培优专题 矩形（知识盘点+14题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 矩形 矩形的定义 矩形的定义为:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。具体来说，在四边形中，如果它首先满足平行四边形的所有性质，即两组对边分别平行且相等，然后在此基础上，有一个角是直角，那么这个四边形就是矩形。由于平行四边形的邻角互补，当有一个角为直角时，其余三个角也必然是直角。所以矩形也可以理解为四个角都是直角的平行四边形。 特别提醒 矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的基本判定方法. 已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可) 矩形的性质 矩形作为一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，以下从边，角，对角线，对称性等方面进行说明： 边的性质 作为特殊的平行四边形，矩形的两组对边分别平行且相等。即 ， 角的性质 四个角均为直角：矩形的四个角都是。在矩形中，。 对角线的性质 对角线相等：矩形的对角线长度相等。若是矩形的对角线，则 。 互相平分：继承平行四边形的性质，矩形的对角线互相平分，即。 形成的三角形特点：矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等，即。 对称性 轴对称：矩形有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线。沿这两条直线对折，矩形的两部分能够完全重合。 中心对称：矩形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。将矩形绕着对角线交点旋转后，能与原来的图形重合。 此外，矩形还具有一些衍生性质，如矩形的面积等于长和宽的乘积，即（ 分别为矩形的长和宽）。在实际应用中，这些性质常被用于几何计算和证明。 拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，并且分成的四个等腰三角形的面积相等.因此，在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线是连接直角三角形斜边中点与直角顶点的线段，它具有以下重要性质： 性质 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即在中，，点是斜边的中点，则。 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即在中，点是边的中点，若，则是直角三角形，且 。 特别提醒 (1)注意这个性质必须满足的两个条件: ①在直角三角形中;②斜边上的中线.(2)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形. 如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 总结 求周长巧转换，其他线段亦有关 解答本题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质，把所求三角形的两条边转化为直角三角形的斜边上的中线，从而顺利求出三角形的周长 矩形的判定 矩形的判定方法主要有以下几种： 从定义判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。先证明一个四边形是平行四边形，再证明其中有一个角是直角，即可判定该四边形为矩形。例如，在四边形中，已知，且，因为可证明四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是矩形。 从角的角度判定 三个角是直角：如果一个四边形的三个角都是直角，那么这个四边形是矩形。因为四边形的内角和是 ，当有三个角是直角时，第四个角也必然是直角，四个角都是直角的四边形就是矩形。比如，在四边形中， 则，所以四边形是矩形。 从对角线的角度判定 对角线相等：对角线相等的平行四边形是矩形。先证明一个四边形是平行四边形，再证明其对角线相等，就能判定它是矩形。例如，在平行四边形中，已知，根据平行四边形的性质结合可通过全等三角形等方法证明四边形的四个角都是直角，从而得出四边形是矩形。 对角线相等且互相平分：如果一个四边形的对角线相等且互相平分，那么这个四边形是矩形。这是因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线相等，就满足了矩形的判定条件。比如，在四边形 中，与相交于点且，则可先根据 得出四边形是平行四边形，再由判定它是矩形。 特别提醒 用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形时，必须满足两个条件:①对角线相等;②是平行四边形(或对角线互相平分)也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形. 拓展 矩形是从“角”的角度学习的一种特殊平行四边形，因此，它的性质和判定方法多考虑角和对角线，与边关系不大! 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 总结 根据已知巧选矩形的判定方法 矩形是从“角”的角度学习的一种特殊平行四边形，因此，它的性质和判定方法多考虑角和对角线，与边关系不大! 已知条件 需要条件 平行四边形 有一个角是直角 对角线相等 一般四边形 有三个角是直角 对角线互相平分且相等 矩形性质理解 例1（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线相交于点E．若，则点E到的距离是（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【变式1-2】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知，仅用无刻度的直尺按下列步骤完成作图，并回答问题： (1)找格点D，连接，使，； (2)在线段上找点E，使（保留作图痕迹）． 【变式1-3】（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 利用矩形的性质求角度 例2（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23八年级下·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【变式2-2】（22-23八年级下·山西运城·期中）如图，在矩形中，点M在边上，,若，则的度数是 ．      【变式2-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则 ． 解后反思 火眼金睛寻找图中的隐含角度 求角度的问题，题目条件中一定已知某角的度数，然后根据已知角与所求角之间的关系来解决问题.而条件中的已知角会通过两种方式给出:一是题设中的明确条件，一是隐含在特殊图形中的隐含条件，如矩形中的直角,等边三角形中的 60°角,等腰直角三角形中的 45:角等. 根据矩形的性质求线段长 例3（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【变式3-1】（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（  ） A．16 B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 规律总结 矩形中求线段长度的锦囊妙计 (1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45°)的直角三角形的三边关系求解;(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条件,另外,还可借助全等三角形、线段的和差信分关系等求矩形中线段的长度. 根据矩形的性质求面积 例4（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 【变式4-1】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【变式4-2】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 利用矩形的性质证明 例5（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，矩形中，在轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（22-23八年级下·广西贵港·期中）如图，在矩形中，点M在边上，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数． 【变式5-3】（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 解后反思 有关矩形的证明题常与全等三角形或直角三角形等知识结合起来考查.利用矩形的性质，可以得到许多有关等角、等边的结论，在解决此类证明题时，注意合理选择这些结论. 求矩形在坐标系中的坐标 例6（22-23七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【变式6-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【变式6-3】（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 矩形与折叠问题 例7（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 【变式7-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 【变式7-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为 ． 斜边的中线等于斜边的一半 例8（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式8-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，等边三角形的边长为，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则为（） A．20 B．18 C．16 D．21 【变式8-3】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    矩形的判定定理理解 例9（23-24八年级下·河北廊坊·期中）对于一个四边形，下列命题的逆命题中，不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．平行四边形的两组对边分别相等 C．矩形的对角线相等 D．矩形的四个角都是直角 【变式9-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（　　）    A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形 【变式9-2】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是、的中点，连接，过点F作交边于点P，连接，则下列结论中不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-3】（22-23八年级下·广西贵港·期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（   ） A．测量一组对角是否都为直角 B．测量三个内角是否都为直角 C．测量两条对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 添一条件使四边形是矩形 例10（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【变式10-1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【变式10-2】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 证明四边形是矩形 例11（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． 【变式11-1】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，点是的中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足______时，四边形是矩形．并说明理由． 【变式11-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【变式11-3】（22-23八年级下·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 根据矩形的性质与判定求角度 例12（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【变式12-2】（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【变式12-3】（23-24八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 根据矩形的性质与判定求线段长 例13（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ； （2）线段长度的最小值是 ． 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【变式13-3】（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 根据矩形的性质与判定求面积 例14（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【变式14-1】（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【变式14-2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，平行四边形的面积为72，P为平行四边形内部的任意一点，则图中阴影部分的面积之和为 ． 解后反思 矩形性质、判定一起考,互逆关系易混淆 几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形”是判定;反之，“已知一个四边形是矩形,证明线段或角的关系”是性质.解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质。 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）小强和小壮在做一道习题：若四边形 是平行四边形，请补充条件，使得四边形是矩形，小强补充的条件是；小壮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（    ） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 2．（22-23八年级下·新疆博尔塔拉·期中）已知：如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连换． (1)求证：． (2)当点D在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川南充·期中）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，则矩形的面积是（   ）．    A．15 B．24 C． D．16 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级下·天津·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）下列条件中，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 8．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 9．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 10．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 11．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，M为边上一点，连接，过点D作于E，若，，则的长为 ． 12．（21-22八年级下·北京丰台·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 三、解答题 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求度数． 14．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形． 15．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 矩形 矩形的定义 矩形的定义为:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。具体来说，在四边形中，如果它首先满足平行四边形的所有性质，即两组对边分别平行且相等，然后在此基础上，有一个角是直角，那么这个四边形就是矩形。由于平行四边形的邻角互补，当有一个角为直角时，其余三个角也必然是直角。所以矩形也可以理解为四个角都是直角的平行四边形。 特别提醒 矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的基本判定方法. 已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可) 【答案】∠A＝90°(答案不唯一) 【详解】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°． 矩形的性质 矩形作为一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，以下从边，角，对角线，对称性等方面进行说明： 边的性质 作为特殊的平行四边形，矩形的两组对边分别平行且相等。即 ， 角的性质 四个角均为直角：矩形的四个角都是。在矩形中，。 对角线的性质 对角线相等：矩形的对角线长度相等。若是矩形的对角线，则 。 互相平分：继承平行四边形的性质，矩形的对角线互相平分，即。 形成的三角形特点：矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等，即。 对称性 轴对称：矩形有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线。沿这两条直线对折，矩形的两部分能够完全重合。 中心对称：矩形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。将矩形绕着对角线交点旋转后，能与原来的图形重合。 此外，矩形还具有一些衍生性质，如矩形的面积等于长和宽的乘积，即（ 分别为矩形的长和宽）。在实际应用中，这些性质常被用于几何计算和证明。 拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，并且分成的四个等腰三角形的面积相等.因此，在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线是连接直角三角形斜边中点与直角顶点的线段，它具有以下重要性质： 性质 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即在中，，点是斜边的中点，则。 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即在中，点是边的中点，若，则是直角三角形，且 。 特别提醒 (1)注意这个性质必须满足的两个条件: ①在直角三角形中;②斜边上的中线.(2)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形. 如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， （2）证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． 总结 求周长巧转换，其他线段亦有关 解答本题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质，把所求三角形的两条边转化为直角三角形的斜边上的中线，从而顺利求出三角形的周长 矩形的判定 矩形的判定方法主要有以下几种： 从定义判定 －定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。先证明一个四边形是平行四边形，再证明其中有一个角是直角，即可判定该四边形为矩形。例如，在四边形中，已知，且，因为可证明四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是矩形。 从角的角度判定 三个角是直角：如果一个四边形的三个角都是直角，那么这个四边形是矩形。因为四边形的内角和是 ，当有三个角是直角时，第四个角也必然是直角，四个角都是直角的四边形就是矩形。比如，在四边形中， 则，所以四边形是矩形。 从对角线的角度判定 对角线相等：对角线相等的平行四边形是矩形。先证明一个四边形是平行四边形，再证明其对角线相等，就能判定它是矩形。例如，在平行四边形中，已知，根据平行四边形的性质结合可通过全等三角形等方法证明四边形的四个角都是直角，从而得出四边形是矩形。 对角线相等且互相平分：如果一个四边形的对角线相等且互相平分，那么这个四边形是矩形。这是因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线相等，就满足了矩形的判定条件。比如，在四边形 中，与相交于点且，则可先根据 得出四边形是平行四边形，再由判定它是矩形。 特别提醒 用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形时，必须满足两个条件:①对角线相等;②是平行四边形(或对角线互相平分)也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形. 拓展 矩形是从“角”的角度学习的一种特殊平行四边形，因此，它的性质和判定方法多考虑角和对角线，与边关系不大! 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 总结 根据已知巧选矩形的判定方法 矩形是从“角”的角度学习的一种特殊平行四边形，因此，它的性质和判定方法多考虑角和对角线，与边关系不大! 已知条件 需要条件 平行四边形 有一个角是直角 对角线相等 一般四边形 有三个角是直角 对角线互相平分且相等 矩形性质理解 例1（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】由矩形的性质得出，，证明是等边三角形，得出，，证明出是等腰三角形，得出，因此，由等腰三角形的性质即可得出的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线相交于点E．若，则点E到的距离是（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理；连接交于，由平行四边形的判定得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由矩形的性质得，，再由三角形中位线定理得，，即可求解；理解点到直线距离的定义，掌握平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 分别过点C、D作、的平行线相交于点E， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ∴，， ，是的中位线， ，， ，， ， 点E到的距离为：； 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知，仅用无刻度的直尺按下列步骤完成作图，并回答问题： (1)找格点D，连接，使，； (2)在线段上找点E，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质． （1）利用格点的特征取格点，连接，使得，连接即可； （2）利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质，取格点连接交于点，连接并延长交于点E，即可． 【详解】（1）解：取格点，连接， ， ， ，， ， ， 如图所示，为所求； （2）解：取格点连接交于点K，连接并延长交于点E， 是等腰直角三角形，点K为中点， ， ， 如图所示，为所求． 【变式1-3】（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 利用矩形的性质求角度 例2（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可知，则可求得，则可求得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴ ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-1】（22-23八年级下·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 【变式2-2】（22-23八年级下·山西运城·期中）如图，在矩形中，点M在边上，,若，则的度数是 ．      【答案】/16度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用矩形的性质成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解： 在中，， ∴， ∵在矩形中，， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，由等边对等角得 ，再根据三角形外角的性质可得结论．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 解后反思 火眼金睛寻找图中的隐含角度 求角度的问题，题目条件中一定已知某角的度数，然后根据已知角与所求角之间的关系来解决问题.而条件中的已知角会通过两种方式给出:一是题设中的明确条件，一是隐含在特殊图形中的隐含条件，如矩形中的直角,等边三角形中的 60°角,等腰直角三角形中的 45:角等. 根据矩形的性质求线段长 例3（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 【变式3-2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（  ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得是等边三角形，可求出，勾股定理可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴矩形的周长， 故选：C． 【变式3-3】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 规律总结 矩形中求线段长度的锦囊妙计 (1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45°)的直角三角形的三边关系求解;(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条件,另外,还可借助全等三角形、线段的和差信分关系等求矩形中线段的长度. 根据矩形的性质求面积 例4（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ． 点到矩形的两条对角线和的距离之和是12． 故选：B． 【变式4-1】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． 【变式4-2】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 【变式4-3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 利用矩形的性质证明 例5（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，矩形中，在轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，能求出的长度是解题的关键． 根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 【变式5-1】（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明，推出，，可证③，④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，， ， 故②正确； ，， ， 在和中，， ， ，， ， 故③，④正确； 现有条件不能证明，故①错误， 综上可知，正确的有②，③，④，共3个， 故选C． 【变式5-2】（22-23八年级下·广西贵港·期中）如图，在矩形中，点M在边上，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等角对等边得，根据矩形的性质得到，根据即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得，进而可求出的度数． 【详解】（1）理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点M在边上， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式5-3】（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 解后反思 有关矩形的证明题常与全等三角形或直角三角形等知识结合起来考查.利用矩形的性质，可以得到许多有关等角、等边的结论，在解决此类证明题时，注意合理选择这些结论. 求矩形在坐标系中的坐标 例6（22-23七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【变式6-3】（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 矩形与折叠问题 例7（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由矩形的性质得，，，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得的长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得， ， ， ，且，， ， 解得， 的长是， 故选：D． 【变式7-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是_______． ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，求S与的关系式． 【答案】(1)①；②点D的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，，，由勾股定理可求出D点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，，，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：①∵正方形边长为2，点C的坐标为， ∴， ∵将沿直线折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点E是线段的中点， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设点D的坐标为，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， ∵ ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：如图，连接，， 设，则． 设，则， 在中，， ∴ 解得， ∴； 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 斜边的中线等于斜边的一半 例8（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定，结合点是边上的中点，可证； （2）在中，利用勾股定理求得的长，根据即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，是边的中点， ，， ， 点是边上的中点， ； （2）解： ，，点是边上的中点， ， 在中，由勾股定理得， 由（1）知， ； 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，等边三角形的边长为，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则为（） A．20 B．18 C．16 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半． 过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， 是等边三角形 ∵点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式8-3】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    【答案】3 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解． 【详解】解：因为：点分别是边请、的中点， 所以：为中位线， 所以：， 因为：， 所以：D为直角三角形斜边中线， 所以：， 由此可解． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 矩形的判定定理理解 例9（23-24八年级下·河北廊坊·期中）对于一个四边形，下列命题的逆命题中，不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．平行四边形的两组对边分别相等 C．矩形的对角线相等 D．矩形的四个角都是直角 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题，平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．根据题意正确改下逆命题是解题的关键． 先将各选项改写成逆命题，然后根据平行四边形的性质与判定，矩形的判定判断正误即可． 【详解】解：由题意知，A选项的逆命题为平行四边形是对角线互相平分的四边形，正确，故不符合要求； B选项的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故不符合要求； C选项的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，错误，故符合要求； D选项的逆命题为四个角都是直角的四边形是矩形，正确，故不符合要求； 故选：C． 【变式9-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（　　）    A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形 【答案】D 【分析】取中点O，连接、，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案． 本题考查了平行四边形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】如图，取中点O，连接、，    ∵中，点E，F分别是，的中点， ，，，，，， ，， ∴E，O，F三点共线， 又，， ，即， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， A选项，不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形； B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 故选：D 【变式9-2】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是、的中点，连接，过点F作交边于点P，连接，则下列结论中不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形为平行四边形，可得，可判断A选项；由平行四边形的性质可得，再结合等腰三角形的性质可判断B选项；由四边形为平行四边形，可得，可判断C选项；只有当是矩形时，，可判断D选项． 【详解】解：如图，连接，    ∵、分别是的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，故A正确，不符合题意； 在中，，，， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， 当时，则， ∴，则此时是矩形， 即：只有当是矩形时，，故结论错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式9-3】（22-23八年级下·广西贵港·期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（   ） A．测量一组对角是否都为直角 B．测量三个内角是否都为直角 C．测量两条对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A．测量一组对角是否都为直角，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； B．测量三个内角是否都为直角，根据有三个角是直角的四边形为矩形，可以判断四边形门框是矩形，符合题意； C．测量两条对角线是否相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； D．测量两组对边是否分别相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； 故选：B． 添一条件使四边形是矩形 例10（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴当时， 是为矩形， 故答案为∶ （答案不唯一）． 【变式10-1】（22-23八年级下·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再证明，即可由得出结论； （2）先利用全等三角形与等腰直角三角形的性质证得，，即可得出结论； （3）当四边形是矩形时，则，根据全等三角形的性质知：，即可得出． 【详解】（1）证明：∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：当满足时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的判定定理是解题的关键． 【变式10-2】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角时直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； B、，不能判定是矩形，故不符合题意； C、，四边形是矩形，故符合题意； D、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； 故选：C． 【变式10-3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 证明四边形是矩形 例11（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 由证明，得出对应边相等，证出四边形为平行四边形，再由求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 【变式11-1】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，点是的中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足______时，四边形是矩形．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【变式11-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形是平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 【变式11-3】（22-23八年级下·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 根据矩形的性质与判定求角度 例12（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式12-1】（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 【变式12-2】（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 【变式12-3】（23-24八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【答案】(1)60 (2)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数； （2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论． 【详解】（1）四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， 四边形ABCD是矩形， ， ， 为等边三角形， 故答案为：60． （2）， ， 四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， ， ，， ，， ，，， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ， ， ， 在中， ， 根据矩形的性质与判定求线段长 例13（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ； （2）线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短； （1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解； （2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形 ∴， 故答案为：． （2）如图，连接． ，， ． 在矩形中，， 四边形为矩形， ， 的最小值即的最小值． 当时，取最小值． 在中，． ， ，即线段长度的最小值是． 故答案为：． 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由题意可证四边形是矩形，再根据为的中点，得到，当最小时，的值最小，如图所示，连接，由矩形的性质可得当最小时，即最小，此时的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小，由等面积法得到，可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， 如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小，此时的值最小， 根据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 【变式13-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；四边形的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中． （1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可； （2）分别求出、、、的长，再求出三角形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； （2）解：是等边三角形，边长为4， ，，， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ， ， 过作于， 则， ∵， ， ． 【变式13-3】（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质．欲证明，只要证明四边形是矩形即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ． ，分别平分，， ． ， 同理：，， ， 四边形是矩形， ． 根据矩形的性质与判定求面积 例14（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 【变式14-1】（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 【变式14-2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于，再证明四边形是矩形，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于， ∵平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故选：C． 【变式14-3】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，平行四边形的面积为72，P为平行四边形内部的任意一点，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】36 【分析】过点P作于点F，延长交于点G，过点A作于点E，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线定理可得，由矩形的判定与性质可得，由平行四边形的面积公式可得，再由，即可求解． 【详解】解：过点P作于点F，延长交于点G，过点A作于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为72， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线定理、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质得出是解题的关键． 解后反思 矩形性质、判定一起考,互逆关系易混淆 几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形”是判定;反之，“已知一个四边形是矩形,证明线段或角的关系”是性质.解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质。 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）小强和小壮在做一道习题：若四边形 是平行四边形，请补充条件，使得四边形是矩形，小强补充的条件是；小壮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（    ） A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 根据矩形的判定方法进行分析即可．根据平行四边形的性质可得，进一步得出，，当时，可判定，当时，可判定． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 当时， 平行四边形是矩形， ∴小强正确； 当时， ， 平行四边形是矩形， ∴小壮正确． 故选：A． 2．（22-23八年级下·新疆博尔塔拉·期中）已知：如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连换． (1)求证：． (2)当点D在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的性质、矩形的判定的应用， （1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得； （2）根据平行四边形性质推出，，得出平行四边形，根据推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：点D在的中点上时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为边长的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（22-23八年级下·四川南充·期中）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，则矩形的面积是（   ）．    A．15 B．24 C． D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题、平行线的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，灵活运用折叠的性质成为解题的关键． 由折叠可得，根据平行线性质可得，求出的长度，然后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值． 【详解】解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5． 故选：C． 4．（23-24八年级下·天津·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形．故B选项符合题意， 由无法判断平行四边形是矩形．故A选项不符合题意， 由无法判断平行四边形是矩形．故C选项不符合题意， 由无法判断平行四边形是矩形．故D选项不符合题意， 故选：B． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）下列条件中，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵中，， ∴是矩形，故选项A符合题意； B、中，，不能判定是矩形，故选项B不符合题意； C、中，，不能判定是矩形，故选项C不符合题意； D、∵中，， ∴是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 二、填空题 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形，可得，由勾股定理得，，则，，由，可得，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边是解题的关键． 8．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，连接，即可证明四边形是矩形；由矩形得出，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平方根解方程，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键．由矩形的性质可得，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，M为边上一点，连接，过点D作于E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，先根据矩形性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，进而得到，设，则，，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，由得， 解得：（舍去负值）， ， 故答案为：2． 12．（21-22八年级下·北京丰台·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形中位线定理可以证明四边形EFCH是平行四边形，再根据矩形的判定定理：有一个角等于的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，，且，， ∴HG=EF，且HG∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， 当时，则四边形EFCH是矩形． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定定理，平行四边形的判定定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理． 三、解答题 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质： （1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，     ∴ ∵四边形是矩形     ∴ ∵在△AOF和△COE中 ∴     ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是矩形     ∴ ∵在中，     又∵     ∴ ∵，     ∴ ∵在中， ∴． 14．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用矩形的性质作图，证明四边形是矩形以及平行四边形的性质是解答的关键． （1）已点C为圆心，长为半径画弧交延长线于点E，连接即可． 因为，即且，，所以四边形为矩形，则． （2）利用平行四边形的性质可得出，再结合已知条件得出四边形是平行四边形，再加上即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的点；（答案不唯一） （2）证明：四边形是平行四边形 即 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 15．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）过点O作于点F．根据矩形的性质可得，根据“等腰三角形三线合一”可得．再证明为的中位线，则可得．再根据平行四边形的性质可得，则可得，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点O作于点F． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$