精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾海波 审卷：陆维波 2025年4月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中，，则（     ）. A. B. 4 C. D. 12 2. （ ） A. B. C. D. 3. 中，，则=（ ）. A. B. C. D. 4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为复数，则 B. 若为向量，则 C. 若为复数，且，则 D. 若为向量，且，则 10. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）. A. B. C. D. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则为重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =________. 13. 已知，则_____________． 14. 若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）求的值. （2）若，，且，求的值. 16. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，为的中点，求. 17. 已知函数 （1）若的最小正周期为 （i）求值及图像的对称中心； （ii）当时，求的值域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. 18. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 19. 我们都知道，三角形的三边关系为：任意两边之和大于第三边.已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，若函数为上“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？（注：Rez指的是复数z的实部，Imz指的是复数z的虚部） 若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾海波 审卷：陆维波 2025年4月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中，，则（     ）. A. B. 4 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦定理，得到，即可求解. 【详解】在中，由，可得， 因为，由正弦定理，可得. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 3. 中，，则=（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理和平面向量的数量积定义求解. 【详解】由余弦定理，可得， 所以. 故选：A. 4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 5. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 6. 在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标. 【详解】根据向量模的计算公式，若，则. 已知，则； ，则.  可得. 所以. 则.  则.  根据半角公式，； .  因为，设. ； . 所以.  故选：B. 7. 已知向量，，，若，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可确定，后由投影向量定义可得答案. 【详解】因，由题，则. 则，则向量在向量上的投影向量为：. 又，， . 则. 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以 . 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为复数，则 B. 若为向量，则 C. 若为复数，且，则 D. 若为向量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令，，， ， ，， ，A对； ，不一定成立，B错； ，， ，， ，C错． 将两边平方并化简得，D对. 故选：AD 10. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用和差角的三角函数公式求解判断ABC；利用二倍角的正弦公式求解判断D 【详解】对于A， ，A不是； 对于B， ，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D. 故选：BCD 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】取线段的中点，得到，所以三点共线，再取线段的中点，证得三点共线，且三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到，可判定B正确；由，化简得到 ，求得，结合，可判定C错误；设内切圆的半径为，利用面积比求得，结合余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，则， 如图所示，取线段的中点，连接， 则， 所以，即，所以三点共线， 分别取线段的中点，连接， 同理可证：三点共线，且三点共线， 所以点为的重心，所以A正确； 对于B中，若， 由“奔驰定理”可得，所以， 所以，即，所以B正确； 对于C中，若， 即， 可得， 又由，且不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”，可得，所以C错误； 对于D中，若为的内心，设的内切圆的半径为， 则, 因为，所以， 设，则， 由余弦定理，可得，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算性质化简即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，则_____________． 【答案】##0.875 【解析】 【分析】应用辅助角公式得，令，解出，则，结合二倍角公式即可求. 【详解】由，得， 即，令，则， ， 所以 故答案为：. 14. 若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_． 【答案】 【解析】 【分析】设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为，由正弦定理，求得，再由余弦定理，化简可得，解得，得到三角形的三边边长分别为，进而可求解三角形的面积． 【详解】设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为， 由正弦定理可得，所以， 再由余弦定理可得， 化简可得，解得或（舍去）， 所以，故三角形的三边边长分别为， 又由余弦定理可得的，所以， 所以三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）求的值. （2）若，，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据平面向量模公式、平面数量积的定义，结合两角差的余弦公式进行求解即可； （2）利用两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，， ∵，∴，∴； （2）∵，且， ∴， 又∵，， ∴， 16. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式得到求解； （2）法一：由的面积为得到，再利用余弦定理得到，然后由两边平方即可求解；法二，根据得，再结合余弦定理即可求解；法三：利用中线定理得到求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 故， 即， 又，所以， 所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 法一：由，得. 由余弦定理得， 即，得. 由题知， 两边同时平方得， 故. 法二，同法一得. 易知， 则， 即， 得，得； 法三，同法一得.所以由中线定理得到， 所以，所以. 17. 已知函数 （1）若的最小正周期为 （i）求的值及图像的对称中心； （ii）当时，求的值域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1）（i），，；（ii） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用用到公式和降幂公式化简，再用辅助角公式化同名函数，即可求解； （2）将角的整体视为t，则可以表达t的范围，结合正弦函数的单调区间，可列关于参数的不等式组，求解即可. 【小问1详解】 （i）的最小正周期 令，得 的对称中心为， （ii）， 的值域为 【小问2详解】 令 在区间上单调递减 或 或. 18. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）2； （2）； （3）时，的面积取最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， 【小问2详解】 设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. 【小问3详解】 设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 19. 我们都知道，三角形的三边关系为：任意两边之和大于第三边.已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？（注：Rez指的是复数z的实部，Imz指的是复数z的虚部） 若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是R上的“完美三角形函数”，理由见解析 （2）. （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据 “完美三角形函数”的定义判断； （2）先将化简，对的正负讨论求出的值域，根据 “完美三角形函数”的定义列式求解； （3）根据“完美三角形函数”的定义列式可得，假设存在满足题意的点，且，则，运算可得，结合Ü，分析得到矛盾，故不存在. 【小问1详解】 是R上的“完美三角形函数”. 因为，所以. 所以. 所以函数是R上的“完美三角形函数”. 【小问2详解】 ， ， ①当时，， 由，得， ②当时，，满足题意， ③当时，， 由，得， 综上，实数取值范围是. 【小问3详解】 由题可得，， 由，得，故， 假设存在满足题意的点，且， 则， 而 ， 故， 事实上，由Ü， 得， 从而，矛盾， 故不存在点满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$