信息必刷卷05（湖南长沙专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（湖南长沙专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D C C D A C C B 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14. 15．/ 16．① 三、解答题:本大题有8个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分） 【答案】 【详解】解： ． 18．（6分） 【答案】，数轴表示见解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 20．（8分） 【答案】(1)，2，1 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意知，本次调查中，一共调查了（名）学生， 其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有（名）， “D烹饪与营养”的男生有（名）； 故答案为：，2，1； （2）解：补图如下； （3）解：由题意知，选择“C家用器具使用与维护”的学生中男生3人，女生2人， 画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生共种等可能的结果， ∵， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 21．（9分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 22．（9分） 【答案】(1)每个甲商品进价是25元，每件乙商品的进价是15元 (2)当第三次购进甲商品个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：设每个甲商品和每件乙商品的进价分别为x元和y元， 根据题意，得， 解得， 答：每个甲商品进价是25元，每件乙商品的进价是15元； （2）解：设第三次购进甲商品m件，那么购进乙商品件， ∵甲的数量不大于乙的数量的2倍， ∴， 解得， ∴， 设第三次购进甲商品和乙商品获得的利润为w， 根据题意，得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w最大，此时， 答：当第三次购进甲商品个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元． 23.（9分） 【答案】(1)见解析 (2)120 【详解】（1）证明：如图， ， ∴四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， ，点D是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：，由（1）知， 由（1）知四边形是菱形， ， 的周长为 ， 在中， ， ， ， ， 菱形的面积为． 24．（10分） 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 25、（10分） 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：2025 年湖南省长沙中考，会以核心素养为主题，围绕四基这条线索展开，整体会在 24 年中考数学的风格并加以创新，试题会更加重视涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。纵观湖南中考真题，部分试题不再单一考查知识点，而是强化跨章节融合。例如，几何与代数结合，函数与几何动态关联等。 中考·新考法： 对常规考点的考法更加灵活，注重数学与生活的融合、知识迁移与实际应用的互通，突破以前的固定思维瓶颈，让学生知道数学来源于生活、应用于生活。 命题·大预测：2025 年将以核心素养为主题，围绕四基这条线索展开，继续延续2024年的考法趋势，同样以单选题、填空题、解答题三大题块共 25小题、总分为 120的形式呈现，结合代数、几何、代数与几何相结合等的形式考察，代数中会有独立的数与式的计算，几何中会有逻辑推理的考察，也会有代数与几何相结合的常见考法，更有数学知识与实际生活的相融合，也有动手能力的方面的考察。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：图2应记作 故选：B． 2．（本题3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”、几何体的展开图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义可得这个几何体是五棱柱，由此即可得． 【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个五棱柱， 五棱柱的展开图是 故选：C． 3．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式计算即可． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 4．（本题3分）下列六个命题中，真命题有（   ） ①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，平行的判定与性质，乘方运算，有理数的绝对值，补角，对顶角等知识，能够熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，此命题缺少条件，故为假命题， ②根据对顶角相等，可知命题为真命题，故符合题意； ③同角（等角）的补角相等，命题为真命题，故符合题意； ④相反数的平方也相等，但正负数不相等，故命题错误，不符合题意； ⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故命题为真命题，符合题意； ⑥0的绝对值也等于0，但0不是正数，故命题错误，不符合题意； 故本题中正确的命题有个， 故选：C． 5．（本题3分）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 6．（本题3分）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 7．（本题3分）某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6 人数（人） 4 4 8 10 8 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（    ） A．平均数是3.5次 B．中位数是4次 C．众数是4次 D．样本容量是40 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方法、众数和样本容量的定义． 根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断A、B，根据众数和样本容量的定义判断C、D即可． 【详解】解：A、平均数为，原说法错误，故此选项符合题意； B、中位数是第20个和第21个数据点的平均值，均落在4次的范围内，因此中位数是4，正确，故此选项不符合题意； C、出现次数最多的数据是4次（10人），因此众数是4，正确，故此选项不符合题意； D、样本容量为，正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．（本题3分）如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．先利用圆周角定理得出的度数，再根据为圆的直径，得出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：C． 9．（本题3分）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当时，或， 故选：C． 10．（本题3分）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 12．（本题3分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成、比如：石蜡熔化、樟脑丸变小就是物理变化，铁钉生锈、节日焰火就是化学变化．某学习小组制作了如下四张卡片、四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．某同学从四张卡片中随机抽取两张，则该同学取出的两张卡片内容均为化学变化的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： （A）火箭发射 （B）光合作用 （C）冰雪消融 （D）葡萄酿酒 A B C D A B C D 冰雪融化是物理变化，火箭发射，光合作用，葡萄酿酒都是化学变化，一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有6种， 所以抽取两张卡片均是化学变化的概率是． 故答案为：． 13．（本题3分）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为 ；（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造的直角三角形． 过点作与，在中，求出的长，在中，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作与， 在中，， ∴， ∴， ， 在中，． 故答案为：4.2． 14．（本题3分）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，点均在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，则点D的坐标为，进而得到点C的坐标为，求出，即可利用矩形面积公式得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为，则点D的坐标为， ∴点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，正确求出是解题的关键． 15．（本题3分）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】连接交于点由菱形的性质求出，，以及，由旋转的性质求出，再根据可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 是菱形的对角线， 连接交于点，则 由勾股定理得， 由旋转得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 16．（本题3分）如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是 ． 【答案】① 【分析】作于，根据角平分线的性质可判断①；将绕点按顺时针方向旋转至，连接，用反证法得出时，成立，可判断②；作于，若平分，则，进而可证明只有重合时结论成立，可判断③；设，则，，，可得，，，根据，建立方程求解，进而可求得，即可判断④，问题得解． 【详解】解：①作于， 四边形为正方形， ，即， 平分， ， ，故①正确； ②正方形中，， ，， ， 将绕点按顺时针方向旋转至，连接， ， ， ， ， ，，， ， 共线， ， 若， ， ， ， 即， ， ， ， 即时，成立，故②不正确；      ③作于， ， 若平分，则， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 重合时结论成立，故③不正确； ④， 设，则，，， ，， ， ， 由①知，， ， ， 即， 解得，（舍）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，故④不正确； 故答案为：①． 【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大．灵活运用这些知识解题是关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的运算、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的化简、零指数幂、有理数的乘方，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 18．（本题6分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 19．（本题6分）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 20．（本题8分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A、清洁与卫生，B、整理与收纳，C、家用器具使用与维护，D、烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_____名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有_____名，“D烹饪与营养”的男生有_____名； (2)补全上面的条形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)，2，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次调查中，一共调查了名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有名，则“D烹饪与营养”的男生有名； （2）直接补图即可； （3）由题意知，选择“C家用器具使用与维护”的学生中男生3人，女生2人，画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，本次调查中，一共调查了（名）学生， 其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有（名）， “D烹饪与营养”的男生有（名）； 故答案为：，2，1； （2）解：补图如下； （3）解：由题意知，选择“C家用器具使用与维护”的学生中男生3人，女生2人， 画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生共种等可能的结果， ∵， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 21．（本题8分）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 22．（本题9分）地摊经济是指通过摆地摊获得收入来源的一种经济形式，经营的主要商品包括小吃美食、自产自销的农产品以及各类日用品等．某摊主计划购进甲和乙这两种商品．已知第一次购进3个甲和4件乙共花费135元，第二次购进9个甲和10件乙共花费375元． (1)求每个甲商品和每件乙商品的进价各是多少元？ (2)由于这两种商品畅销，摊主决定第三次购进这两种商品共300件，其中甲的数量不大于乙的数量的2倍，且进价均保持不变．若每个甲商品的售价为30元，每件乙商品的售价为22元，在销售中甲商品无损坏，乙商品有损坏．若第三次购进的商品全部售出（损坏的不能售出），请问当第三次购进甲商品多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个甲商品进价是25元，每件乙商品的进价是15元 (2)当第三次购进甲商品个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用； （1）设每个甲商品和每件乙商品的进价分别为x元和y元，根据两次进货列方程求解即可； （2）设第三次购进甲商品m件，那么购进乙商品件，第三次购进甲商品和乙商品获得的利润为w，根据第三次购进甲商品和乙商品获得的利润等于甲乙销售利润减去乙损坏的成本求出函数解析式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个甲商品和每件乙商品的进价分别为x元和y元， 根据题意，得， 解得， 答：每个甲商品进价是25元，每件乙商品的进价是15元； （2）解：设第三次购进甲商品m件，那么购进乙商品件， ∵甲的数量不大于乙的数量的2倍， ∴， 解得， ∴， 设第三次购进甲商品和乙商品获得的利润为w， 根据题意，得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w最大，此时， 答：当第三次购进甲商品个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元． 23．（本题9分）如图，在中，，点 D是的中点，连接，过点 C作（，且，在 FC上取一点E，使，连接． (1)求证： 四边形 BEFD 是菱形； (2)连接BF，DE相交于点 O， 若的周长为30，求四边形BEFD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ， ∴四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， ，点D是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：，由（1）知， 由（1）知四边形是菱形， ， 的周长为 ， 在中， ， ， ， ， 菱形的面积为． 24．（本题10分）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案； （2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案； （3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 25．（本题10分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：2025 年湖南省长沙中考，会以核心素养为主题，围绕四基这条线索展开，整体会在 24 年中考数学的风格并加以创新，试题会更加重视涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。纵观湖南中考真题，部分试题不再单一考查知识点，而是强化跨章节融合。例如，几何与代数结合，函数与几何动态关联等。 中考·新考法： 对常规考点的考法更加灵活，注重数学与生活的融合、知识迁移与实际应用的互通，突破以前的固定思维瓶颈，让学生知道数学来源于生活、应用于生活。 命题·大预测：2025 年将以核心素养为主题，围绕四基这条线索展开，继续延续2024年的考法趋势，同样以单选题、填空题、解答题三大题块共 25小题、总分为 120的形式呈现，结合代数、几何、代数与几何相结合等的形式考察，代数中会有独立的数与式的计算，几何中会有逻辑推理的考察，也会有代数与几何相结合的常见考法，更有数学知识与实际生活的相融合，也有动手能力的方面的考察。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列六个命题中，真命题有（   ） ①同旁内角互补：②如果和是对顶角，那么；③同角（等角）的补角相等：④若，则；⑤平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题3分）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 6．（本题3分）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6 人数（人） 4 4 8 10 8 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（    ） A．平均数是3.5次 B．中位数是4次 C．众数是4次 D．样本容量是40 8．（本题3分）如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 10．（本题3分）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）因式分解： ． 12．（本题3分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成、比如：石蜡熔化、樟脑丸变小就是物理变化，铁钉生锈、节日焰火就是化学变化．某学习小组制作了如下四张卡片、四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．某同学从四张卡片中随机抽取两张，则该同学取出的两张卡片内容均为化学变化的概率为 ． 13．（本题3分）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为 ；（结果保留1位小数，参考数据，，，） 14．（本题3分）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，点均在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，则矩形的面积为 ． 15．（本题3分）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．（本题3分）如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是 ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 19．（本题6分）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 20．（本题8分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A、清洁与卫生，B、整理与收纳，C、家用器具使用与维护，D、烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_____名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有_____名，“D烹饪与营养”的男生有_____名； (2)补全上面的条形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21．（本题8分）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 22．（本题9分）地摊经济是指通过摆地摊获得收入来源的一种经济形式，经营的主要商品包括小吃美食、自产自销的农产品以及各类日用品等．某摊主计划购进甲和乙这两种商品．已知第一次购进3个甲和4件乙共花费135元，第二次购进9个甲和10件乙共花费375元． (1)求每个甲商品和每件乙商品的进价各是多少元？ (2)由于这两种商品畅销，摊主决定第三次购进这两种商品共300件，其中甲的数量不大于乙的数量的2倍，且进价均保持不变．若每个甲商品的售价为30元，每件乙商品的售价为22元，在销售中甲商品无损坏，乙商品有损坏．若第三次购进的商品全部售出（损坏的不能售出），请问当第三次购进甲商品多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 23．（本题9分）如图，在中，，点 D是的中点，连接，过点 C作（，且，在 FC上取一点E，使，连接． (1)求证： 四边形 BEFD 是菱形； (2)连接BF，DE相交于点 O， 若的周长为30，求四边形BEFD的面积． 24．（本题10分）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 25．（本题10分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$