专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知方程是二元一次方程， 则，的值分别为（    ） A．， 0 B．，1 C．0 ，1 D．1，1 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 3．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）若是关于x,y的二元一次方程，则的值是 . 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 2．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 3．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 3．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则 ． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）请仔细阅读并完成相应任务： 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． 任务： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）用代入法解方程组： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 3．（23-24九年级·全国·专题练习）用代入消元法解方程： 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) 2．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下： 小云的研究：由①得，， 把③代入②得，， 化简得 通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解． 小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解． 经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题： 在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解． 请同学们回答他们提出的问题，并说明理由． 解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解 理由如下： 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 2．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（    ） （A），先消去x，再代入求解． （B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解． 探究：利用最简单的方法解方程组； 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______． 3．（23-24八年级上·江西景德镇·期末）解方程组 时，可把①代入②得：，求得， 从而进一步求得，这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： ． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·全国·专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）甲、乙两人共同解关于的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方②中的系数，解得，求的值． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 2．（2025·广东·模拟预测）若则 ． 3．（23-24八年级上·全国·专题练习）已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）方程组的解满足，则a等于（   ） A． B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)写出此方程的所有正整数解； (2)若二元一次方程组，存在互为相反数的解，请在括号处补上一个方程． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程组和解相同，则可通过解方程组（    ）求得这个解． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的方程组与的解相同，则m+n的值为（    ） A．2 B．3 C．﹣3 D．5 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解，则的立方根为 ． 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解方程组：． 3．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）解方程组： 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）在学校为七年级同学进行体检时．校医室的体重计出现了故障，只能称出60千克以上的质量，恰好参加体检的大多数同学的体重不足60千克．要使体检顺利进行，你能利用方程组的知识，为校医设计一种称体重的方案吗？ 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．23-24 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若方程组与方程组有相同的解，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 5．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 9．（2025七年级下·浙江·专题练习）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 11．（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）解二元一次方程组： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： 13．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 14．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握“含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程”成为解题的关键． 根据二元一次方程的概念可得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知方程是二元一次方程， 则，的值分别为（    ） A．， 0 B．，1 C．0 ，1 D．1，1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义未知数的次数都为1，就可以解决本题． 【详解】解：由题意知：解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程未知数的次数都为1的知识．把握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】根据已知条件可得关于m、n的二元一次方程组，解方程组得到m、n的值后即可得到m+n的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解之可得：， ∴m+n=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法是解题关键． 3．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）若是关于x,y的二元一次方程，则的值是 . 【答案】15 【分析】根据二元一次方程的定义求得m和n的值，再代入计算即可． 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案是：15． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出关于，的二元一次方程组的解，再逐项进行判断即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组， 得，，即， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，即， ∴，解得，故①正确； 当时， ， ∵，故②错误； 方程组的解为， ∴，故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 2．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入，得 故答案为：4． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】① 是三元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③是二元一次方程组； ④是二元二次方程组； ⑤是分式方程组； ⑥是二元一次方程组 所以①④⑤不是二元一次方程组. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意； ②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 2．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型． 根据x、y的值互为相反数，解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于k的方程，从而求得k的值． 【详解】解：根据题意可得，即或， ∴解方程组得：， 根据题意得：， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则 ． 【答案】75 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，一元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，求出，，再代入即可求得k的值． 【详解】解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， 把，代入，得 ， ∴． 故答案为：75． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）请仔细阅读并完成相应任务： 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． 任务： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是二元一次方程组解法的应用， （1）解方程组得，再根据“邻好关系”定义判断即可； （2）先解出，再根据“邻好关系”定义得到关于m的方程，解方程即可； 【详解】（1）解：方程组的解与具有“邻好关系”，理由： ， 由①得：，代入②，得： ， 解得：， 把代入①，得 该方程组的解为：． ， 方程组的解与具有“邻好关系”； （2）解：， 得： 解得， 把代入①，得， 解得：， 则方程组解为：． 方程组的解与具有“邻好关系”， ， 解得：或． 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由①得，③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 （2）由①得，③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解： 先将看作一个整体， 则整理①得， 将整体代入，得， 解得． 把代入得， 解得， ∴ 3．（23-24九年级·全国·专题练习）用代入消元法解方程： 【答案】 【分析】先把方程组标号①②，先将①变形为③，然后将③代入②，求得x的值，再将x的值代入③求即可求解y的值． 【详解】， ①移项得：③， 将③代入②得：④， 解得：， 把代入③，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，关键是掌握消元思想，并严格按照步骤计算． 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入﹣，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3），即总有一个解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）直接运用加减消元法即可解答； （2）先整理原方程组，再运用加减消元法即可解答． 【详解】（1）解： ， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． （2）解：原方程组可整理为：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 2．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下： 小云的研究：由①得，， 把③代入②得，， 化简得 通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解． 小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解． 经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题： 在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解． 请同学们回答他们提出的问题，并说明理由． 解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解 理由如下： 【答案】，，，，理由见详解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理得，再结合题干条件，则当时，则这个方程组无解；当时，则这个方程组有无数组解．即可作答． 【详解】解：依题意，， 得， 当的时，则这个方程组无解； 当的时，则这个方程组有无数组解． 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得③ ，得，即 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为； （2）解： ，得③ ，得，即 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 【答案】23-24 【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得：， 故答案为：23-24． 2．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（    ） （A），先消去x，再代入求解． （B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解． 探究：利用最简单的方法解方程组； 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______． 【答案】B；； 【分析】（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，即可得； （2）根据所给简便方法两式相加得，两式相减得，则，进行就是即可得； （3）解二元一次方程组得，根据得，进行计算即可得． 【详解】解：（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，故选B； （2） ①+②得，， ②-①得，， 则， ③+④得，， 把代入③得，， 故方程组的解为； （3） ①+②得，， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握题中所给的简便方法． 3．（23-24八年级上·江西景德镇·期末）解方程组 时，可把①代入②得：，求得， 从而进一步求得，这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： ． 【答案】 【分析】把①代入②可得，再把把代入①，即可求解． 【详解】解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入思想解答是解题的关键． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程． 1．（23-24八年级上·全国·专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组解的定义，无论c是对是错，甲和乙求出的解均为的解．将和分别代入，组成方程组，从而得出a的值．将甲的正确解代入，从而得出c的值． 【详解】解：将和分别代入，得 ， 解得， 把代入，得 ， 所以． 故选：A． 【点睛】本题需要对二元一次方程组的解和二元一次方程的解的定义有一个深刻的认识，知道不定方程有无数个解． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入， 得到关于t的一元一次方程， 解得， 故答案为： 3．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）甲、乙两人共同解关于的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方②中的系数，解得，求的值． 【答案】1 【分析】根据题意可：把代入②中得：，从而可得：，然后再根据题意得：把代入①中得：③，把代入①中得：④，从而进行计算可求出a和b的值，最后把a，b，c的值代入式子进行计算即可解答． 本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：把代入②中得：，解得：， 由题意得：把代入①中得：③， 由题意得：把代入①中得：④， ④－③得：， 把代入③中得；， ∴． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及新定义下的实数运算，已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到m与n的值，然后再代入新定义运算即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得 ． 故选 A． 2．（2025·广东·模拟预测）若则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质以及乘方运算，解题的关键是根据非负数的性质求出a，b的值． 根据算术平方根和绝对值的非负性，得到关于a，b的方程，进而求出a，b的值，最后代入式子计算． 【详解】由题意可得： 所以可得， 解得；， 将代入可得： ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·专题练习）已知等式，对一切实数x都成立，求m、n的值． 【答案】m、n的值分别为、 【分析】根据关键语“等式对一切实数x都成立”，只要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解． 【详解】解：∵等式对一切实数x都成立， ∴ ， 解得：， 故m、n的值分别为、． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 1．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）方程组的解满足，则a等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 让方程组中的即可得，即，再根据，即可求出的值． 【详解】解：由方程组， 可得为， 即：， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组．得，，进一步得到，即可求出答案． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， 解得 故答案为：4. 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)写出此方程的所有正整数解； (2)若二元一次方程组，存在互为相反数的解，请在括号处补上一个方程． 【答案】(1)， (2)括号处补的方程为： 【分析】本题主要查了二元一次方程以及二元一次方程组： （1）先把原方程变形为，再根据x，y均为正整数，可得到x取4，9，即可求解； （2）根据存在互为相反数的解，可得，即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵x，y均为正整数， ∴是5的正整数倍， ∴x取4，9， 当时，， 当时，， ∴此方程的所有正整数解为，； （2）解：∵二元一次方程组，存在互为相反数的解， ∴， ∴括号处补上一个方程为． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是联立没有参数的方程解方程组代入求解． 联立解出，x，y，代入求解即可得到答案； 【详解】关于x，y方程组解满足， 联立 解得：， 将代入得 ， 解得：， 故选：C. 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程组和解相同，则可通过解方程组（    ）求得这个解． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组和解相同，方程组的解同时满足这四个方程； ∴解方程组即可求出方程组的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的方程组与的解相同，则m+n的值为（    ） A．2 B．3 C．﹣3 D．5 【答案】B 【分析】由于方程组 与的解相同，所以把x+y＝3和x﹣y＝5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于m、n的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵方程组与的解相同， ∴方程组 的解也它们的解， 解之得： ， 代入其他两个方程得 ， 两式相加得5m+5n＝15 ∴m+n＝3， 故选：B． 【点睛】此题考查方程组解的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组与关于x、y的方程组有相同的解， ∴和， 解得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根为2． 故答案为：2 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ①， ， ， ， ②， ， ， ， ③， ①②得：， ④， 把④代入③得：， 解得：或， 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 原方程组的解为：或． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，0． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解方程组：． 【答案】． 【分析】利用加减消元法即可求解． 【详解】解：， 由得， 把①和④代入②得， 解得， 把代入①解得，， 把代入④解得，， ∴原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键． 3．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）解方程组： 【答案】 【分析】根据加减消元法解三元一次方程组． 【详解】解：， 解：由，得④， 由，得． 把代入④，解得， 把，代入②，解得． 所以，原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）在学校为七年级同学进行体检时．校医室的体重计出现了故障，只能称出60千克以上的质量，恰好参加体检的大多数同学的体重不足60千克．要使体检顺利进行，你能利用方程组的知识，为校医设计一种称体重的方案吗？ 【答案】见详解 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用； 三个人一组，进行称重，设三个人的体重分别为：，每两个人一起称重，列出三元一次方程组，即可求解． 【详解】解：三个人一组，进行称重，设三个人的体重分别为：， 第一个人与第二个人一起称，第二个人与第三个人一起称，第三个人与第一个人一起称， 根据称重的结果，列出三元一次方程组，进而即可得到每个人的体重． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 【答案】甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁 【详解】解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁， 依题意，得，解得 答：甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【答案】(1)，5 (2)6 (3)30 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：，5； （2）解：， ①+②+③得，，即； 故答案为：6； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．23-24 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴， 解得， ∴整数m的值为2024， 故选C． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得①，②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】（1）由题意，得. （2）由题意，得， ， 则有方程组 解得 . 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 【答案】(1) (2)①的值为1，的值为1；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据定义公式代入运算即可； （2）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出，的值； ②将a、b的值代入化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ，， 整理得：， 解得：， 的值为1，的值为1； ②的值为1，的值为1 ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． （2）解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． （3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若方程组与方程组有相同的解，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键． 由方程组与方程组有相同的解，联立可得，再解出，然后代入得，再解方程组即可． 【详解】解：∵方程组与方程组有相同的解， ∴， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴相同的解为， 把分别代入得， 同理可解得：， 故选：． 2．（2025七年级下·安徽·专题练习）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组和关于的方程是解此题的关键．先把代入①得出，求出③，把代入①得出，求出④，再由③和④组成一个二元一次方程，求出方程组的解，再把代入②得出，再求出即可． 【详解】解：， 把代入①，得， ③， 把代入①，得， ④， 由③和④组成一个二元一次方程组：， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 即，，． 故选：A． 5．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，求出方程组的解，再对各结论进行判断即可． 【详解】解：解方程组得： ，则； 当时，，方程组的解为， ∴，故①正确； 当时，；当时，； 即x，y均为正整数的解有2对，故②错误； 若x、y的值互为相反数，即，由知，得，矛盾，故③错误； 把方程组的解代入中，得，解得，故④正确； 故正确的有两个； 故选：B． 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元的思想是解题的关键，根据消元的方法进行计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 将③代入②，得：，即． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， ． 故答案为： ． 9．（2025七年级下·浙江·专题练习）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断． 【详解】解：当，，即，时， 解得： 当，，即，时， 解得：， 当，，即，时， 解得： （舍去） 当，，即，时， 解得：（舍去） 综上所述，或. 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 【答案】或 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 先求出方程与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程与“交换系数方程”为或， ∴它们组成的方程组为或， 解得：或． 所以方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为或． 故答案为：或． 11．（江苏省镇江市2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 13．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 14．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得．把代入，，得，解得．∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $$