全册质量检测练习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦统计概率与排列组合综合应用，通过典型题例系统提炼回归分析、独立性检验、条件概率等解题方法，构建知识内在逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|12题（如17题回归方程、18题独立性检验）|回归系数计算、χ²检验步骤、条件概率公式|从数据收集到模型拟合（回归）、从关联分析到决策判断（独立性检验）| |排列组合与二项式定理|7题（如5题二项式系数、14题“凸数”计数）|二项式系数性质、分类分步计数原理|从概念生成（排列组合）到应用拓展（二项式定理）|

2025-2026学年人教A数学选择性必修第三册 全册质量检测练习卷 (时间：120分钟，分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知y关于x的经验回归方程＝5x＋1，则该方程在样本点(1,4)处的残差为( ) A．－2 B．1 C．2 D．5 2．一个礼堂有4个门，若从任一门进，从任一门出，则不同的进出方法共有( ) A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 3．已知随机变量X服从正态分布N(4,3)，且P(X＜a－5)＝P(X＞a＋1)，则实数a等于(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 4．在一批型号相同的产品中，有2件次品、5件正品，每次随机抽取1件测试，直到将2件次品全部区分出来为止．假定抽取后不放回，则第5次测试后停止的概率是(　　) A. B． C. D． 5．若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　) A．210 B．180 C．160 D．175 6．某商家开展促销活动，促销方案是顾客每消费 1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为.若中奖，则商家返还中奖的顾客1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元让一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ，则E(ξ)＝(　　) A．1 850 B．1 720 C．1 560 D．1 480 7．先后掷两次质地均匀的骰子，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，则P(B|A)＝(　　) A. B． C. D． 8．为了研究男性的年龄与吸烟的关系，抽查了100名男性，按年龄超过40岁和不超过40岁，吸烟量每天多于20支和不多于20支进行分组，得到如下 2×2列联表： 吸烟量 年龄 合计 不超过40岁 超过40岁 不多于20支/天 50 15 65 多于20支/天 10 25 35 合计 60 40 100 则认为吸烟量与年龄有关犯错误的概率不超过(　　) A．0.001 B．0.01 C．0.05 D．0.005 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分) 9．若随机变量X服从两点分布，P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则(　　) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝ 10.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，且两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 11．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示由乙罐取出的球是红球.下列结论中正确的是(　　) A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．甲、乙两名选手进行围棋比赛，每局比赛，甲选手获胜的概率为，乙选手获胜的概率为.有如下两种方案：方案一，三局两胜；方案二，五局三胜．对于乙选手，获胜概率更大的方案是________. 13．在(1＋3x)(2x－1)5的展开式中，若按x的升幂进行排列，则第3项为________. 14．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字及个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231,243等都是“凸数”，则“凸数”有　　　　个； (2)在组成的五位数中，各数位上恰有一个偶数夹在两个奇数之间的有________个． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)已知f(x)＝(1－x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020. (1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 020的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋2 020a2 020的值． 16．(15分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17．(15分)一种药用昆虫的产卵数y(单位：个)在一定范围内与温度x(单位：℃)有关，现收集了该种药用昆虫的6对观测数据如下表： x 21 23 24 27 29 32 y 6 11 20 27 57 77 (1)若用线性回归模型来拟合x与y的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋(参数的值精确到0.1)． (2)若用非线性回归模型来拟合x与y的关系，得到y关于x的经验回归方程为＝0.06e0.230 3x，且决定系数R2＝0.952 2. ①试与(1)中的线性回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好． ②用拟合效果更好的模型预测温度为 35 ℃ 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)． 附：经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－，决定系数R2＝1－，(xi－)(yi－)＝557，(yi－)2＝3 930，e8.060 5≈3 167. 18．(17分)为了检测某种抗病毒疫苗的效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设每只小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． (1)填写下面的2×2列联表，并根据α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠是否产生抗体与指标值大小有关． 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射，结果又有20只小白鼠产生抗体． ①用频率估计概率，求一只小白鼠注射两次疫苗后产生抗体的概率p. ②以①中确定的概率p作为人体注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量X.试验后统计数据显示，当k＝90时，P(X＝k)(k＝0,1,2，…)取最大值，求参加人体接种试验的人数n及 E(X)． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．(17分)第五届中国国际进口博览会(以下简称进博会)于2022年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办．本届进博会共有284家世界500强和行业龙头企业参展，数量超过上届，其中至少参展过两届及以上进博会的企业占比约为90%.本届进博会首次运用虚拟现实、三维建模等新技术手段，引入了全新的线上展示技术，为观展者带来了不同以往的观展体验．活动结束后，进博会组委会从观展者中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全新的线上展示活动的满意度，并按年龄分类统计得到如下不完整的2×2列联表： 单位：人 年龄 满意度 合计 不满意 满意 50周岁及以下 55 50周岁以上 15 合计 100 (1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为对全新的线上展示活动是否满意与年龄有关联？ (2)从本届参展的284家世界500强和行业龙头企业中随机抽取3家了解他们对组委会的组织工作的满意度，设其中至少参展过两届及以上进博会的企业的个数为X.以本届参展的世界500强和行业龙头企业中至少参展过两届及以上进博会的企业的频率为概率． ①求X的分布列和数学期望； ②求P(≤1)的值． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 2025-2026学年人教A数学选择性必修第三册 全册质量检测练习卷 (时间：120分钟，分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1． A 2． C 3．B　解析：因为随机变量X服从正态分布N(4,3)，μ＝4，所以其正态曲线的对称轴是直线x＝4. 所以＝4，解得a＝6. 4．B　解析：由题意知，前4次抽取的有3件正品、1件次品，或前5次抽取的都是正品，故第5次测试后停止的概率为＋＝. 5．B　解析：因为n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，则n＝10. 所以展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝C(－2)k·x5－.令5－＝0，得k＝2.所以常数项是T3＝22×C＝180.故选B. 6．A　解析：根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P(ξ＝2 450)＝3＝，P(ξ＝1 450)＝C××2＝，P(ξ＝450)＝C×2×＝，P(ξ＝－550)＝3＝， 故E(ξ)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850. 7．B　解析：掷两次骰子，总的样本点的个数为6×6＝36. 因为事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，所以事件A包含的样本点的个数为3×3×2＝18，事件AB包含的样本点的个数为6. 由古典概型概率公式， 得P(A)＝，P(AB)＝. 由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝. 故选B. 8．A　解析：利用题中列联表，代入公式计算可得 χ2＝≈22.16>10.828＝x0.001. 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为吸烟量与年龄有关． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分) 9．AB　解析：因为随机变量X服从两点分布， P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝2×＋2×＝. 在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确； 在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确； 在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误； D显然错误．故选AB. 10.ABD　解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ<σ， 所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)， P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故A，B错误； 当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)， 而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)， 所以P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错误． 故选ABD. 11．BD　解析：由题意知P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，故B正确；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故A，C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．方案一　解析：(方案一)设“乙获胜”为事件A，则事件A应包括以下两种情况： ①乙2∶0获胜(设为事件A1)；②乙2∶1获胜(设为事件A2)． 这两种情况彼此互斥，根据互斥事件的概率计算公式得 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝2＋C×××＝. (方案二)设乙获胜为事件B，则事件B应包括以下三种情况： ①乙3∶0获胜(设为事件B1)；②乙3∶1获胜(设为事件B2)；③乙3∶2获胜(设为事件B3)． 这三种情况两两互斥，根据互斥事件的概率计算公式得 P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.因为＞， 所以乙获胜概率更大的方案是方案一． 13．－10x2　解析：由(1＋3x)(2x－1)5＝(2x－1)5＋3x·(2x－1)5，可得展开式中按x的升幂进行排列依次为常数项、含x的项、含x2的项，…，故第3项为含x2的项． 所以第3项为C(2x)2(－1)3＋3x·C(2x)1(－1)4＝－40x2＋30x2＝－10x2. 14．(1)14　(2)28　解析：(1)将这些“凸数”分为三类，且百位不能为0： 若十位数字为2，则只有120这1个“凸数”； 若十位数字为3，则共有C·C＝4(个)“凸数”； 若十位数字为4，则共有C·C＝9(个)“凸数”． 所以共有14个符合题意的“凸数”． (2)将符合题意的五位数分为三类： 若两个奇数在万位和百位上，则共有A·A＝12(个)； 若两个奇数在千位和十位上，则共有A·C·A＝8(个)； 若两个奇数在百位和个位上，则共有A·C·A＝8(个)． 所以共有28个符合题意的五位数． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15． 解：(1)因为f(0)＝1＝a0， f(1)＝0＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 020， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝f(1)－f(0)＝－1. (2)f′(x)＝－2 020(1－x)2 019＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 020a2 020x2 019， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋2 020a2 020＝f′(1)＝0. 16． 解：(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C， 所以甲学校获得冠军的概率为 P＝P(ABC)＋P() ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. (2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30， 所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望E(X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 17． 解：(1)由题意得＝＝26， ＝＝33， (xi－)(yi－)＝557，(xi－)2＝84， 所以＝＝≈6.6， ＝33－6.6×26＝－138.6. 所以y关于x的经验回归方程为＝6.6x－138.6. (2)①对于线性回归模型＝6.6x－138.6， 易得(yi－)2＝3 930， 故其决定系数R2＝1－＝1－≈1－0.060 2＝0.939 8. 因为0.939 8＜0.952 2，所以非线性回归模型＝0.06e0.230 3x比线性回归模型＝6.6x－138.6拟合效果更好． ②由①得，当x＝35时，＝0.06e0.230 3×35＝0.06e8.060 5≈0.06×3 167≈190. 所以当温度为35 ℃时，预测该种药用昆虫的产卵数约为190个． 18．解：(1)由题图可知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[0,20)内有0.002 5×20×200＝10(只)； 在[20,40)内有0.006 25×20×200＝25(只)； 在[40,60)内有0.008 75×20×200＝35(只)； 在[60,80)内有0.025×20×200＝100(只)； 在[80,100)内有0.007 5×20×200＝30(只)． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70(只)，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只．同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故2×2列联表如下： 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为H0：注射疫苗后小白鼠是否产生抗体与指标值大小无关联． 根据列联表中数据，得 χ2＝≈4.945＞3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠是否产生抗体与指标值大小有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2) ①设事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C＝“小白鼠注射两次疫苗后产生抗体”． 则P(A)＝＝0.8，P(B)＝＝0.5，P(C)＝1－P()P()＝1－0.2×0.5＝0.9. 所以一只小白鼠注射两次疫苗后产生抗体的概率p＝0.9. ②由题意知随机变量X～B(n,0.9)， P(X＝k)＝C×0.9k×0.1n－k(k＝0,1,2，…，n)． 因为P(X＝90)最大， 所以 解得99≤n≤. 因为n是整数，所以n＝99或n＝100， 所以参加接种试验的人数为99或100. 当接种人数为99时，E(X)＝np＝99×0.9＝89.1； 当接种人数为100时，E(X)＝np＝100×0.9＝90. 19．解：(1)由题意知，抽取的100名观展者中年龄在50周岁及以下的有60人， 则年龄在50周岁以上的有40人，所以50周岁及以下不满意的有5人，50周岁以上满意的有25人，补全的2×2列联表如下： 单位：人 年龄 满意度 合计 不满意 满意 50周岁及以下 5 55 60 50周岁以上 15 25 40 合计 20 80 100 零假设为H0：对全新的线上展示活动是否满意与年龄无关． 根据列联表中数据计算得χ2＝≈12.76>10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为对全新的线上展示活动是否满意与年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001. (2)①由题意可得，一家参展企业至少参展过两届及以上进博会的概率为0.9， 则X～B(3,0.9)，X的所有可能取值为0,1,2,3， 且P(X＝0)＝C×0.13＝0.001， P(X＝1)＝C×0.9×0.12＝0.027， P(X＝2)＝C×0.92×0.1＝0.243， P(X＝3)＝C×0.93＝0.729， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 所以E(X)＝0×0.001＋1×0.027＋2×0.243＋3×0.729＝2.7. ②P(≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1－P(X＝3)＝1－0.729＝0.271. 1/18 学科网（北京）股份有限公司 $