专题02 图形的旋转与性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题02 图形的旋转与性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 旋转对称图形的识别 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 判断由一个图形旋转而成的图案 题型五 画旋转图形 题型六 求旋转中心的个数 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十 利用旋转设计图案 题型十一 求旋转对称图形的旋转角度 题型十二 旋转角度问题 题型十三 旋转中的规律探究题 题型十四 旋转中的最值探究 题型十五 旋转综合题 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【经典例题二 旋转对称图形的识别】 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（    ） A．B． C． D． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 3．（23-24七年级下·河南开封·期中）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题： （1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______； （2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）． 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例3】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组图形中，由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换，其中进行平移变换的是 ，进行旋转变换的是 ，进行轴对称变换的是 ，进行中心对称变换的是 ．(填序号) 3．（23-24七年级·四川资阳·期末）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上． （1）画出关于O点的中心对称图形； （2）画出将沿直线l向上平移5个单位得到的； （3）要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转的度数为 ． 【经典例题四 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．    3．（24-25七年级下·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【经典例题五 画旋转图形】 【例5】（2024·福建厦门州·一模）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点△ABC（三个顶点在相应的小正方形的顶点处）在如图所示的位置，小刚在网格中画出了△ABC绕格点P顺时针旋转90°之后的对应△A1B1C1（点A1对应点4），连接AB1、B1C，请问小刚的画图对吗？AB1C的面积为多少？    (    ) A．对，2 B．对，3 C．不对，2 D．不对，3 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【经典例题六 求旋转中心的个数】 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 1．（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例7】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（　　） A．9 B． C． D． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，将绕点C顺时针旋转得到，，，则的度数是 ． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，是边AC上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，求的周长． 【经典例题八 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例8】（24-25七年级下·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，A，B，C，D四给点的坐标分别为，，，．若线段绕某点旋转一个角度后可以得到线段，则这个旋转中心的坐标是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【经典例题九 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数为 ．    3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 【经典例题十 利用旋转设计图案】 【例10】（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图所示的图案是由下列哪个图形旋转得到的（    ） A．B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【经典例题十一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例11】（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（   ）      A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 3． （23-24七年级下·山西长治·期末）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    【经典例题十二 旋转角度问题】 【例12】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·广西桂林·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 3．（2024·山西巴中·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【经典例题十三 旋转中的规律探究题】 【例13】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，若连续作旋转变换，则第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【经典例题十四 旋转中的最值探究】 【例14】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．    1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．   【经典例题十五 旋转综合题】 【例15】（23-24七年级下·福建厦门·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 1．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽淮南·开学考试）一副三角板、，如图1放置，、，将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是（　　） ①的角度恒为；②的角度不恒为；③在旋转过程中，若平分，平分，则． A．① B．②③ C．③ D．①③ 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．    8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ． 9．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，则所有满足条件的的值为 ． 11．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 12．（24-25七年级下·北京·阶段练习）如图所示，把绕点旋转至位置，延长交于，交于，若，，，求的度数． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的（保留作图痕迹，不必写作法） 14．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． (2)将绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 15．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 图形的旋转与性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 旋转对称图形的识别 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 判断由一个图形旋转而成的图案 题型五 画旋转图形 题型六 求旋转中心的个数 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十 利用旋转设计图案 题型十一 求旋转对称图形的旋转角度 题型十二 旋转角度问题 题型十三 旋转中的规律探究题 题型十四 旋转中的最值探究 题型十五 旋转综合题 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质举例． 【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如： 汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角； 钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角； 荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角． 【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． 【经典例题二 旋转对称图形的识别】 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义逐个判定即可解答． 【详解】解：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形，其中属于旋转对称图的有①②④． 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，旋转或平移，分别判断、解答即可． 【详解】解：A、由图形逆时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； B、由图形顺时针旋转180°而得出，故本选项不符合题意； C、由图形顺时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； D、不能由如图图形经过旋转或平移得到，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平移、旋转的性质．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 【答案】8 【分析】根据旋转对称图形的性质可知，旋转后图形与原图形完全重合，即对应线段是相等的. 【详解】由题意，本题图形为旋转对称图形，可以找出旋转中心为点O（如图所示），旋转角为， 由此可得，AB=CD，BC=DA，AM=CP，MB=PD，BN=DQ，NC=QA，MN=PQ，NP=QM， 故答案为8. 【点睛】本题考查了旋转对称图形，找出旋转中心和旋转角是解题关键. 3．（23-24七年级下·河南开封·期中）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题： （1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______； （2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）． 【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；（2）见解析 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义解答即可； （2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可． 【详解】解：(1) 正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)； 故答案为：正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)； (2)如图所示： 【点睛】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例3】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组图形中，由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换，其中进行平移变换的是 ，进行旋转变换的是 ，进行轴对称变换的是 ，进行中心对称变换的是 ．(填序号) 【答案】 ③ ①④ ② ④ 【分析】分析图形，可得③中，各对应点间的连线平行；①、④中，各对应点之间的位置关系也保持不变，②的两个图形有对称轴，④的图形有对称中心，结合几何变化的定义，可得答案． 【详解】根据平移是将一个图形从一个位置变换到另一个位置，各对应点间的连线平行，分析可得，③是平移变化； 由旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，各对应点之间的位置关系也保持不变，分析可得，进行旋转变换的是①、④； 根据轴对称变换是将图形绕对称轴转180度，分析可得，进行轴对称变换的是②； 中心对称是将图形绕对称中心旋转180度，分析可得，进行中心对称变换的是④． 故答案是：③， ①④，②， ④. 【点睛】考查几何变换的定义，注意结合几何变换的定义，分析图形的位置的关系，特别是对应点之间的关系． 3．（23-24七年级·四川资阳·期末）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上． （1）画出关于O点的中心对称图形； （2）画出将沿直线l向上平移5个单位得到的； （3）要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90° 【分析】（1）找出点关于原点的对应点，顺次连接即可. （2）将按照平移条件找出它们的对应点，顺次连接即可. （3）观察一对对应点的位置关系即可求出答案. 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由题可得，要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转的度数为． 故答案为． 【点睛】考查旋转以及平移作图，都需要找到各关键点的对应点，然后顺次连接即可. 【经典例题四 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．    【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一） 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程． 【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到， 故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【经典例题五 画旋转图形】 【例5】（2024·福建厦门州·一模）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质以及旋转的方向得出对应顶点位置即可得出答案． 【详解】解：∵图形绕其中心按逆时针方向旋转120°， ∴旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向， 故选B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转方向和旋转角度得出对应点位置是解题关键． 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点△ABC（三个顶点在相应的小正方形的顶点处）在如图所示的位置，小刚在网格中画出了△ABC绕格点P顺时针旋转90°之后的对应△A1B1C1（点A1对应点4），连接AB1、B1C，请问小刚的画图对吗？AB1C的面积为多少？    (    ) A．对，2 B．对，3 C．不对，2 D．不对，3 【答案】A 【分析】根据旋转的性质进行解答，由三角形面积公式计算面积. 【详解】△ABC绕格点P顺时针旋转90°之后的对应△A1B1C1，根据旋转的性质，∠AP1A1=∠BPB1=∠CPC1=90°，且BP=B1P，AP=A1P，CP=C1P，从而确定A1、B1、C1的坐标. AB1C的面积为. 【点睛】本题的解题关键是掌握旋转的性质. 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据轴对称图形和旋转的性质作图即可； （）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴与的关系为． 【经典例题六 求旋转中心的个数】 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 1．（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例7】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得阴影部分面积等于的面积，过点作于点,可得是等腰直角三角形，求出，再计算出的面积即可． 【详解】解：∵在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， 过点作于点,如图， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，将绕点C顺时针旋转得到，，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角知识，由旋转可得，，，所以，，即可得出． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，是边AC上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，求的周长． 【答案】9 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出，，，则可证是等边三角形，得出，然后根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 【经典例题八 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例8】（24-25七年级下·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（    ） A．格点M B．格点P C．格点Q D．格点N 【答案】C 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心． ， 故选C． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，A，B，C，D四给点的坐标分别为，，，．若线段绕某点旋转一个角度后可以得到线段，则这个旋转中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当旋转后点A与点D重合，点B与点C重合时，当旋转后点A与点C重合，点B与点D重合时，根据确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，分别作出旋转中心，再根据点A、B、C、D的坐标建立平面直角坐标系，由坐标系写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：分两种情况：当旋转后点A与点D重合，点B与点C重合时，连接，，作、的垂直平分线、相交于M，则点M就是所要求作的旋转中心； 当旋转后点A与点C重合，点B与点D重合时，连接，，作、的垂直平分线、相交于，则点就是所要求作的旋转中心； 由，，，，建立平面直角坐标系，再由平面直角坐标系得旋转中心为或，如图所示： 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，旋转的性质； （1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据旋转的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）连结交于一点，根据图形可得可以看作是绕点顺时针旋转得到，即可求解． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示． （2）旋转后的图形如图所示． （3）如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． 【经典例题九 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转的全等性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的全等性质，直角三角形的两个锐角互余性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数为 ．    【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，顺时针旋转，    则，， ∴ ∴ 如图所示，当逆时针旋转时， 同理可得 ∴    综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 【答案】 【分析】本题综合考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等根据旋转的性质知，，所以在中，利用三角形三边关系来求即的长度． 【详解】解：如图，逆时针旋转得到， ，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，即， 则当点，， 三点共线时，，即， 即的最大值是． 【经典例题十 利用旋转设计图案】 【例10】（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图所示的图案是由下列哪个图形旋转得到的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案． 【详解】由图可得，如图所示的图案是由绕着一端旋转3次，每次旋转90°得到的， 故选：D． 【点睛】此题考查旋转变换，解题关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据旋转的性质以及轴对称变换性质分别分析得出即可． 解：A、无法借助旋转得到，故此选项错误； B、无法借助旋转得到，故此选项错误； C、可以借助轴对称得到，故此选项错误； D、可以只经过一次旋转运动即可和另一个三角形，故此选项正确． 故选D． 点评：此题主要考查了利用旋转设计图案，掌握旋转的性质是解题关键． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 【答案】 （a，b﹣1）； （a，﹣b）； （12a，b）　 【详解】若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 故答案为（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 点睛：本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋旋一定角度得得新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【答案】（1）如图①，△A′B′C′为所作；见解析；（2）如图②，△A″B″C″为所作；见解析． 【分析】（1）把△ABC先向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到△A′B′C′，则△A′B′C′满足条件； （2）以点P为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°得到△A″B″C″，则△A″B″C″满足条件． 【详解】（1）如图①，△A′B′C′为所作； （2）如图②，△A″B″C″为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【经典例题十一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例11】（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一个周角为和图形的旋转的特点等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据旋转的性质结合图形可知中心角是由5个度数相等的角组成，再结合周角是求得每次旋转的度数即可． 【详解】解：∵中心角是由5个度数相等的角组成， ∴每次旋转的度数可以为． 故选B． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图②是由图①顺时针旋转5次而生成的，且旋转一周的角度是即可得． 【详解】解：由题意得：图②是由图①顺时针旋转5次而生成的， 则， 所以每一次旋转的角度应为的倍数， 所以每一次旋转的角度至少为， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是观察图形，得出旋转度数． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】45 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转8次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：45． 3． （23-24七年级下·山西长治·期末）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．    (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0    B．1    C．2    D．3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．    【答案】(1)B (2)（1）（3）（5） (3)C (4) 【分析】（1）本题考查旋转图形及中心对称图形的判断，根据旋转图形及中心对称图形定义逐个判断即可的答案； （2）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （3）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （4）本题考查旋转图形，根据旋转角有，，，，结合等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 矩形，菱形，正六边形即是旋转对称图形又是中心对称图形， 正五边形是是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故选：B； （2）解：由图形可得， （1）（3）（5）的旋转角有度， （2）（4）的旋转角最小为， （6）的旋转角是及其整数倍数， 故答案为：（1）（3）（5）； （3）解：由题意可得， 中心对称图形是旋转对称图形，平行四边形是旋转对称图形，①③正确， 等腰三角形不是旋转对称图形，②错误， 故选：C； （4）解：由题意可得， ∵旋转角有，，，， ∴每一个四分之一半圆里均要有两个等腰直角三角形， ∴图形如下图所示， 【经典例题十二 旋转角度问题】 【例12】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 1．（23-24七年级下·广西桂林·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 【答案】，15， 【分析】根据边的运动分类讨论即可． 【详解】解：①如图 当， 则 解得： ②如图 当， 则 解得： ③如图 当， 则 解得： 故答案为：，15， 【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键． 3．（2024·山西巴中·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十三 旋转中的规律探究题】 【例13】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，的顶点 分别在 轴，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置探究规律，解题的关键是找到规律解决问题． 【详解】解：作，轴于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴， 第一次旋转得到的坐标为； 第二次旋转得到的坐标为 ； 第三次旋转得到的坐标为 ， 第四次旋转得到的坐标为， ； 四次一个循环， ∵， ∴则第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转变换、正方形的性质等知识点，学会探究规律的方法是解题的关键．先确定，再求，然后归纳旋转的点坐标规律并利用规律求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋，每次旋转， ∴ 由题意旋转8次回到原来位置，， ∴将正方形绕原点O顺时针旋2024次，每次旋转，则顶点B在y轴的正半轴上，即． 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，若连续作旋转变换，则第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键． 【详解】解：，， ， 由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，三角形④的直角顶点的坐标为， 这样旋转6次直角顶点是，再旋转一次到三角形⑦，直角顶点仍然是，……， 题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合， ，，再翻转一次，直角顶点不变， 第2024次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【经典例题十四 旋转中的最值探究】 【例14】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． （2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 【详解】（1）解：如图3中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为5． 故答案为5． （2）如图4中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作交的延长线于． 在中，，， ， 在中， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 【经典例题十五 旋转综合题】 【例15】（23-24七年级下·福建厦门·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 1．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键． 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：    绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键； （1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可； （2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答； （3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论， 【详解】（1）平分， ， 绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为， ， （2）①当过，但并未过，如图 ， ， ，， ， ， ②超过延长线且未过延长线时，如图 ， ， ， ， ， 即：， ， 综上所述：t的值为或 （3）①未超过时，如图 ， ， ， 平分，平分， ， ， ②超过，但未超过时，如图 ，， ， ， 平分，平分， ， ， ③超过时， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 综上所述：的度数为 1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转、折叠和平移的特点，图形位置变换特点，是解决问题的关键． 根据绕点B逆时针旋转后得到的特点，逐一判断．即得． 【详解】A、将绕过点B且垂直的直线折叠后得到，不正确； B、将绕点B逆时针旋转后得到，正确； C、将绕点B顺时针旋转后得到，不正确； D、将绕的垂直平分线折叠后向下平移2个单位长度得到，不正确． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、垂直的定义、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据旋转的性质得，再利用垂直可计算即可求得． 【详解】解：如图∶∵将绕点顺时针方向旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋旋转角的定义即可判断． 【详解】解：将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到， 旋转角是∠AOC或∠BOD． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 5．（23-24七年级下·安徽淮南·开学考试）一副三角板、，如图1放置，、，将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是（　　） ①的角度恒为；②的角度不恒为；③在旋转过程中，若平分，平分，则． A．① B．②③ C．③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． ①②计算旋转角度大于时，的大小与比较便可得结论；③分类讨论，利用角的和差与角的平分线得，便可求出其值； 【详解】解：①设旋转角度为，当时，，于是此小题结论错误，②正确； ③当时，设， 平分， ， ，， ，， 当时，设， 平分， ， ， ，， ， ，故③正确， 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转图形，熟练掌握旋转图形的旋转角是解题的关键．根据正三角形的内角是以及旋转角即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角是， 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．    【答案】 【分析】连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点即可，此题考查了旋转的性质，掌握旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上是解题的关键. 【详解】如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，    故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转到的位置，交于点，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，由可得，由旋转的性质可得，进而得到，再由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 【答案】8097 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加12． 又∵， ∴． 故答案为：． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，则所有满足条件的的值为 ． 【答案】或 【分析】（1）根据题意得，，如图1，当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可； （2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 本题考查了平行线的性质、旋转的性质，掌握平行线的性质并正确分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②在下方时，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴（不符合题意，舍去）， （2）当时，延长交于点I， ①在上方时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②在下方时，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为或． 故答案为：或． 11．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 【答案】见解析. 【分析】解题的关键是观察图形，找出图中图形坐标的变化情况，总结出规律． 【详解】解：根据图形和坐标的变化规律可知： 由：纵坐标没变，横坐标变为原来的倍，因此图形做了横向拉伸变化； 由：点横坐标没变，纵坐标变为原来的相反数，因此图形关于轴对称； 由：图形中三个顶点的横坐标没变，纵坐标都增加了，即点、点、点向下平移一个单位．因此图形做了平移变化． 【点睛】本题主要考查了图形的平移和轴对称变换，解题的关键是要掌握坐标的变化和图形之间对应的变化规律，根据坐标的变化特点可推出图形的变化． 12．（24-25七年级下·北京·阶段练习）如图所示，把绕点旋转至位置，延长交于，交于，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用全等三角形的性质证明，是解本题的关键． 由旋转可得，可得，，再求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：由旋转可知：， ， ，， ，， ， ， 是的外角， ， ． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：三角形的面积是． 故答案为：3． （2）解：如图，三角形即为所求． 14．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． (2)将绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 【答案】(1)见解析，平行且相等 (2)见解析 【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，平移的性质， （1）根据平移的性质可将点A、B、C先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到，然后根据平移的性质求解即可； （2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点连接，即可得到． 【详解】（1）如图1，即为所求， ∴由平移的性质得，的关系是平行且相等； （2）如图2，即为所求． 15．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$