精品解析：浙江省杭州中学2024—2025学年八年级下学期期中数学试卷

杭州中学2024学年第二学期初二阶段性综合练习数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. ▱ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠D的度数是________． 13. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 14. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 15. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，则大坝横截面的面积为___________平方米 16. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算题： （1）； （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； （2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值 21. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动． 素材1 小聪同学的探究结果如图3所示， ，连结，发现四边形是平行四边形． 素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值． 解决问题 任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积． 任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出___________． 24. 如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：． （2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由 （3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州中学2024学年第二学期初二阶段性综合练习数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下面各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质，根据二次根式性质将选项中的二次根式化简即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项符合题意； 故选：D． 2. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时， 首先应假设． 故选：D． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意；     B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意；     C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 6. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程可以化为，即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和， ∴方程可以化为， ∴， 故选：C． 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用中位线求出，利用矩形性质求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某月均增长率为x，根据1月份的销售量×（增长率）²＝3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积关系可求，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ∴，故②错误； ③∵，则， ，， ， 因此是倍根方程，故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ，故④正确。 综上所述，正确的是①③④． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 12. ▱ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠D的度数是________． 【答案】115° 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=130°，可求得∠A的度数，继而求得∠D的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A+∠C=130°， ∴∠A=65°， ∴∠D=180°-∠A=115°． 故答案为：115°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 13. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和内角综合．根据多边形的外角和是可求出处的外角，进而求解． 【详解】解：如图， 设处的外角为，则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键． 【详解】解：小王的最终成绩为分， 故答案为：． 15. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，则大坝横截面的面积为___________平方米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米， ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米， ∴大坝横截面的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算题： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，正确利用算术平方根的意义及二次根式的乘除法运算法则运算是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义化简运算即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解即可； （2）直接利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 其中，，，， ∴， ∴，． 19. 如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．先利用三线合一得出，，利用四边形是平行四边形结合，推出四边形是平行四边形，再结合，即可证明． 【详解】证明：∵，是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； （2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值 【答案】（1），方程的另一个根是 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键． （1）将代入，进而求出k的值，进而得出方程的解； （2）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解方程得出即可． 【小问1详解】 解：∵是此方程的一个根， ∴代入方程得：， 解得：， ∴原方程为：， 解得：， ∴方程的另一个根是． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 21. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，80； （2）解：七年级决赛成绩较好，理由如下： 由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； （3）（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分，众数， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数； 故答案为：85，85，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动． 素材1 小聪同学的探究结果如图3所示， ，连结，发现四边形是平行四边形． 素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值． 解决问题 任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积． 任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明； （2）过点O作于点H，交于点G，利用，求得，利用，求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （3）过点C作于M，过点B作交延长线于N，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）过点O作于点H，交于点G， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． （3）过点C作于M，过点B作交延长线于N，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题是三角形综合题目，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 24. 如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：． （2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由 （3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示． 【答案】（1）见解析 （2）F的长度不变， （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 解：结论：的长度不变．． 理由：如图中，取的中点，连接，． ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：如图中，当点在线段上时，作于． 在中，，， ， ， 当点在DA的延长线上时，同法可得 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $