精品解析：山东省济宁市邹城市2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试题

2024～2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，，且，则（ ） A 2 B. C. D. 1 3. （ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 已知函数，将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. 2， D. 2， 6. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，复数的虚部为 B. 当时， C. 当时，复数对应的点在第一象限 D. 当时，为纯虚数 10. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若O，A，B三点共线，则 C. 若，则P点的广义坐标为 D 若，，则 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则________. 13. 函数的最大值________. 14. 已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与垂直，求与的夹角； （2）若，且在上投影向量的坐标为，求实数. 16. 已知复数虚数. （1）若是实数，求复数的模； （2）若，是关于的方程的一个根，求. 17. 已知，，其中，. （1）求； （2）求. 18. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 19. 南北朝时期伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. （1）求正三棱锥的体积； （2）已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω. （i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积； （ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求解即得. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知单位向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由得，又即可求解. 【详解】由有，所以， 所以，所以， 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由正弦的倍角公式，可得. 故选：B. 4. 如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理和向量的运算即可求解. 【详解】由题意有 所以. 故选：C. 5. 已知函数，将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. 2， D. 2， 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数图像变换即可求解. 【详解】由题意：将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍得， 把函数的图象向左平移个单位长度得. 所以. 故选：D. 6. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求出侧面积. 【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由， 得，则圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得，化简可得或，，再判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 又，，，， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选：A. 8. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，复数的虚部为 B. 当时， C. 当时，复数对应的点在第一象限 D. 当时，为纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的概念和几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，复数的虚部为，所以A正确； 对于B中，当时，复数，可得，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得，此时复数对应的点为， 此时复数对应的点在第一象限或轴的正半轴上，所以C错误； 对于D中，当时，可得复数，此时复数为纯虚数，所以D正确. 故选：ABD. 10. 如图，设，是平面内相交成角两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若O，A，B三点共线，则 C. 若，则P点的广义坐标为 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A由，即即可判断，对于B若O，A，B三点共线，则存在实数使得，进行坐标运算即可，对于C设点，由得计算即可，对于D即可计算. 详解】对于A： 由得， 所以 ，故A错误； 对于B：若O，A，B三点共线，则存在实数使得, 即得， 即，故B正确； 对于C：设点，则， 由得， 得，得点，故C正确； 对于D：得 ， 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件结合分析判断A；利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得，然后利用正弦函数的性质分析判断B；由选项可得判断C；由正弦定理结合及二倍角公式得，再结合可求出其范围进行判断D. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理得， 由正弦定理得，则，而， 则或，若，则，，此时， 于是，则，此时，B错误； 对于C，由选项B知，则，解得，C正确； 对于D，由正弦定理得 ， 而，则，，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件，根据向量平行的坐标表示列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 函数的最大值________. 【答案】 【解析】 【分析】利用周期函数性质，再用分段函数思想即可求最值. 【详解】由于， 所以是一个周期为的函数， 我们只需要研究一个周期，即， 当时，，此时， 由于，所以，即， 当时，，此时， 由于，所以，即， 所以综上的最大值为. 故答案为： 14. 已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为、，则圆台甲与乙的体积之比为________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，可得乙圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，得到，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】设甲圆台的上底面半径为，下底面圆的半径为，可得， 又由，即， 联立方程组，可得， 所以甲圆台的体积以为， 设乙圆台上底面半径为，下底面圆的半径为，可得， 又由，即， 联立方程组，可得， 所以甲圆台的体积以为， 所以甲乙圆台的体积比为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，是同一平面内的两个向量，其中. （1）若，且与垂直，求与的夹角； （2）若，且在上的投影向量的坐标为，求实数. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量与垂直可得，由此可求，结合向量夹角公式可求结论， （2）由条件求，结合投影向量的坐标表示公式列方程求. 【小问1详解】 因为与垂直， 所以，故，又， 所以， 由，可得， 所以， 又， 所以， 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为在上的投影向量的坐标为， 所以， 所以， 所以， 所以. 16. 已知复数为虚数. （1）若是实数，求复数的模； （2）若，是关于的方程的一个根，求. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）是实数得，即可求复数的模； （2）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解. 【小问1详解】 由复数为虚数，则， 又因为， 因为是实数，所以，即，所以； 【小问2详解】 由是方程的一个根，所以，即，由， 所以. 17. 已知，，其中，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的值，利用两角差的正切公式求出、的值，代入可得的值. 【小问1详解】 因为，，则，， 因为，， 所以，， ， 所以， . 【小问2详解】 因为， ， 所以， ， 因此. 18. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； 小问3详解】 在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 19. 南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，用平面去截半径为的球，截面为圆，延长，交球于点N，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）.平面将球体分为两个球缺.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. （1）求正三棱锥的体积； （2）已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω. （i）求平面截空间几何体Ω所得截面面积； （ii）若平面把空间几何体Ω分成两个部分，求较小部分的体积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出正三棱锥底面三角形的面积，再结合正三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解. （2）（i）由可知点的轨迹是以AB为直径的球，进而求出平面BCD截该球所得截面圆的半径，从而得到截面面积. （ii）利用祖暅原理，推导球缺体积公式，将所求较小部分体积转化为可求的几何体体积进行计算. 【小问1详解】 已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形.可得. 因为点是的中心，在正三角形中，. 在中，根据勾股定理，，，则. 根据三棱锥体积公式，可得. 【小问2详解】 （i）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径. 设球心为，为中点，求到平面的距离： 为中心，，则到平面的距离. 设截面圆的半径为，根据勾股定理. 根据圆的面积公式，可得截面面积. （ii）设较小部分为球缺，利用祖暅原理，推导球缺体积公式. 设球半径为，球缺高为. 构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥. 对于球缺，在距离球缺底面（）处，由勾股定理可知截面半径， 此截面面积. 对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是， 圆锥在该高度处截面半径与高度成正比，其截面面积为， 所以组合体在该高度处截面面积. 可见在任意相同高度处，球缺和组合体的截面面积相等. 圆柱体积，圆锥体积， 组合体体积，故球缺体积也. 先求球缺的高.根据球缺体积公式将，代入可得： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $