列，由此得到； ②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 由题意，基本事件总数有个， 事件包含基本事件的个数为个， 所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率． （2）①由题可知：， ，所以， 当时，， 所以， 又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用表示一天中选择“球类”的人数，则， 所以， 即选择“球类”的人数的期望为900，选择“田径”的人数的期望为1200． 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识． 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）最小值为，最大值为. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）（ⅰ）根据给定条件可得，构造新数列推理得证，并借助累加法及等比数列前n项和公式求出通项公式；（ⅱ）由（ⅰ）中通项公式，按奇偶讨论并借助单调性求出最值. 【详解】（1）记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. (1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; (2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； (3)已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）运用条件概率和全概率求解即可； （2）运用全概率结合数列构造知识求解即可； （3）运用离散型随机变量分布列知识，结合等比数列求和公式可解. 【详解】（1）设事件：第天中午去A餐厅用餐， 事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中， 则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：. （2）设，依题可知，，， ∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8， 即，而， ∴，     ∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4， ∴.     由全概率公式可知，即，     ∴，而，     ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即； （3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1， 当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅， ∵，， ∴，     ∵，， ∴当 时，， 故. 5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则． ①证明：数列为等比数列； ②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）求得第一轮得分的所有可能取值，并计算出对应概率即可求得其分布列和期望值； （2）①写出的递推关系式，通过数列构造即可证明； ②根据①中的通项公式利用作差法即可比较得出与的大小. 【详解】（1）设该学生的得分为，则所有可能取值为0，2，4． 故的分布列为 0 2 4 则数学期望 （2）①第n次甲踢到建子的概率为， 当时，第次甲踢到建子的概率为，甲未能踢到建子的概率为； 所以， 所以， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． ②由①可知，，即； ， 当k为奇数时，为偶数，即； 当k为偶数时，奇数，即； 综上，当k为奇数时，，当k为偶数时. 6．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 （3）由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 【题型二 概率结合导数】 一、解答题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则； （2）依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为 所以的期望为. （3）依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)62， (2)182 (3). 【分析】（1）由平均数、百分位数的计算公式即可求解； （2）由正态分布特殊区间概率及对称性即可求解； （3）由题意构造，求导确定单调性即可求解. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为，则， 所以样本平均数的估计值为62. 因为前三个小矩形的面积依次是，所以第40百分位数在之间， 设第40百分位数为，. （2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，. 所以，所以. 所以估计能参加复试的人数为. （3）由该生获一等奖的概率为可知，， 则. 令，， 则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以的最小值为. 3．（23-24高二下·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解； （2）先由已知条件求得关于的函数关系式，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得解． 【详解】（1）设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则， 所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来概率为． （2）（i）由已知得，的所有可能取值为、， ，， ， 由，得，化简得； （ii）由题意知，则， ，即， ， 构造函数，则， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减， ，，，， 所以的最大值为. 4．（24-25高二上·四川自贡·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行. (1)求乙同学第2局赢的概率； (2)记甲同学第i局赢的概率为； （ⅰ）求 （ⅱ）若存在i，使成立，求整数k的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2）． 【分析】（1）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算出甲同学第2局赢的概率，再由对立事件概率公式计算； （2）（ⅰ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算； （ⅱ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式确定与的关系，，构造等比数列得出，不等式化为，利用导数求出函数的单调性，求出的最大值为，再由函数单调性对进行估值，从而得出的最小整数值． 【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为； （2）（ⅰ）由已知时，， 所以，又，所以数列是等比数列，公比为， 所以，所以； （ⅱ）即， 令，则，易知是减函数，， 所以时，，递减， 显然，因此要求的最小值，即求的最大值， 又，为偶数时，， 为奇数时，，且在为奇数时，是单调递减的， 所以是中的最大值，， 所以， 又在上是减函数，所以， 而，（∵）， 所以， 所以满足的整数的最小值为． 【点睛】方法点睛：重复进行的概率问题，一般都要通过独立事件的概率公式、互斥事件概率公式等确定概率的递推关系，然后构造新的等比数列，从而利用等比数列通项公式求得出表达式． 5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁. (1)若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试. ①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率； ②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望. (2)若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由. 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大，理由见解析 【分析】（1）首先确定，，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数，确定概率；②首先确定，分别根据甲和乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，确定分布列中的概率，再计算期望； （2）分别用概率表示甲和乙使无人机坠毁的概率，再利用导数比较大小，即可求解. 【详解】（1）因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立， 在一次测试中，用、分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则，， 记事件为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”， ， 所有可能的取值为， 记事件为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 故. （2）记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”， 事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”， 则 ， ， 因为，所以， 则 ， 令，则， 令，即，则，得， 又，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又，则， 故，即， 所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解坠毁与击中的关系，以及理解每种武器击中次数满足二项分布. 【题型三 概率结合统计】 一、解答题 1．（23-24高二下·湖南益阳·期末）树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)①列联表见解析；②可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）①根据题干数据完善列联表；②计算出卡方，即可判断； （2）首先高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率，依题意可得， 根据二项分布的概率公式求出分布列，再由二项分布的期望公式求出期望. 【详解】（1）①依题意可得列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 80 40 120 女生 40 60 100 合计 120 100 220 ②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立， 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关， 该结论犯错误的概率不超过. （2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为， 则，所以的可能取值为、、、， 则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）2024年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据． 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 女生 50 合计 已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为． (1)将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关； (2)该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望． 附表及公式：． 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关 (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率得到方程，求出抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人，得到分布列，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）用分层随机抽样的方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，得到X可能的取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）设抽取的300名学生中男生的人数为x，则女生的人数为． 因为抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为， 所以，解得或（舍去）， 所以抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人， 所以列联表为 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 因为， 所以有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关． （2）用分层随机抽样的方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人， 所以随机变量X可能的取值为1，2，3， 则， X的分布列为 X 1 2 3 P 故． 3．（24-25高二下·广西柳州·期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 【答案】(1)可用，，109 (2)选择方案二 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【详解】（1）由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． （2）若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则， ， 所以，因此选择方案二更划算． 4．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 【答案】(1)①0.8186；②1637（天） (2)小张选择方案二更有利 【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案．②根据①计算出的概率乘以2000可得答案； （2）设小张每日可获得的奖金为X元，求出X的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为Y元，求出Y的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案. 【详解】（1）①由题意，其中， ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为： （天）； （2）易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120， 其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200， 故， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 【答案】(1)，，、，有关 (2)分布列见解析，期望 【分析】（1）根据列联表可得出、、、的值，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，人进球总次数的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由列联表中的数据可得，， ，， 所以，， 故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）人进球总次数的所有可能取值为、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 数学期望． 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【答案】(1)，21条 (2) (3)方式一 【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘估计法求和，即可求解回归方程，再根据方程转化为不等式，即可求解； （2）根据古典概型概率公式，结合组合公式，即可求解； （3）分别求两个方式的分布，以及期望，比较大小，即可判断. 【详解】（1）设， 则，，∴ 令，，∴至少应开放21条滑道 （2）设事件“小红排队时间总和恰为120分钟” 则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则 ， （3）方式①：中奖次数， 方式二：设中奖次数为 ， ， ，所以选方式一 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高二年级学生的阅读情况，从高二年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高二学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高二全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高二全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)159人 (2)分布列见解析，，． 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 2．（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 (1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；     （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)（ⅰ）0.78；（ⅱ） 【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可； （2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025． （2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5 （ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋” 事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球” 则 所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率 当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78 （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 ． 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）某市联考后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图：    根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点.经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中，分别表示这42名同学的数学成绩､物理成绩，，2，…，42，与的相关系数. (1)若不剔除两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时与的相关系数为.试判断与的大小关系，并说明理由； (2)求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为126分），物理成绩是多少？ (3)从概率统计规律看，本次考试该市的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该市共40000名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望. 附：①回归方程中： ②若，则 ③ 【答案】(1)答案见详解 (2)，估计物理成绩82 (3)人数Z的数学期望为27320 【分析】（1）根据正相关关系可判断，理由可从偏差大小与相关系数大小关系分析； （2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令，即可算出答案； （3）先求出，，可得，求得，又因为服从二项分布，求得期望. 【详解】（1），理由如下（任写一条或几条均可）：由图可知，与成正相关， ①异常点A，B会降低变量间的线性相关程度. ②44个数据点与其回归直线的总体偏差更大，回归效果更差，所以相关系数会更小. ③42个数据点与其回归直线的总体偏差更小，回归效果更好，所以相关系数会更大. ④42个数据点更贴近回归直线. ⑤44个数据点与其回归直线更离散. （2）由题中数据可得：，， ， 又，， ，， 将代入，得， 所以估计B同学的物理成绩为82. （3），， ，又， ， 因为，所以， 所以物理成绩位于区间的人数Z的数学期望为27320. 4．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 【答案】(1)182人； (2). 【分析】（1）先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，然后根据正态分布的性质求得概率，即可求解； （2）根据题意确定的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，样本平均数的估计值为 ， 因为学生初试成绩服从正态分布，其中则， 所以， 所以估计初试成绩不低于85分的人数为人. （2）记该考生的复试成绩为，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分， ， ， ， 所以该考生进入面试的概率为. 5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为. (1)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为，求取最大值时和的值； (2)在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 【答案】(1)，的值分别为，. (2) 【分析】（1）根据已知条件列出，求导得，利用导数判断函数的单调性，求出取最大值时的值，再根据，解得即可. （2）根据题意设一位大学生通过测试所得分数的平均值，求出的所有可能取值，并求出每个取值所对应的概率，求得一位大学生射击过关测试所得分数的平均数,最后确定该班组通过射击过关测试所得总分的平均数即可. 【详解】（1），， ∴ ，， 由，得， 由，得，由，得， ∴在上是增函数，在上是减函数， ∴是的极大值点，也是的最大值点， 因为， 此时，由，解得. ∴取得最大值时，，的值分别为，. （2）设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量， 则的可能取值分别为5，4，2， 则， ， ， ∴一位大学生射击过关测试所得分数的平均数： . ∴该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为：. 6．（23-24高二下·江西景德镇·期末）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)，此时； (2)（i），；（ii）证明见解析， 【分析】（1）先根据5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位得到，求导得到其单调性，从而得到最大值及此时； （2）（i）方法一：根据及，求出，，并根据求出；方法二：同法一求出，，并根据移动次数求出； （ii）由题意，，变形得到是等比数列，首项为，公比为，进而利用累加法求出通项公式 【详解】（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， 当处，取得极大值，也是最大值， ，此时； （2）（i）法一：，则， ， ∴，，，，， ； 法二：，则， 移动到的位置，若每次移动2个单位，则移动4次，故至少移动4次， 若每次移动1个单位，则移动8次，故至多移动8次， 若需要移动8次，则8次移动1个单位，0次移动2个单位，则需要种方法， 若需要移动7次，则有1次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动6次，则有2次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动5次，则有3次移动2个单位，故需要种方法， 若需要移动4次，则有4次移动2个单位，故需要种方法， 故； （ii）由题意，， 是等比数列，首项为，公比为， ， . 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 7．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. (1)若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1) (2)①；②15 【分析】（1）设出事件，将事件“进行一轮比赛后甲比乙多投进2球”表示成，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）①将“乙每轮比赛至少要超甲2个球”表示成，同上求得其概率；②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则，依题，，将其转化成，求在上的值域问题即可解决. 【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球， 表示乙在一轮比赛中投进个球，， 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球 所以 （2）① ； ②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分， 则有，故， 要满足题意，则，即， 又，故， 令，，则在恒成立， 即在上单调递增，故的最大值为， 即的最大值为，于是，的最小值为， 因，故理论上至少要进行15轮比赛. 【点睛】方法点睛：本题主要考查互斥事件和独立事件的概率综合，以及二项分布的概率均值的应用，属于较难题. 解决此类事件的概率，一般需要设出基本事件，将所求事件表示，并运用互斥事件和独立事件的概率公式计算；其次结合条件判断二项分布概率模型，再运用公式求解即得. 8．（23-24高二下·辽宁大连·期中）某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； (2)若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 【答案】(1) (2)①，，；②，； 【分析】（1）根据题意的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可； （2）①结合题意求出；②根据题意求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可. 【详解】（1）的可能取值为， 则， ， ， 所以得分布列为： 所以得数学期望为. （2） ①由（1）知， 经过两轮踢球，乙的累计得分高的有两种情况： 一是乙两轮都得分为1；二是两轮中乙一轮得1分，另一轮得0分， 则， 经过三轮踢球，乙累计得分高于甲有四种情况：乙3轮各得1分；乙3轮中有2轮各得1分，l轮得0分； 乙3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；乙3轮中有2轮各得1分，1轮得分. 则； ②由，可得， 将的值代入可得，解得，， ，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， ， 所以数列的通项公式为. 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率； (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分，规定第一次由甲掷．记两人累计积分之和出现的概率为 （i）证明：为等比数列； （ⅱ）求 的通项公式. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得； （2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得； （ⅱ）利用累加法求出. 【详解】（1）甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为， 则 经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分； 4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分， 所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率 （2）（i）记“累计积分之和为”为事件；“累计积分之和为”为事件；“累计积分之和为”为事件. 于是， 则， 又， 所以是首项为公比为的等比数列． （ii）由（i）得，当时，， 则， ， ， ， 累加得， 因此． 当时，上式也成立， 故. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数、其他知识交汇 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 概率结合数列递推（马尔科夫链）】 3 【题型二 概率结合导数】 5 【题型三 概率结合统计】 7 【压轴能力测评（9题）】 11 一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 二、概率结合统计 1、概率与统计图表的综合应用题关键点： （1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息； （2）①进行概率与统计的正确计算；②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时注意运用对立事件的概率。 2、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． （2）频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 【题型一 概率结合数列递推（马尔科夫链）】 一、解答题 1．（23-24高二下·广东肇庆·期末）如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 2．（2025·宁夏银川·一模）为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. (1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; (2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； (3)已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则． ①证明：数列为等比数列； ②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小． 6．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【题型二 概率结合导数】 一、解答题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 3．（23-24高二下·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验次； 方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验． 若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． (1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为． （i）若，试求关于的函数关系式； （ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，． 4．（24-25高二上·四川自贡·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行. (1)求乙同学第2局赢的概率； (2)记甲同学第i局赢的概率为； （ⅰ）求 （ⅱ）若存在i，使成立，求整数k的最小值． 5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁. (1)若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试. ①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率； ②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望. (2)若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由. 【题型三 概率结合统计】 一、解答题 1．（23-24高二下·湖南益阳·期末）树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）2024年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据． 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 女生 50 合计 已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为． (1)将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关； (2)该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望． 附表及公式：． 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 3．（24-25高二下·广西柳州·期中）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 4．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高二年级学生的阅读情况，从高二年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高二学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高二全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高二全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 2．（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 (1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；     （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）某市联考后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图：    根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点.经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中，分别表示这42名同学的数学成绩､物理成绩，，2，…，42，与的相关系数. (1)若不剔除两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时与的相关系数为.试判断与的大小关系，并说明理由； (2)求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为126分），物理成绩是多少？ (3)从概率统计规律看，本次考试该市的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该市共40000名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望. 附：①回归方程中： ②若，则 ③ 4．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为. (1)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为，求取最大值时和的值； (2)在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 6．（23-24高二下·江西景德镇·期末）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为. （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求. 7．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. (1)若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 8．（23-24高二下·辽宁大连·期中）某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； (2)若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率； (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分，规定第一次由甲掷．记两人累计积分之和出现的概率为 （i）证明：为等比数列； （ⅱ）求 的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$