数学（湖北武汉卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（武汉卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，负数是（    ）． A． B． C． D． 2．记忆里一段不算太遥远的时光，找准了对称轴，对折过来，没有丝毫误差地与现实重叠起来．让我们学会欣赏轴对称图形的美，从中领略自然的奥妙，感受生活的韵律．京剧是中国的国粹，脸谱是传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列脸谱中不是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是（   ） A． B． C． D． 6．为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有人，分成个组，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（   ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 8．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 9．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ） A．1 B． C． D．2 10．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是边上的点，且，与分别交于点H、G，与交于点I，有下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的是（　　） A．①②③⑤ B．①③④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤⑥ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 12．从国家统计局网站获悉，截止到年末，全国人口万人（包括个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少万人．其中数据万人，用科学记数法表示为 人． 13．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 14．若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ． 15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 16．已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是 ．（填写序号） 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 18． （8分） 遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 19． （8分） 在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：分）： 89  79  91  64  75  85  54  97  75  52  58  91  93  73  80  61  75  80  91  57 81  88  64  69  63  82  81  61  70  73  69  63  66  70  54  91  65  73  96  62 我们对上述数据进行整理、描述、分析： ①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是． ②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组：52~60，60~68，68~76，76~84，84~92，92~100． ③列出频数分布表： 组别 1 2 3 4 5 6 数据/分 52~60 60~68 68~76 76~84 84~92 92~100 频数 5 9 a b 7 c ④画出频数直方图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)补全频数直方图； (3)根据频数直方图说说你获得了哪些信息． (4)请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数． 20． （8分） 如图，是的直径，D是上的点，是的切线且切点为点D，过点A作的垂线，垂足为点E，直线交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 21． （8分） 如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 22． （10分） 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 23． （10分） 在△ABC中，，是边上的高，射线与相交于点E，将绕点D逆时针旋转与相交于点F，分别过E，F作，，交于点P，令． (1)证明推断：如图1，连接，若． ①推断：四边形的形状是________； ②求证：； (2)类比探究：如图2，若．探究是否仍然成立，并证明你的结论； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接．若， ，，求线段的长． 24．（12分） 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（武汉卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，负数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】实数的运算，正数和负数，绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根． 根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解： A、|-2|=2，是正数，故本选项错误；B、=4，是正数，故本选项错误； C、 ＜0，是负数，故本选项正确；D、=2，是正数，故本选项错误． 故选C． 2．记忆里一段不算太遥远的时光，找准了对称轴，对折过来，没有丝毫误差地与现实重叠起来．让我们学会欣赏轴对称图形的美，从中领略自然的奥妙，感受生活的韵律．京剧是中国的国粹，脸谱是传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列脸谱中不是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查轴对称图形的定义，熟记它的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从几何体左侧看到的图形是左视图成为解题的关键． 根据左视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答． 【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．， 故该选项不符合题意； C．， 故该选项不符合题意； D． 故该选项符合题意； 故选：D． 5．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用写有“雨水”的邮票数除以邮票的总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有四张邮票，其中写有“雨水”的邮票有一张，且每张邮票被抽到的概率相同， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是， 故选：C． 6．为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有人，分成个组，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设该班有人，分成个组，根据若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设该班有人，分成个组， 根据题意有：， 故选：A 7．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（   ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设，过四个点作坐标轴的垂线，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【详解】解：设， 分别过四个点作坐标轴的垂线， 则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数， 由矩形面积可得， 即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数， 故选：D． 8．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米，数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符合题意； B、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意； C、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，不符合题意； D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则数值是25，属于偏胖，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 9．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示： 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是边上的点，且，与分别交于点H、G，与交于点I，有下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的是（　　） A．①②③⑤ B．①③④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤⑥ 【答案】D 【分析】①连接，先证 可得：，进而再证，由此得，据此可对结论①进行判断； ②过点O作交于K，可得，进而得为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断； ③由题可得，进而得，再证，即可对结论③进行判断； ④设的中点为K，连接，则，，假设，则，则，从而得，则为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，据此可对结论④进行判断； ⑤根据可对结论⑤进行判断； ⑥过点O作交于P，先证为等腰直角三角形，则，，再证，据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图1所示： ∵四边形为正方形，点O为一对角线的中点， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∠， ∴， 故结论①正确； ②过点O作交于K，如图2所示： ∵，， ∴，， ∴， 由结论①正确得， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论③正确； ④设的中点为K，连接，如图3所示： ∵， ∴为Rt斜边上的中线， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾， ∴假设不正确， 故结论④不正确； ⑤∵， ∴， 即， 故结论⑤正确； ⑥过点O作交于P，如图4所示： ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握以上知识点． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12．从国家统计局网站获悉，截止到年末，全国人口万人（包括个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少万人．其中数据万人，用科学记数法表示为 人． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，解答本题的关键是要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：万， 故答案为：． 13．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 14．若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，解答此题的关键是解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可． 【详解】解：联立，得 ， 解得， ∵交点在第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 16．已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与与轴的交点问题，根据抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点，得，对称轴，，即可判断①是正确的；结合，得，此时对称轴为直线，整理得，即可判断②是正确的；再因为点，点在抛物线上，且，得，即，即可判断③是正确的；先得，得，结合，整理得，函数的开口向上，则，令解得，然后再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． ∴，对称轴， 即， 在时，随的增大而减小，且， 把代入，得， 即 ∴， 故①是正确的； ∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． 且， ∴， ∴对称轴为直线， 即， ∴， 故②是正确的； ∵点，点在抛物线上，且 ∴，， ∵，且对称轴为直线，且抛物线的开口方向向上， ∴ ∴； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， 故③是正确的； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵， ∴ 设函数， ∵， ∴开口向上， 则 令则， 解得， ∵函数的开口向上， 则不等式的解集为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，则不等式的解集为． 当时，则，故不等式的解集为． 故④是不正确的； 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图形见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．先分别求解两个不等式，再求公共解，并在数轴上表示解集． 【详解】解：由①得，， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得，（2分） 由②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得，（4分） 不等式组的解集为，（6分） 在数轴上表示如下： （8分） 18． （8分） 遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，先求出，再证明全等，利用全等三角形的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴，（4分） ∴，， ∵，， ∴，（8分） 故楼高度是． 19． （8分） 在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：分）： 89  79  91  64  75  85  54  97  75  52  58  91  93  73  80  61  75  80  91  57 81  88  64  69  63  82  81  61  70  73  69  63  66  70  54  91  65  73  96  62 我们对上述数据进行整理、描述、分析： ①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是． ②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组：52~60，60~68，68~76，76~84，84~92，92~100． ③列出频数分布表： 组别 1 2 3 4 5 6 数据/分 52~60 60~68 68~76 76~84 84~92 92~100 频数 5 9 a b 7 c ④画出频数直方图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)补全频数直方图； (3)根据频数直方图说说你获得了哪些信息． (4)请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数． 【答案】(1)10，6，3 (2)见解析 (3)见解析 (4)本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数约有160人． 【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，能从题目中获取有用信息是解题的关键． （1）根据频数，直接求得a，b，c各数； （2）根据频数分布表补全频数直方图即可； （3）根据频数直方图，获取信息，言之有理即可； （4）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：10，6，3；（3分） （2）解：根据题意得， ，（4分） （3）解：从频数分布直方图中可以看出，成绩分布在68~76分内的人数最多，有10人； 在92~100分内的人数最少，有3人． 测评数据主要集中在60~92分之间；（6分） （4）解：（人） 答：本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数约有160人．（8分） 20． （8分） 如图，是的直径，D是上的点，是的切线且切点为点D，过点A作的垂线，垂足为点E，直线交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意可证，利用平行线的性质，可得，即可证得平分； （2）连接，过点C作于点M，过点D作于点N，首先根据勾股定理可求得，根据面积可求得，再根据勾股定理可求得，再根据圆周角定理可证得，即可求得的长，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；（3分） （2）解：如图：连接，过点C作于点M，过点D作于点N， ， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ∴， ，（5分） ，， ， ， ， 是的直径，， ， ， ，， ， ．（8分） 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键． 21． （8分） 如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图，位似图形，勾股定理，平行四边形的定义，直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和相关知识是解题的关键． （1）运用位似图形和勾股定理即可作出所求图形； （2）运用直角三角形的性质和平行四边形的定义即可作出所求图形． 【详解】（1）解：如下图，四边形，点，线段即为所求； 的中点即为点，的中点即为点，的中点即为点， 由图可知，由勾股定理可知：，，依据平行线对应线段成比例和线段，将线段五等分即可求出点．（4分） （2）解：如下图，点，线段，四边形即为所求． 连接网格对角线，交线段于点,此时，所以是直角三角形，且，所以，依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 连接网格对角线，交线段于点,此时，连接网格对角线，此时，连接网格对角线，交线段于点,连接交于点，此时，所以四边形为平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（8分） 22． （10分） 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线；（2分） （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：；（6分） （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴，（8分） 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或．（10分） 23． （10分） 在△ABC中，，是边上的高，射线与相交于点E，将绕点D逆时针旋转与相交于点F，分别过E，F作，，交于点P，令． (1)证明推断：如图1，连接，若． ①推断：四边形的形状是________； ②求证：； (2)类比探究：如图2，若．探究是否仍然成立，并证明你的结论； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接．若， ，，求线段的长． 【答案】(1)①正方形；②见解析 (2)仍然成立 (3) 【分析】（1）①证明， 得出，根据，，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形，根据，证明四边形为正方形 ； ②根据正方形的性质得出，，求出，根据，得出； （2）证明，得出， 证明，得出，即，求出； （3）连接交于O，交于M，连接，在中，，解直角三角形得出，，证明，得出，，求出，，证明四边形是矩形，得出，证明，说明垂直平分，求出，，，证明，得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵是边上的高， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形 ； 故答案为：正方形；（1分） ②证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴；（3分） （2）解：结论：仍然成立．理由如下： ∵是边上的高，， ∴，， ∴． ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，     ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）①知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ；（6分） （3）解：连接交于O，交于M，连接，如图所示： 在中，， ∴设，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 24．（12分） 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②求出点坐标，根据两直线平行，值相同，待定系数法求出函数解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，，，易得四边形为平行四边形，得到，作点关于直线的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入， 则：解得． 抛物线的解析式为．（3分） ②解：由得点坐标为． 设直线的解析式为，把， 分别代入，得解得 直线的解析式为． 由可设的解析式为． 把点代入解得． 的解析式为． 由解得，． 故点的坐标为． ∴．（6分） （2）解：由得， 故点，直线为． 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点． 连接，则，且． ，， ，． 连接，，则四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线的对称点，则． 连接，则． ． 即当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 过点作轴，垂足为，则，． 由勾股定理知，即 解得，． ， 应舍去． 抛物线的解析式为．（12分） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（武汉卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题6分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．___________________ 16. __________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） (1)填空：______，______，______； 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（武汉卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D D C A D B B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13．150 14． 15．2 16.①②③ 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】解：由①得，， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得，（2分） 由②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得，（4分） 不等式组的解集为，（6分） 在数轴上表示如下： （8分） 18． （8分） 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴，（4分） ∴，， ∵，， ∴，（8分） 故楼高度是． 19． （8分） 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：10，6，3；（3分） （2）解：根据题意得， ，（4分） （3）解：从频数分布直方图中可以看出，成绩分布在68~76分内的人数最多，有10人； 在92~100分内的人数最少，有3人． 测评数据主要集中在60~92分之间；（6分） （4）解：（人） 答：本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数约有160人．（8分） 20． （8分） 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；（3分） （2）解：如图：连接，过点C作于点M，过点D作于点N， ， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ∴， ，（5分） ，， ， ， ， 是的直径，， ， ， ，， ， ．（8分） 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键． 21． （8分） 【详解】（1）解：如下图，四边形，点，线段即为所求； 的中点即为点，的中点即为点，的中点即为点， 由图可知，由勾股定理可知：，，依据平行线对应线段成比例和线段，将线段五等分即可求出点．（4分） （2）解：如下图，点，线段，四边形即为所求． 连接网格对角线，交线段于点,此时，所以是直角三角形，且，所以，依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 连接网格对角线，交线段于点,此时，连接网格对角线，此时，连接网格对角线，交线段于点,连接交于点，此时，所以四边形为平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（8分） 22． （10分） 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线；（2分） （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：；（6分） （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴，（8分） 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或．（10分） 23． （10分） 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵是边上的高， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形 ； 故答案为：正方形；（1分） ②证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴；（3分） （2）解：结论：仍然成立．理由如下： ∵是边上的高，， ∴，， ∴． ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，     ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）①知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ；（6分） （3）解：连接交于O，交于M，连接，如图所示： 在中，， ∴设，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 24．（12分） 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入， 则：解得． 抛物线的解析式为．（3分） ②解：由得点坐标为． 设直线的解析式为，把， 分别代入，得解得 直线的解析式为． 由可设的解析式为． 把点代入解得． 的解析式为． 由解得，． 故点的坐标为． ∴．（6分） （2）解：由得， 故点，直线为． 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点． 连接，则，且． ，， ，． 连接，，则四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线的对称点，则． 连接，则． ． 即当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 过点作轴，垂足为，则，． 由勾股定理知，即 解得，． ， 应舍去． 抛物线的解析式为．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（武汉卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，负数是（    ）． A． B． C． D． 2．记忆里一段不算太遥远的时光，找准了对称轴，对折过来，没有丝毫误差地与现实重叠起来．让我们学会欣赏轴对称图形的美，从中领略自然的奥妙，感受生活的韵律．京剧是中国的国粹，脸谱是传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列脸谱中不是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是（   ） A． B． C． D． 6．为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有人，分成个组，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（   ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 8．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 9．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ） A．1 B． C． D．2 10．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是边上的点，且，与分别交于点H、G，与交于点I，有下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的是（　　） A．①②③⑤ B．①③④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤⑥ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 12．从国家统计局网站获悉，截止到年末，全国人口万人（包括个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少万人．其中数据万人，用科学记数法表示为 人． 13．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 14．若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ． 15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 16．已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是 ．（填写序号） 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解不等式组：， 并把它们的解集在数轴上表示出来． 18． （8分） 遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 19． （8分） 在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：分）： 89  79  91  64  75  85  54  97  75  52  58  91  93  73  80  61  75  80  91  57 81  88  64  69  63  82  81  61  70  73  69  63  66  70  54  91  65  73  96  62 我们对上述数据进行整理、描述、分析： ①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是． ②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组：52~60，60~68，68~76，76~84，84~92，92~100． ③列出频数分布表： 组别 1 2 3 4 5 6 数据/分 52~60 60~68 68~76 76~84 84~92 92~100 频数 5 9 a b 7 c ④画出频数直方图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)补全频数直方图； (3)根据频数直方图说说你获得了哪些信息． (4)请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数． 20． （8分） 如图，是的直径，D是上的点，是的切线且切点为点D，过点A作的垂线，垂足为点E，直线交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 21． （8分） 如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 22． （10分） 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 23． （10分） 在△ABC中，，是边上的高，射线与相交于点E，将绕点D逆时针旋转与相交于点F，分别过E，F作，，交于点P，令． (1)证明推断：如图1，连接，若． ①推断：四边形的形状是________； ②求证：； (2)类比探究：如图2，若．探究是否仍然成立，并证明你的结论； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接．若， ，，求线段的长． 24．（12分） 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$