专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 一元一次不等式的新定义问题 题型十四 一元一次方程与不等式相结合 知识点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得． 【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用不等号表示出来的两个量之间的不相等性(如用<、>和≠分别表示“小于”、“大于”和“不等于”)的表达式叫不等式．据此分析即可. 【详解】解：①是代数式； ②是不等式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤是不等式； ⑥是不等式； 属于不等式的共3个， 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的定义，解题的关键是熟悉不等式的性质． 4．（24-25七年级下·全国·阶段练习）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 5．（23-24七年级下·全国·阶段练习）用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质；熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3）， ， ，， 故答案为：，； （4）， ， ， ， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【答案】 【分析】此题考查不等式的性质， （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，故， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·阶段练习）（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【答案】（1）一定有，理由见解析；（2）不一定有，理由见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可判断； （2）根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：（1）一定有，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）不一定有，理由如下： ①当时，； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 9．（23-24七年级下·全国·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 10．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（23-24七年级下·全国·阶段练习）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 16．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），在数轴上表示其解集见解析；（2），在数轴上表示其解集见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； 【详解】解：（1）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示其解集如图所示． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 在数轴上表示其解集如图所示． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）解下列一元一次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先去括号，移项，然后解出答案即可； （2）先去分母，然后去括号，移项，最后解出答案即可； 【详解】（1）解： （2）解： 18．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，一元一次不等式的求解，先求出方程的解为，再根据方程的解为非负数，列出不等式求出k的范围即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 方程的解为非负数， ， 解得：． 19．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式，解题的关键是用表示出、的值，再根据题意列出不等式．先把当作已知表示出、的值，再根据列出不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ， ， 解得：． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法． （1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错， 故答案为：⑤； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 21．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知关于x的方程组 的解满足． (1)求k的非负整数值； (2)在（1）的条件下，将关于x的不等式的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】(1)0 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组（不等式），再数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键． （1）由得，，根据得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可得到非负整数值； （2）把代入得到，再解不等式，求出其解集，再在数轴表示即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴k的非负整数值为0； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴数轴表示如图： ． 22．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）关于的方程的解不大于1，利用不等式的基本性质求的正整数值． 【答案】1，2，3，4 【分析】先根据题意用m表示出x，再根据题意可得到关于m的一元一次不等式，解出解集即可 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解不大于1， ∴， 解得：， ∴的正整数值有1，2，3，4． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握其正确的解法步骤． 23．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】(1)是 (2) (3)6 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【详解】（1）解方程，解得， 解不等式，解得， 满足不等式， 方程的解是一元一次不等式的“友好解”， 故答案为：是； （2）解：， 由②－①，得． 由，得， ∴，解得； （3）解：解方程，得． 由题意，得是不等式的“友好解”， ∴，解得， ∴m的最小整数值为6． 24．（23-24七年级上·江西宜春·期末）已知不等式的正整数解是方程的解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解一元一次方程，先解关于的不等式，求得的解集，然后根据不等式正整数解是方程的解，进而求得，再代入计算即可．．解题的关键掌握不等式的解法及一元一次方程的解法． 【详解】解：∵， 解得： ∴不等式的正整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案． （2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案． 【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3， ∴， 故答案为：. （2）∵的解集中最小整数为-2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键． 25．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 26．（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 28．（2022·河北邢台·二模）已知两个整式，，其中系数■被污染． (1)若■是，化简； (2)若时，的值为18． ①说明原题中■是几？ ②若再添加一个常数，使的值不为负数，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①4；②-18 【分析】（1）把■=代入B，然后按整式加法法则计算即可； （2）①设，建立关于m的方程，求解即可； ②根据题意建立关于a的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： = ； （2）解：①设， 依题意得，， 解得； ②∵， ∴的值不为负数时，有． 即，解得， ∴的最小值为． 【点睛】本师考查整式的加法运算，解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握整式加法法则是解题的关键． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 29．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 30．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 31．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（23-24六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 33．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式．设车速是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分钟小时， 设车速是，根据题意可列不等式． 故选：A． 34．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用．设小明进了x个三分球，则进了个两分球，根据“分超过了56分”列出不等式即可． 【详解】解：设小明进了x个三分球，则进了个两分球， 由题意得， 故选：D． 35．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此类题目注意提取不等关键词是解题的关键． 根据题意可得，小华答对题的得分：；小华答错的得分：然后根据华得分要超过90分列不等关系即可． 【详解】解：设小明答对了道题， 根据题意，得． 故答案是：． 36．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【答案】(1)x的取值范围是． (2)小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及用一元一次不等式解决问题，解决本题的关键是熟练掌握由题意能列出不等式． （1）根据题意先列出不等式，再求出解集即可； （2）先根据题意列出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， x的取值范围是； （2）设小颖家将x亩稻田用于种植蔬菜， 由题意可得， 解得：， 小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副围棋元，每副中国象棋元 (2)最多可以购买副围棋 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键． （1）设每副围棋为元，每副中国象棋元，根据题意列方程组即可求解； （2）设可以购买副围棋，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每副围棋为元，每副中国象棋元， ， 解得：， 答：每副围棋元，每副中国象棋元； （2）设可以购买副围棋， ， 解得：， 答：最多可以购买副围棋． 37．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】(1)原来每天修路； (2)以后几天内平均每天至少要修路． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【详解】（1）解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； （2）解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路． 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年1班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖元，每顶帽子卖元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子． (1)请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请直接写出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 【答案】(1)方案一实际费用：；方案二实际费用： (2)方案二更便宜，理由见解析 (3)时，方案一不一定更便宜，方案一更便宜时，的最大值为． 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将、值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将代入（1）中得到关于的代数式，将两个代数式作差，根据的取值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵购买条裙子和顶帽子， ∴方案一实际费用：， 方案二实际费用：． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴方案二更便宜． （3）解：当时，方案一不一定更便宜，理由如下： ∵，， ∴， ∴方案一实际费用：；方案二实际费用：， ∵， ∴当方案一更便宜时，时，解得：， ∴当时，方案一更便宜， ∵为整数， ∴的最大值为． 39．（2025·广东东莞·一模）在东莞市全力推进“百县千镇万村高质量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜果畅全国．某商贩看准商机，购进了一批桂味和糯米糍荔枝．已知购进桂味3千克、糯米糍1千克共需元，购进桂味1千克、糯米糍2千克共需60元． (1)每千克桂味和糯米糍的进价分别是多少元？ (2)该商贩决定购进桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂味最多可购进多少千克？将桂味的售价定为每千克40元，糯米糍的售价定为每千克30元，按照桂味的最大购进量，请算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润． 【答案】(1)每千克桂味元，每千克糯米糍元 (2)桂味最多可以购进40千克，最大利润为1360元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组合不等式． （1）设每千克桂味元，每千克糯米糍元，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程即可； （2）设购进桂味千克，则购进糯米糍千克，根据投入资金不超过元，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设每千克桂味元，每千克糯米糍元． ，解得 答：每千克桂味元，每千克糯米糍元． （2）解：设购进桂味千克，则购进糯米糍千克，由题意得： 解得， 桂味最多可以购进40千克， 最大利润为：（元） 答：桂味最多可以购进40千克，最大利润为1360元． 40．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． (1)甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ (2)学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 【答案】(1)甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元 (2)最多可以购买25个甲品牌足球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元，根据“购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元”列方程求解即可； （2）设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球，根据“总费用不超过5300元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元； （2）解：设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买25个甲品牌足球． 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 41．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 42．（2023·河北保定·二模）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数． (2)若点N在点M的左侧，求x的正整数值． 【答案】(1)点M表示的数为3 (2)x的正整数值为1和2 【分析】（1）点M与点N关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （2）点N在点M的左侧，根据左侧的数小于右侧的数列出不等式即可求出． 【详解】（1）解：∵点M与点N关于原点对称， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为3； （2）解∶若点N在点M的左侧， ∴， 解得， ∴x的正整数值为1和2． 【点睛】本题考查数轴上点表示数，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． 43．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y． (1)填写下表： x 1 2 3 4 5 … x y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示） (2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值； (3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据图形规律可得，；，，，，进而得出答案； （2）根据（1）中得出的规律列出方程，求解即可； （3）根据（1）中的结论列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：，； ，； ，； ，； ∴； 故答案为：，； （2）根据题意可得：， 解得：； （3）根据题意可得：， 解得：． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． 44．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值； （2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即m的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 (3)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练运用法则计算是解题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （3）利用去括号、移项、合并同类项，系数化为1解不等式，并把解集在数轴上表示； 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）解：去分母，得， 去括号，得2． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得19． 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 45．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可，正确求出不等式的解集是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上．如图所示： 46．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见详解 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键； 根据题意，先解不等式，再将不等式的解集表示出来即可求解； 【详解】解： ； 该解集在数轴上表示如下： ； 47．（24-25八年级下·河南·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： ∴； 在数轴上表示解集如图： （2） ∴； 数轴表示解集如图： 48．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去分母，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． 【经典例题十三 一元一次不等式新定义问题】 【例13】（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)x的值为或4． 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键． （1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可； （3）根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2； （2）解：， 或， 解得：或； 故； （3）解：已知， 若，即时，， 解得：； 若，即时，， 解得：； 综上，的值为或4． 49．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了整式的运算，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是分类讨论和理解“”运算． （1）根据“”运算求解即可； （2）由于为偶数，则的第一次运算结果为，第二次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算求解即可； （3）根据为奇数，且，得到第一次运算的结果为，求出，由于为偶数，则第二次运算的结果为，第三次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：中，是奇数， 的运算结果是， 故答案为：； （2）解：为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或； （3）解：为奇数，且，， 第一次运算的结果为， 解得：， 、为奇数， 为偶数， 第二次运算的结果为， 当是偶数时，第三次运算的结果为， 解得：， 当是奇数时，第三次运算的结果为， 解得：， 综上所述，， 为奇数，且是整数， 的值为，，，． 50．（23-24七年级下·福建泉州·期中）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)，，，，，； (3)． 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． 【详解】（1）解：解关于的不等式：，得． 解不等式：，得． 由题意得，解得． （2）解：解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴，易知， ∴． ∵，是正整数，且 ∴为1或7或17或或， ∴； （3）解：解不等式：，得． 将不等式变形，得，则， 不等式的解集为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的解集为． 51．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一次不等式求解是解题的关键．判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3的倍数的数，即可证明能被3整除． （1）根据定义新运算的形式代入即可； （2）根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案； （3）根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 故答案为∶ ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴最小整数m为2； （3）解： ， ∵a，b为整数， ∴能被3整除， ∴能被3整除． 【经典例题十四 一元一次方程与不等式相结合】 【例14】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组 ； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组、解一元一次不等式； （1）利用加减消元法求得，再代入求解即可； （2）由（1）得，是原方程组的解，代入，求解即可． 【详解】（1）解： ， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是原方程组的解， ∵是的一个解， 把代入得，， 解得； （2）解：由（1）得，是原方程组的解， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 52．（23-24七年级下·河南南阳·期中）张老师在上课时遇到下面问题： 已知，满足方程组，求的值． 小丽说：把方程组解出来，再求的值． 小华说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以4，解得． 请你参考小丽或小华同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于，的方程组的解满足，求的值； (2)已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1)a的值为7 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元一次不等式．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元一次不等式是解题的关键． （1）由得：，可得，即，计算求解即可； （2）由得：，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由得：， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴a的值为7； （2）解：由得：， ∴， ∵， ∴，    解得，． 53．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，解题的关键是根据一元一次不等式的解法解答． （1）先求出方程组的解为：，根据方程组的解也是方程的一个解，得出，求出a的值即可； （2）先根据得出，求出，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：方程组的解为：， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴把，代入得，， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得： ∴． 54．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 1．（24-25九年级下·陕西安康·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键． 先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在数轴上表示如下： ． 故选D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， 解得：， 在中只有 ∴的值可以是， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南·阶段练习）关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式，将两个方程相加得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选A． 4．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数满足，，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减，根据已知条件求出，消去c，得，从而得，由可得，故可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， 消去c，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以，选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式的解集．解不等式，得，由是不等式的解，求得，由a的最大整数为m，求得，据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 解得， ∵是不等式的解， ∴， 解得， ∵a的最大整数为m， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·北京·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）已知关于的不等式的解也是不等式的解，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，并会比较两个不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 求出两个一元一次不等式的解集进行比较即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式的解也是不等式的解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先解关于的方程组：，得到，再根据，，得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：解关于的方程组：， 解得：， ，， ， 解得：， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海·期中）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号表示a，b中的较大值，例如，．请解答下列问题：如果，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，新定义，分，即时，，即时两种情况，根据新定义结合已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式． 首先由中得出，再根据，即可求出的范围． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 12．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）现有三张卡片，，，每张卡片上面都写着一个整式，卡片上的整式为，卡片上的整式比卡片大，卡片上的整式是、两个卡片上的整式之和． (1)求卡片上的整式； (2)若卡片上的整式减去后，其结果具有非负性，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可； （2）将卡片上的整式减去化简后得，因为其结果具有非负性，所以，解不等式即可． 【详解】（1）解：卡片上的整式为，卡片上的整式比卡片大， ， 由卡片上的整式是、两个卡片上的整式之和可得； （2）解：由条件可知：， ， 卡片上的整式减去后，其结果具有非负性， ， 解得：， 的最大值为． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 【答案】(1)无缘解 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键． （1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解； （2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出，求解即可； （3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， 方程的解不满足，故此组合为无缘解； （2）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的是“无缘解”， ∴， 解得：． 14．（24-25八年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解∵，∴． 又∵，∴．∴． 又∵，∴．　…① 同理得：．　　…② 由得 ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________． (2)已知，，若成立，求的取值范围（结果用含m的式子表示）． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用． （1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可； （2）理解解题过程，按照解题思路求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 又， ，…① 同理得：，…② 由得， 的取值范围是， 故答案为：； （2）解：， ， 又， ， ， 又， ，…① 同理得：，…② 由①②得， 的取值范围是． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)，或；，或， (3) 【分析】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：解关于的不等式，得， 解不等式，得， 由题意得：， 解得：． （2）解：解不等式， 得：， 不等式得：， ， ， ，是正整数， 为1或4或2， ，或；，或，． （3）解：解不等式， 得：， 由得， 由两个不等式是同解不等式， 故，且， ， ， ， 故， 解得， ， ， 故， 故， 解得， 的解为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 一元一次不等式的新定义问题 题型十四 一元一次方程与不等式相结合 知识点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级·全国·假期作业）式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·阶段练习）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·阶段练习）用“”或“”填空： （1） ；     （2） ； （3）若，则有 ， ； （4）若，则 ， ． 6．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 8．（23-24七年级下·全国·阶段练习）（1）已知，是否一定有？请说明理由． （2）已知，是否一定有？请说明理由． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 9．（23-24七年级下·全国·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 10．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 11．（23-24七年级下·全国·阶段练习）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 12．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 16．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）解下列一元一次不等式 (1) (2) 18．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 19．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知关于x的方程组 的解满足． (1)求k的非负整数值； (2)在（1）的条件下，将关于x的不等式的解集表示在如图所示的数轴上． 22．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）关于的方程的解不大于1，利用不等式的基本性质求的正整数值． 23．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 24．（23-24七年级上·江西宜春·期末）已知不等式的正整数解是方程的解，求的值． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 25．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 26．（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 28．（2022·河北邢台·二模）已知两个整式，，其中系数■被污染． (1)若■是，化简； (2)若时，的值为18． ①说明原题中■是几？ ②若再添加一个常数，使的值不为负数，求的最小值． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 29．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 30．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 31．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 32．（23-24六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 36．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 37．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年1班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖元，每顶帽子卖元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子． (1)请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请直接写出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 39．（2025·广东东莞·一模）在东莞市全力推进“百县千镇万村高质量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜果畅全国．某商贩看准商机，购进了一批桂味和糯米糍荔枝．已知购进桂味3千克、糯米糍1千克共需元，购进桂味1千克、糯米糍2千克共需60元． (1)每千克桂味和糯米糍的进价分别是多少元？ (2)该商贩决定购进桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂味最多可购进多少千克？将桂味的售价定为每千克40元，糯米糍的售价定为每千克30元，按照桂味的最大购进量，请算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润． 40．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． (1)甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ (2)学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 41．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 42．（2023·河北保定·二模）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数． (2)若点N在点M的左侧，求x的正整数值． 43．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“○”的个数为y． (1)填写下表： x 1 2 3 4 5 … x y 5 8 ______ … ______（用含x的式子表示） (2)若第x个所贴“○”的个数为，求x的值； (3)若第x个所贴的“○”的个数大于，求x的取值范围． 44．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 45．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 46．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 47．（24-25八年级下·河南·阶段练习）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【经典例题十三 一元一次不等式新定义问题】 【例13】（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 49．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 50．（23-24七年级下·福建泉州·期中）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 51．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【经典例题十四 一元一次方程与不等式相结合】 【例14】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组 ； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 52．（23-24七年级下·河南南阳·期中）张老师在上课时遇到下面问题： 已知，满足方程组，求的值． 小丽说：把方程组解出来，再求的值． 小华说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以4，解得． 请你参考小丽或小华同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于，的方程组的解满足，求的值； (2)已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 53．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 54．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 1．（24-25九年级下·陕西安康·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南·阶段练习）关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数满足，，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·北京·期中）不等式的解集为 ． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）已知关于的不等式的解也是不等式的解，求的取值范围 ． 8．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是 ． 9．（24-25六年级上·上海·期中）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号表示a，b中的较大值，例如，．请解答下列问题：如果，则 10．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 . 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 12．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）现有三张卡片，，，每张卡片上面都写着一个整式，卡片上的整式为，卡片上的整式比卡片大，卡片上的整式是、两个卡片上的整式之和． (1)求卡片上的整式； (2)若卡片上的整式减去后，其结果具有非负性，求的最大值． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 14．（24-25八年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解∵，∴． 又∵，∴．∴． 又∵，∴．　…① 同理得：．　　…② 由得 ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________． (2)已知，，若成立，求的取值范围（结果用含m的式子表示）． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$