专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 一元一次不等式的新定义问题 题型十四 一元一次方程与不等式相结合 知识点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 1．（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式．据此逐个判定即可． 【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①，③不是不等式； ②，④，⑤，⑥是不等式． 故选C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等关系中，正确的是（   ） A．a不是正数可表示为 B．x不大于4可表示为 C．x与2的和是非负数可表示为 D．m与5的差是负数可表示为 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含)．根据不等量关系的表示方法逐项分析即可． 【详解】解：A．a不是正数可表示为，故不正确； B．x不大于4可表示为，故不正确； C．x与2的和是非负数可表示为，故不正确； D．m与5的差是负数可表示为，故正确； 故选：D． 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西晋城·期中）若不等式两边同时除以，得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时除以一个负数，不等式的方向发生改变，是解题的关键． 根据不等号的方向发生改变，得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式两边同时除以，得， ∴ 解得：． 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】（1）计算比较大小，解答即可． （2）设，仿照前面的计算解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，不等式的性质，熟练掌握计算和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，，． （2）证明：可设． ． 又，即， ， ． 故答案为：． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 8．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 9．（23-24八年级下·福建三明·期中）若(m−1)x(m−1)的解集是x＜1，则m的取值范围是（    ）． A．m1 B．m1 C．m1 D．m1 【答案】C 【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的取值范围． 【详解】解：∵不等式(m−1)x(m−1)的解集为x＜1， ∴m-1＜0， ∴m＜1， 故选：C． 【点睛】此题考查不等式的解集，解题关键在于掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的定义即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出的值，将其代入原不等式中即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵是关于的一元一次不等式， ∴，解得：， ∴原不等式为：， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义以及解一元一次不等式，解题的关键是根据一元一次不等式的定义确定的值及熟练掌握一元一次不等式的解法． 11．（23-24八年级下·重庆南岸·阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ∴，解得：， 则不等式为：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤． 12．（23-24七年级下·江西南昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的定义，2m+1=1且m-1≠0，先求出m的值是0；再把m=0代入不等式，整理得：-x-1＞5，然后利用不等式的基本性质将不等式两边同时加上1，再同时除以-1，不等号方向发生改变，求解即可． 【详解】根据不等式是一元一次不等式可得：2m+1=1且m-1≠0， ∴m=0 ∴原不等式化为：-x-1＞5 解得x＜-6 故答案为x＜-6． 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．本题主要考查：一元一次不等式的定义和其解法．“不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变”是所本题考查的解不等式的两个依据． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），在数轴上表示其解集见解析；（2），在数轴上表示其解集见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； 【详解】解：（1）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示其解集如图所示． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 在数轴上表示其解集如图所示． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是方程组与不等式的综合应用，先把两式相减得，结合，再建立不等式解题即可． 【详解】解：， 两式相减得， ， ； 解得：； 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式； （1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由，解得． ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得，即的取值范围为．     （2） 由①，得③． 由②③，得，解得．    由题意，得，解得，    ∴的最大整数值是． 17．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）整式的值为P． (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的最小负整数值．    【答案】(1) (2)的最小负整数值为 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式． （1）把代入代数式中进行计算便可； （2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）由数轴知，， 即， 解得， 的最小负整数值为． 18．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若方程组的解、满足，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的应用以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）先解二元一次方程组，求出解，然后结合，即可求出的值； （2）根据方程组的解，结合，先求出的取值范围，且为整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得：，    得：，          将④代入②得：， ， ， ， 解得：， （2）， ， 解得：， 又为整数， 或或． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案． （2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案． 【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3， ∴， 故答案为：. （2）∵的解集中最小整数为-2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键． 19．（23-24八年级下·全国·课后作业）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】解不等式2x-1≤13得到x的范围，就可以求出m的值；同理可以求出n的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式． 【详解】解：解不等式， 解得， 则． 解不等式， 解得， 则． ∴不等式为：， 解得：． 故答案为：. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键． 20．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值 . 【答案】2 【分析】分别求出a、b的取值范围，然后求出的最大值． 【详解】a＝－2－b， －2－b≥2b， 解得：b≤－， a≥2b 两边同时除以b, ≤2 有最大值2. 故答案为2. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 21．（23-24七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 22．（23-24七年级下·山西忻州·期末）阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 【答案】(1)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (2)或 【分析】（1）根据不等式的基本性质3可得答案； （2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可． 【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）解：①当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ； ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ， ③当，即时， 原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和分类思想的应用是解题的关键． 23．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 24．（2022七年级上·浙江·专题练习）数学实验室： 、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　； (3)若x表示一个有理数，且，则＝　　； (4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （3）由结合绝对值的性质可得，进而合并同类项即可； （4）分别根据、、结合绝对值的性质解，解答即可． 【详解】（1）解：和的两点之间的距离， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是3． 故答案为：3； （2）解：和的两点之间的距离为：， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为：． 故答案为：； （3）解：， ． 故答案为：4； （4）解：当时，原式，解得，， 当时，原式，解得，， 当时，原式，不符合题意，故舍去， 有理数的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确的几何意义． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）小温和小希决定把每月省下来的零用钱存起来．小温存了80元，小希存了54元．从这个月开始，小温计划每月存16元，小希计划每月存20元．根据题意回答以下问题： (1)设经过x个月后（用含x的代数式表示）． ①小温存款数为______，小希存款数为______． ②若小温存款数超过小希存款数，请列出不等式______． (2)7个月后，小温存款数是否已经超过小希？ 【答案】(1)①，；② (2)没有 【分析】（1）①根据原来的存款数每月存款数月数，列出代数式即可； ②根据题意列出不等式即可； （2）将分别代入不等式的左右两边，计算结果，看小温的存款是否超过小希即可． 【详解】（1）解：①根据题意，经过x个月后，小温的存款数为：；小希的存款数为：． ②若小温存款数超过小希存款数，可得不等式：． （2）解：当时，（元）； （元）， ， 小温的存款数没有超过小希． 答：7个月后，小温存款数没有超过小希． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，准确找到不等关系是解题的关键． 26．（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)x与的和大于2； (2)x的2倍与5的差是负数； (3)x的与的和是非负数； (4)y的3倍与9的差不大于． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据x与的和得出，再根据x与的和大于2得出； （2）先表示出x的2倍为2x，再表示出与5的差为2x﹣5，再根据关键词“是负数”，列出不等式即可； （3）先表示出x的是，与的和为，是非负数得出； （4）先表示出y的3倍是，再表示出与9的差，然后根据不大于即为小于等于，列出不等式即可． 【详解】（1）根据题意得：； （2）由题意得：； （3）根据题意得：； （4）根据题意得：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）用适当的符号表示下列关系： （1）a是非负数； （2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长； （3）x与17的和比它的5倍小； （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据“非负数”即“≥0”可得； （2）根据“长”即大于，据此可得； （3）x与17的和可表示为x+17，它的5倍即5x，小即“＜”，据此可得； （4）两数的平方和可表示为“a2+b2”，这两数积的2倍即“2ab”，由不小于即“≥”可得答案． 【详解】解：（1）a是非负数可表示为“a≥0”； （2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长可表示为“c＞a且c＞b”； （3）x与17的和比它的5倍小可表示为“x+17＜5x”； （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍可表示为“a2+b2≥2ab”． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副围棋元，每副中国象棋元 (2)最多可以购买副围棋 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键． （1）设每副围棋为元，每副中国象棋元，根据题意列方程组即可求解； （2）设可以购买副围棋，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每副围棋为元，每副中国象棋元， ， 解得：， 答：每副围棋元，每副中国象棋元； （2）设可以购买副围棋， ， 解得：， 答：最多可以购买副围棋． 28．（2025·湖南郴州·模拟预测）为增强学生体质，丰富学生课外活动．某学校从一家体育用品商店购买若干个篮球和气排球（每个篮球的价格都相同，每个气排球的价格都相同）．经了解，购买两类球的数量与金额如下： 购买篮球（个） 购买气排球（个） 金额（元） 1 2 260 3 4 620 (1)每个篮球和气排球的价格各是多少元？ (2)该校决定从这家体育用品商店购买篮球和气排球共40个，总费用不超过3660元，问这次最多可以购买篮球多少个？ 【答案】(1)篮球每个100元，气排球每个80元 (2)23个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式即可． （1）设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据表格列二元一次方程组求解即可； （2）设购买篮球个，则购买气排球个，根据“总费用不超过3660元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元， 根据题意得：，解得：， 答：篮球每个100元，气排球每个80元． （2）解：设购买篮球个，则购买气排球个， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可以购买篮球23个． 29．（2025·四川资阳·一模）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元． (1)分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格； (2)芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？ 【答案】(1)类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元． (2)最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键． （1）设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程即可； （2）设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份，根据题意列出一元一次不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设类“周礼伤心凉粉”每份的价格为，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为． ，解得 答：类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元，类“周礼伤心凉粉”每份的价格为元． （2）解：设类“周礼伤心凉粉”购买份，那么类“周礼伤心凉粉”购买份． 解得 最大为 类“周礼伤心凉粉”最多购买份 答：最多能购买类“周礼伤心凉粉”12份． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． (1)求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 【答案】(1)A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元 (2)该专营店最多购进A种工艺品30件 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，再由“若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元”列方程，再解方程即可； （2）设该专营店购进A种工艺品a件，由总获利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元， 则， 解得：， 答：A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元． （2）解：设该专营店购进A种工艺品a件， 则， 解得：． 答：该专营店最多购进A种工艺品30件． 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 31．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力． 32．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 33．（23-24七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．    (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②1；③； (2) 【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为64计算即可； （2）根据点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，可知点M到点D、E的横坐标的距离之和小于等于5，然后分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为1； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图， ∴， ∴；    （2）解：∵点，点， ∴点D、E的纵坐标之差的绝对值为5， ∵有动点，使得， ∴， ①当时，由题意得：， 解得：， ∴ ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，若有动点，使得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 (3)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练运用法则计算是解题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （3）利用去括号、移项、合并同类项，系数化为1解不等式，并把解集在数轴上表示； 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）解：去分母，得， 去括号，得2． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得19． 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 34．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可，正确求出不等式的解集是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上．如图所示： 35．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见详解 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键； 根据题意，先解不等式，再将不等式的解集表示出来即可求解； 【详解】解： ； 该解集在数轴上表示如下： ； 36．（24-25八年级下·河南·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： ∴； 在数轴上表示解集如图： （2） ∴； 数轴表示解集如图： 37．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去分母，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． 【经典例题十三 一元一次不等式新定义问题】 【例13】（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)x的值为或4． 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键． （1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可； （3）根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2； （2）解：， 或， 解得：或； 故； （3）解：已知， 若，即时，， 解得：； 若，即时，， 解得：； 综上，的值为或4． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了整式的运算，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是分类讨论和理解“”运算． （1）根据“”运算求解即可； （2）由于为偶数，则的第一次运算结果为，第二次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算求解即可； （3）根据为奇数，且，得到第一次运算的结果为，求出，由于为偶数，则第二次运算的结果为，第三次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：中，是奇数， 的运算结果是， 故答案为：； （2）解：为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或； （3）解：为奇数，且，， 第一次运算的结果为， 解得：， 、为奇数， 为偶数， 第二次运算的结果为， 当是偶数时，第三次运算的结果为， 解得：， 当是奇数时，第三次运算的结果为， 解得：， 综上所述，， 为奇数，且是整数， 的值为，，，． 39．（23-24七年级下·福建泉州·期中）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)，，，，，； (3)． 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． 【详解】（1）解：解关于的不等式：，得． 解不等式：，得． 由题意得，解得． （2）解：解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴，易知， ∴． ∵，是正整数，且 ∴为1或7或17或或， ∴； （3）解：解不等式：，得． 将不等式变形，得，则， 不等式的解集为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的解集为． 40．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一次不等式求解是解题的关键．判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3的倍数的数，即可证明能被3整除． （1）根据定义新运算的形式代入即可； （2）根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案； （3）根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 故答案为∶ ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴最小整数m为2； （3）解： ， ∵a，b为整数， ∴能被3整除， ∴能被3整除． 【经典例题十四 一元一次方程与不等式相结合】 【例14】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组 ； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组、解一元一次不等式； （1）利用加减消元法求得，再代入求解即可； （2）由（1）得，是原方程组的解，代入，求解即可． 【详解】（1）解： ， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是原方程组的解， ∵是的一个解， 把代入得，， 解得； （2）解：由（1）得，是原方程组的解， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期中）张老师在上课时遇到下面问题： 已知，满足方程组，求的值． 小丽说：把方程组解出来，再求的值． 小华说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以4，解得． 请你参考小丽或小华同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于，的方程组的解满足，求的值； (2)已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1)a的值为7 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元一次不等式．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元一次不等式是解题的关键． （1）由得：，可得，即，计算求解即可； （2）由得：，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由得：， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴a的值为7； （2）解：由得：， ∴， ∵， ∴，    解得，． 42．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，解题的关键是根据一元一次不等式的解法解答． （1）先求出方程组的解为：，根据方程组的解也是方程的一个解，得出，求出a的值即可； （2）先根据得出，求出，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：方程组的解为：， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴把，代入得，， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得： ∴． 43．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先解一元一次不等式可得，再根据数轴可得这个不等式的解集为，从而可得，解方程即可得． 【详解】解：， ， ， 由数轴可知，关于的不等式的解集为， 则， 解得， 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求出，，然后求出的取值范围． 【详解】解：∵的解集是， ∴ ∴，， 解得，，即， 故选：B． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义逐个分析即可． 【详解】解：①当时，，∴不是方程的一组解，故不正确； ②若，则当时，，故不正确； ③是的一个解，而不是解集，故不正确； ④若，那么的取值范围是，即，正确； ⑤∵，∴，∴，，∴二元一次方程只有两组正整数解，正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，由方程组可得，进而得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ①＋②，得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（2025·河南鹤壁·二模）关于的不等式有正数解，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的整数解等知识点，掌握确定不等式整数解的方法成为解题的关键． 解不等式可得，再根据不等式有正数解确定m的取值范围即可解答． 【详解】解：， 移项可得：， 两边同时乘以，不等号方向改变，得． ∵不等式有正数解， ∴，解得：，m的值可以是2等． 故答案为2． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，熟练掌握解法是解题的关键． 首先解关于的方程，然后根据解是负数，即可得到一个关于的不等式，求得的范围． 【详解】解： ， ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式， 先求出两个不等式的解集，再根据题意得出取值范围即可． 【详解】解：当时，的解集是，的解集是， ∵不等式的解也是不等式的解， ∴此种情况不符合题意； 当时，的解集是，的解集是， ∵不等式的解也是不等式的解， ∴， 解得， 所以常数a的取值范围是； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）李明去医院体检，看到甲、乙两窗口前面排队办理登记的人一样多（设为人，），就站在甲窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现甲窗口每分钟有4人登记完离开队伍，乙窗口每分钟有8人登记完离开队伍，且乙窗口队伍后面每分钟增加6人．李明迅速从甲窗口队伍转移到乙窗口队伍后面重新排队．则： （1）此时李明到达乙窗口所需时间为 （用含的式子表示）； （2）若李明到达乙窗口所花的时间比继续在甲窗口排队到达甲窗口所花的时间少，不考虑其他因素，则的最小值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， 的最小值为13， 故答案为：13． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式和不等式是解题的关键． ①先求出该笔订单的总金额，然后求出优惠后的金额即可； ②在促销活动中，设订单总金额为元，若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意；若，依题意可得，解得，由即可得出的最大值． 【详解】解：①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总金额为： （元）， 一次购买水果的总价已达到120元， 需要支付：（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为元， 若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意， 若，依题意可得：， 解得：， ， ， ， 即：的最大值为； 故答案为：，． 11．（24-25九年级下·江西景德镇·期中）下面是小友同学解不等式的运算过程： (1)以上解题过程中，从第________步骤开始出现错误，这一步错误的原因是_______； (2)请写出该不等式正确的求解过程． 【答案】(1)②；去括号时，常数项没有乘 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （）根据去括号时，常数项没乘即可求解； （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； 【详解】（1）解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘， 故答案为：②；去括号时，常数项没有乘； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 12．（2025·陕西咸阳·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 解集在数轴上表示为． 13．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知：，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的取值范围． 【答案】(1)的值为1，的值为 (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，列二元一次方程组解决问题，求一元一次不等式的解集等知识点，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的步骤． （1）根据新定义运算规则，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）列二元一次方程组并求解，用含有的代数式表示出和的值，列出一元一次不等式并求解集即可． 【详解】（1）解：根据定义的新运算得： ，， 和②联立得： 解得 ∴的值为1，的值为； （2）解：根据题意得， 解方程组得 即 解得，． 14．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）2024年9月第三届湖南旅发大会在衡阳召开，衡阳文旅迅速“火出圈”，热度“爆表”，整个城市迎来高光时刻，一跃成为湖南的热门旅游目的地，游客量增速位居全省第一．某经销店调查发现：与吉祥物“火出圈”相关的A，B两款纪念品深受游客喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用60元；购进1个A款和2个B款共用100元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该经销店决定购进这两款纪念品共140个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】(1)A款纪念品的进货单价为40元，则B款纪念品的进货单价为30元 (2)至少应购买B款纪念品60个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为40元，则B款纪念品的进货单价为30元． （2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品60个． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)，或；，或， (3) 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：解关于的不等式，得， 解不等式，得， 由题意得：， 解得：． （2）解：解不等式， 得：， 不等式得：， ， ， ，是正整数， 为1或4或2， ，或；，或，． （3）解：解不等式， 得：， 由得， 由两个不等式是同解不等式， 故，且， ， ， ， 故， 解得， ， ， 故， 故， 解得， 的解为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 一元一次不等式的新定义问题 题型十四 一元一次方程与不等式相结合 知识点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等关系中，正确的是（   ） A．a不是正数可表示为 B．x不大于4可表示为 C．x与2的和是非负数可表示为 D．m与5的差是负数可表示为 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西晋城·期中）若不等式两边同时除以，得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数a的取值范围是 ． 8．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 9．（23-24八年级下·福建三明·期中）若(m−1)x(m−1)的解集是x＜1，则m的取值范围是（    ）． A．m1 B．m1 C．m1 D．m1 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 11．（23-24八年级下·重庆南岸·阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为 ． 12．（23-24七年级下·江西南昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 . 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 17．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）整式的值为P． (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的最小负整数值．    18．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若方程组的解、满足，且为整数，求的值． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 19．（23-24八年级下·全国·课后作业）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是 ． 20．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值 . 21．（23-24七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 22．（23-24七年级下·山西忻州·期末）阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 23．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 24．（2022七年级上·浙江·专题练习）数学实验室： 、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　； (3)若x表示一个有理数，且，则＝　　； (4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·浙江温州·期中）小温和小希决定把每月省下来的零用钱存起来．小温存了80元，小希存了54元．从这个月开始，小温计划每月存16元，小希计划每月存20元．根据题意回答以下问题： (1)设经过x个月后（用含x的代数式表示）． ①小温存款数为______，小希存款数为______． ②若小温存款数超过小希存款数，请列出不等式______． (2)7个月后，小温存款数是否已经超过小希？ 26．（23-24八年级下·全国·假期作业）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)x与的和大于2； (2)x的2倍与5的差是负数； (3)x的与的和是非负数； (4)y的3倍与9的差不大于． 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）用适当的符号表示下列关系： （1）a是非负数； （2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长； （3）x与17的和比它的5倍小； （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 28．（2025·湖南郴州·模拟预测）为增强学生体质，丰富学生课外活动．某学校从一家体育用品商店购买若干个篮球和气排球（每个篮球的价格都相同，每个气排球的价格都相同）．经了解，购买两类球的数量与金额如下： 购买篮球（个） 购买气排球（个） 金额（元） 1 2 260 3 4 620 (1)每个篮球和气排球的价格各是多少元？ (2)该校决定从这家体育用品商店购买篮球和气排球共40个，总费用不超过3660元，问这次最多可以购买篮球多少个？ 29．（2025·四川资阳·一模）“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有，两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份类和1份类共需38元；购买4份类和3份类共需86元． (1)分别求出，两类“周礼伤心凉粉”每份的价格； (2)芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买，两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买类“周礼伤心凉粉”多少份？ 30．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． (1)求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 31．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 32．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 33．（23-24七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．    (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 34．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 35．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 36．（24-25八年级下·河南·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【经典例题十三 一元一次不等式新定义问题】 【例13】（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 39．（23-24七年级下·福建泉州·期中）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 40．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【经典例题十四 一元一次方程与不等式相结合】 【例14】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组 ； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期中）张老师在上课时遇到下面问题： 已知，满足方程组，求的值． 小丽说：把方程组解出来，再求的值． 小华说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以4，解得． 请你参考小丽或小华同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于，的方程组的解满足，求的值； (2)已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 42．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 43．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南鹤壁·二模）关于的不等式有正数解，则m的值可以是 （写出一个即可）． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）李明去医院体检，看到甲、乙两窗口前面排队办理登记的人一样多（设为人，），就站在甲窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现甲窗口每分钟有4人登记完离开队伍，乙窗口每分钟有8人登记完离开队伍，且乙窗口队伍后面每分钟增加6人．李明迅速从甲窗口队伍转移到乙窗口队伍后面重新排队．则： （1）此时李明到达乙窗口所需时间为 （用含的式子表示）； （2）若李明到达乙窗口所花的时间比继续在甲窗口排队到达甲窗口所花的时间少，不考虑其他因素，则的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 11．（24-25九年级下·江西景德镇·期中）下面是小友同学解不等式的运算过程： (1)以上解题过程中，从第________步骤开始出现错误，这一步错误的原因是_______； (2)请写出该不等式正确的求解过程． 12．（2025·陕西咸阳·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 13．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知：，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的取值范围． 14．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）2024年9月第三届湖南旅发大会在衡阳召开，衡阳文旅迅速“火出圈”，热度“爆表”，整个城市迎来高光时刻，一跃成为湖南的热门旅游目的地，游客量增速位居全省第一．某经销店调查发现：与吉祥物“火出圈”相关的A，B两款纪念品深受游客喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用60元；购进1个A款和2个B款共用100元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该经销店决定购进这两款纪念品共140个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$