精品解析：河北省沧州市四县学校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 2. 如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 椭圆 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B. 4. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量的模求出，再进行求解集即可. 【详解】因为，为单位向量，两边平方，得， 所以，则． 故选：D． 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 6. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（ ） A. B. 17 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】在复平面内每个小方格的边长均为1，由图可得，， 所以，则． 故选：A． 7. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解. 详解】正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则BD⊥AC，BD＝，， 正三棱柱的体积， 平面ABC，BD平面ABC，则BD， 又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面， ， 则四棱锥的体积． 故选：B． 8. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径. 故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，由圆台的体积为， 得，解得. 在梯形中，则，即母线长为. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 连结，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，， 由余弦定理得 所以. 验证知，由，得，， 此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线，即可求解A，根据对称性可求解BC，根据数量积的定义求解D. 【详解】由，可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动，所以， 所以的面积为定值，且，A正确； 因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有，B错误； 根据图形的对称性，当为的中点时，取到最大值， 当与或重合时，取到最小值，故的取值范围是，C正确； ，的取值范围是，D错误． 故选:AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数____. 【答案】##5.5 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：. 13. 已知复数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 14. 在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______，四面体ABCD的体积为______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】勾股定理判断出、为直角三角形，取BD的中点O，O为四面体ABCD的外接球的球心，可求得四面体ABCD的外接球的表面积；将四面体ABCD补成直三棱柱，根据求出体积. 【详解】在四面体ABCD中， ，，，，， 因为，所以为直角三角形， 因为，所以为直角三角形，取BD的中点O， 则，所以O为四面体ABCD的外接球的球心， 则BD为四面体ABCD外接球的直径， 所以四面体ABCD的外接球的表面积为； 将四面体ABCD补成直三棱柱，如图， ， ，，， 所以，， 所以，即， 故四面体ABCD的体积为 . 故答案为：；1. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）作图见解析，4； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积. （2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解. 【小问1详解】 在直观图中，，， 则在平面图形中，，，于是， 所以平面四边形平面图形如下图所示：    由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为． 【小问2详解】 直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． 【小问2详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得， 由， 得， 解得． 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三棱柱的体积公式计算即可； （2）根据几何图形性质解得圆锥底面圆半径和圆锥高，利用圆锥表面积、矩形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， 所以正三棱柱的体积． 【小问2详解】 在正三棱柱中，由（1）知，， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解； （2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解； ②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为，存在实数使得，即， 所以，可得，解得． 【小问2详解】 ①当时，，，， 所以， ， ， 所以． ②因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意． 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C D. 2. 如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 椭圆 D. 梯形 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 6. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（ ） A. B. 17 C. 5 D. 7. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间几何体叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数____. 13. 已知复数，则_____． 14. 在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______，四面体ABCD的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 17. 已知内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$