精品解析：2025年陕西省咸阳市三原县中考一模数学试题

九年级学业水平质量监测 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数的相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义可得答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2. 被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵万， 故选：B． 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，错误， 故A不合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，正确， ∴D合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可． 【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误． 6. 如图， 是的直径，E是上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，于是得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，补角的定义，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 8. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为，根据，得到对称轴为直线，当时，得到，根据，得到求得或，根据，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当时，结合，得，解得或；当时，结合，得，解得或；解答即可． 【详解】解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 10. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【解析】 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 11. 如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接 ．若 的面积为8，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接，可得，进而由轴对称可得，即得，再根据反比例函数的图象和性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴于点 ， ∴， ∵点 与点 关于 轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形 的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形 是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形 是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 13. 如图，在矩形 中，，，E，F分别是 ，边上的动点．以 为斜边，在 的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取 的中点O，连接，，，首先得到 ，G，B，F四点共圆，求出，得到点G的运动轨迹是直线．作于点，交 于点M，然后根据等腰直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】如图，取 的中点O，连接，，． ，， ， ，G，B，F四点共圆， ， 点G的运动轨迹是直线． 作于点，交 于点M． 根据垂线段最短，可知的最小值为的长． ，， ，， ，， ，， ， 的最小值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据计算即可． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式的基本步骤，解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 解得． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】此题主要考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟知分式的运算法则．先计算括号内异分母减法，再计算除法，再代入x即可求解． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 17. 如图，在 中，请用尺规作图法，在边 上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D为所求作的点． 【解析】 【分析】作出线段 的垂直平分线，与 的交点就是所求点． 本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，结合，得到， 故点D为线段 的垂直平分线与 的交点就是所求点 18. 如图，在四边形 中，点E在 上，连接 ， ，，，．猜想 ， ， 三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】 ． 理由：， ． 在 与中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，得到，再结合代换证明即可．本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 某班在植树节开展“把绿色种在春天里”活动．全班同学去种一批树苗，若每个人种6棵，则少18棵树苗；若每个人种5棵，则剩下28棵树苗未种．该班共有学生多少人？ 【答案】46人 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 设该班共有学生x人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设该班共有学生x人． 根据题意，得， 解得． 答：该班共有学生46人． 20. 北京时间2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国90后访客．此次飞行任务航天员蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）于10月29日在酒泉卫星发射中心与媒体记者集体见面． （1）从3名航天员中随机选取1名航天员回答记者的问题，恰好选中男航天员的概率是________． （2）如果从3名航天员中随机选取2人回答记者的问题，用画树状图或列表的方法，求恰好选中的2人是1名男航天员和1名女航天员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：从3名航天员中随机选取1名航天员回答记者的问题，恰好选中男航天员的概率是， 故答案为∶； 【小问2详解】 解∶ 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中选中1名男航天员和1名女航天员的结果有4种， 选中的2人是1名男航天员和1名女航天员的概率为． 21. 图①是一款高清视频设备，图②是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面l，垂足为点A，点C处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，，求摄像头C到桌面l的距离（参考数据：，，）． 【答案】摄像头C到桌面l的距离约为60厘米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，矩形的性质和判定，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算是解题的关键．作于点H，于点F，证明四边形是矩形，则厘米，，再根据即可得解． 【详解】解：作于点H，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴厘米，， ∵， ∴， ∵厘米，， ∴厘米， ∴厘米． 答：摄像头C到桌面l的距离约为60厘米． 22. 2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 【答案】（1） （2）当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得， 解得， 与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得． （元）， 当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元． 23. 2025年春节是春节申遗成功后的第一个春节．某学校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣，对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查，问卷满分为5分，并抽取了部分同学的问卷，将所得的分数（单位：分）进行分类、统计，绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）________，补全条形统计图． （2）请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数． （3）若该校共有学生1200人，请估计问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数． 【答案】（1）8， 补图如下： （2）中位数为3，平均数为 （3）456人 【解析】 【分析】（1）根据3分的人数及百分比求得抽取的总人数，则求得5分的占比，求得a的值；求得2分的人数及4分的人数，从而补全条形统计图； （2）根据中位数，平均数的计算公式求解即可． （3）根据样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 (人)， 5分人数所占百分比为， 解得， 2分的人数为： (人)，4分的人数为： (人)， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分， 中位数为3分． 平均数为（分）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数约为456． 【点睛】本题考查了样本容量计算，扇形统计图的应用，中位数，平均数，样本估计总体，熟练掌握定义，公式是解题的关键． 24. 如图，点B在以 为直径的上，点D在 的延长线上，连接 、、 ，． （1）求证：是的切线． （2）F是延长线上的一点，过点F作于点E．若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是的直径， ∴． ， ， ． ， ， 即． 是的半径， 是的切线． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，从而得到，即可证明结论； （2）证明，得出，设的半径为r，则，，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ，， ， ， ， 即． 设的半径为r，则， ， ， ， 解得， 的半径为4． 25. 如图1，某款抛物线型帐篷底面的宽度 为，顶部高度h为，以 所在直线为x轴， 的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）图2为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度 为，宽度 为．若在帐篷内沿 所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放这种椅子的数量． 【答案】（1） （2）6把 【解析】 【分析】（1）由题意，可得点，，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可． （2）先将代入，计算出靠近两头的最远的两把椅子的自变量值，计算出安置椅子的有效距离，设最多可放置x把椅子，根据题意，应小于等于有效距离，取整数解解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值，求不等式的整数解，熟练掌握待定系数法，求不等式的整数解是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，可得点，，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解： 椅子的高度，宽度， 将代入， 得， 解得，， ， 设最多可放置x把椅子，根据题意，， 解得， 根据椅子把数是正整数， 最多可摆放6把这种椅子． 26. 【问题原型】 （1）如图1，在正方形 中，．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，四方形 是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在 和上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）． 【答案】 （1）证明： 四边形 是正方形， ，． 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可． （2）过点D作于点G，连接，延长到点K，使，连接，．证明四边形是正方形，得到．由（1），可得，，利用两点之间线段最短，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点D作于点G，连接， 延长到点K，使，连接，． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ． ， ． 由（1），可得， ， ． ，， 垂直平分， ， ． 在中，． ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业水平质量监测 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是 的直径，E是 上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：x2-16= ________________． 10. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 11. 如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接 ．若 的面积为8，则k的值为________． 12. 如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 13. 如图，在矩形中，，，E，F分别是 ， 边上的动点．以 为斜边，在 的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在 中，请用尺规作图法，在边 上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在四边形中，点E在 上，连接 ， ，，，．猜想 ， ， 三条线段的数量关系，并说明理由． 19. 某班在植树节开展“把绿色种在春天里”活动．全班同学去种一批树苗，若每个人种6棵，则少18棵树苗；若每个人种5棵，则剩下28棵树苗未种．该班共有学生多少人？ 20. 北京时间2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国90后访客．此次飞行任务航天员蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）于10月29日在酒泉卫星发射中心与媒体记者集体见面． （1）从3名航天员中随机选取1名航天员回答记者的问题，恰好选中男航天员的概率是________． （2）如果从3名航天员中随机选取2人回答记者的问题，用画树状图或列表的方法，求恰好选中的2人是1名男航天员和1名女航天员的概率． 21. 图①是一款高清视频设备，图②是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面l，垂足为点A，点C处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，，求摄像头C到桌面l的距离（参考数据：，，）． 22. 2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 23. 2025年春节是春节申遗成功后的第一个春节．某学校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣，对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查，问卷满分为5分，并抽取了部分同学的问卷，将所得的分数（单位：分）进行分类、统计，绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）________，补全条形统计图． （2）请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数． （3）若该校共有学生1200人，请估计问卷成绩优秀（大于或等于4分）的学生人数． 24. 如图，点B在以 为直径的 上，点D在 的延长线上，连接 、 、 ，． （1）求证：是 的切线． （2）F是延长线上的一点，过点F作于点E．若，，求 的半径． 25. 如图1，某款抛物线型帐篷底面的宽度 为，顶部高度h为，以 所在直线为x轴， 的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）图2为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度 为，宽度 为．若在帐篷内沿 所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放这种椅子的数量． 26. 【问题原型】 （1）如图1，在正方形中，．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，四方形是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在 和 上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿 和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $