专题03 中心对称、图形全等重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题03 中心对称、图形全等重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 中心对称图形的识别 题型二 成中心对称 题型三 图形的全等 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 画两个图形的对称中心 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 题型七 全等三角形的概念 题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型九 判断中心对称图形的对称中心 题型十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十一 全等三角形的性质 题型十二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 题型十三 利用全等三角形的性质求角度 题型十四 利用全等三角形的性质求长度 题型十五 利用全等三角形的性质求面积 题型十六 中心对称图形规律问题 知识点01中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点02 作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 知识点03中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点04 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点05全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点06全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【经典例题一 中心对称图形的识别】 【例1】（23-24七年级下·福建厦门·期中）以下图案是2024年巴黎奥运会设计的射箭、乒乓球、游泳、跳水四个项目的象形图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的图标是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·四川内江·模拟预测）下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如下图所示的四个图形中，是中心对称图形的是 ,是轴对称图形的 . (填序号) 3．（23-24七年级下·四川眉山·期末）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张（不放回），洗匀后再摸一张． (1)用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）； (2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，都是中心对称图形的概率． 【经典例题二 成中心对称】 【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 2．（2024·湖北武汉·一模）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1 3．（2024七年级·河南新乡·专题练习）在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)的三个顶点都在格点上． ①在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； ②在图2中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． (2)如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由． 【经典例题三 图形的全等】 【例3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例4】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A．（3，-1 ） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（-1，3） 2．（2024·天津和平·二模）正方形既是 图形，又是 图形，它有 条对称轴，对称中心是 ． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将绕点C旋转，请画出旋转后对应的； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)若与关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 【经典例题五 画两个图形的对称中心】 【例5】（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   3．（2024·广西百色·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． (1)作，使与关于原点成中心对称． (2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【经典例题六 画已知图形关于某点对称的图形】 【例6】（23-24七年级下·全国·期中）关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（ ） A．连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 B．成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等 C．对应点的连线不一定都经过对称中心 D．以上说法都不对 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上（作图痕迹用黑色签字笔加黑）． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出将沿直线向上平移5个单位得到的； (3)画出，要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转 °． 【经典例题七 全等三角形的概念】 【例7】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．有一边对应相等的两个等边三角形全等 D．面积相等的两个直角三角形全等 1．（23-24七年级下·广西崇左·期末）如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【经典例题八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例8】（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 3．（23-24七年级下·四川巴中·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【经典例题九 判断中心对称图形的对称中心】 【例9】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 . 3．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，已知线段，用两种不同方法求作线段的中点． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ①利用轴对称作图        ②利用中心对称作图 【经典例题十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例10】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·四川乐山·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24七年级·全国·单元测试）方格纸中，若三角形的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与成中心对称的格点三角形 ． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影． (1)使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【经典例题十一 全等三角形的性质】 【例11】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【经典例题十二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形）】 【例12】（23-24七年级下·广西崇左·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    3．（23-24七年级下·四川攀枝花·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【经典例题十三 利用全等三角形的性质求角度】 【例1】 （2024·山西长治·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·四川简阳·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 3．（23-24七年级下·四川内江·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【经典例题十四 利用全等三角形的性质求长度】 【例14】（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（23-24七年级下·河南开封·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 3．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【经典例题十五 利用全等三角形的性质求面积】 【例15】（23-24七年级下·山西晋城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 2．（2024·陕西汉中·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 3．（23-24七年级下·广西百色·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【经典例题十六 中心对称图形规律问题】 【例16】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 2．（2024·广西桂林·模拟预测）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24七年级下·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 7．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 8．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 9．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为 . 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 12．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 14．（23-24七年级下·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转得到，其中A，B，C分别和，，对应，画出， (2)画出关于点O成中心对称的． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）项目主题：探索全等的图形 素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化． 素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合． 素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等． 任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和． 任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答； 任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中心对称、图形全等重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 中心对称图形的识别 题型二 成中心对称 题型三 图形的全等 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 画两个图形的对称中心 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 题型七 全等三角形的概念 题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型九 判断中心对称图形的对称中心 题型十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十一 全等三角形的性质 题型十二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 题型十三 利用全等三角形的性质求角度 题型十四 利用全等三角形的性质求长度 题型十五 利用全等三角形的性质求面积 题型十六 中心对称图形规律问题 知识点01中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点02 作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 知识点03中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点04 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点05全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点06全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【经典例题一 中心对称图形的识别】 【例1】（23-24七年级下·福建厦门·期中）以下图案是2024年巴黎奥运会设计的射箭、乒乓球、游泳、跳水四个项目的象形图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的图标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则A符合题意； B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：A． 1．（2024·四川内江·模拟预测）下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图形的定义和性质，是解题的关键．每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称； 根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个选项一一判断即可得出答案. 【详解】A．正多边形不一定是中心对称图形． 正确，正奇边形绕着中心点旋转后，不能与原来的图形重合， ∴正多边形不一定是中心对称图形， 故本选项正确； B．中心对称图形一定是正多边形． 错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形， ∴中心对称图形不一定是正多边形， 故本选项错误； C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． 正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形，绕对称中心转后，互相重合， 故本选项正确； D．关于中心对称的两个图形是全等形． 正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转后互相重合， 故本选项正确． 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如下图所示的四个图形中，是中心对称图形的是 ,是轴对称图形的 . (填序号) 【答案】 【分析】中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；然后根据中心对称图形的定义和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解. 【详解】是中心对称图形的是①,是轴对称图形的. 故答案为，. 【点睛】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对图形的识别. 3．（23-24七年级下·四川眉山·期末）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张（不放回），洗匀后再摸一张． (1)用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）； (2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，都是中心对称图形的概率． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意列出树状图即可求解； （2）根据树状图可得共有12种都可能结果，其中两张纸牌牌面上所画几何图形都是中心对称图形的共有6种结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：画树状图得 由树状图得两次摸牌共有12种都可能结果； （2）解：由树状图得两次摸牌共有12种都可能结果，其中两张纸牌牌面上所画几何图形都是中心对称图形的共有6种结果， ∴摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，都是中心对称图形的概率是． 【点睛】本题考查了根据列表法或画树状图求概率，中心对称图形的定义等知识，熟知概率公式和中心对称图形的定义，正确根据列表法或画树状图表示出所有等可能结果是解题关键． 【经典例题二 成中心对称】 【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用轴对称图形的概念即可即可解答． 【详解】解：A、团不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、结不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、互是中心对称图形，故此选项不合题意； D、助不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知． 【详解】A选项 既是轴对称图形也是中心对称图形 B选项 不是轴对称图形也不是中心对称图形 C选项 是轴对称图形而不是中心对称图形 D选项 不是中心对称图形也不是轴对称图形 故选A 【点睛】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（2024·湖北武汉·一模）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1 【答案】 （1，﹣1） （1，0） 【分析】根据旋转的性质,旋转不改变图形大小和形状． 【详解】解：旋转180°后,各对应点将关于原点对称, ∴A1（1,﹣1）,B1（1,0）． 【点睛】本题考查旋转的性质,解答本题关键要理解旋转180°即成了中心对称． 3．（2024七年级·河南新乡·专题练习）在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)的三个顶点都在格点上． ①在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； ②在图2中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． (2)如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①以点C为对称中心，画出图形即可；②根据旋转的性质，即可画出； （2）根据中心对称图形的性质即可解决问题． 【详解】（1）①如图1，即为所求； ②如图2，即为所求； （2）如图3，即为画出直线． 【点睛】本题主要考查了作图﹣旋转变换，中心对称图形的性质等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【经典例题三 图形的全等】 【例3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解． 【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形； 图中，当有点、、时，有对全等三角形； 图中，当有点时，有对全等三角形； 图中，当有个点时，图中有个全等三角形， 当时，全等三角形的对数是， 故选：D． 【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 ． （2）试找出图中的全等图形： ． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 【答案】图见解析 【分析】根据等边三角形的性质和全等图形的判定进行分解即可． 【详解】作图如下： 解：①根据等边三角形三线合一作底边的中线即可将等边三角形分成2个全等三角形如图1； ②根据等边三角形的性质，找到三角形的外心或内心即可将等边三角形分成三个全等图形，如图2，图3； ③找到三边中点，连线即可得到四个全等三角形，如图4． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和全等图形的判定．熟练掌握等边三角形的性质和全等图形的判定方法是解题的关键． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例4】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A．（3，-1 ） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（-1，3） 【答案】A 【分析】连接对应点AA1，CC1，根据对应点的连线经过对称中心可知，两条线的交点就是对称中心E点，在坐标系内确定其坐标即可. 【详解】解：连接对应点AA1，CC1， 则两条连线的交点就是E点，由图可知E（3，-1）， 故选择A. 【点睛】本题考查了中心对称的性质. 2．（2024·天津和平·二模）正方形既是 图形，又是 图形，它有 条对称轴，对称中心是 ． 【答案】 轴对称 中心对称 4 对角线交点 【分析】依据正方形的轴对称性，即可得到结论． 【详解】解：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是对角线交点． 故答案为：轴对称，中心对称，4，对角线交点． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形以及轴对称的性质，解决问题的关键是掌握正方形的性质． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将绕点C旋转，请画出旋转后对应的； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)若与关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形－旋转、平移， （1）根据旋转的性质得出 的对应点，连线即可； （2）根据平移后点的坐标得出平移方式，然后画出平移图形即可； （3）根据成中心对称的两个图形对应点连线的交点即为对称中线解答即可； 熟练掌握旋转的性质以及平移的规律是解本题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）∵点的对应点的坐标为， ∴将向下平移2个单位长度即可； 如图，即为所求； （3）由图得：，与，，关于原点对称． ∴对称中心为． 【经典例题五 画两个图形的对称中心】 【例5】（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【答案】A 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心. 【详解】如图，连接HC和DE交于O1， 故选A． 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 3．（2024·广西百色·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． (1)作，使与关于原点成中心对称． (2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点 【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解， （2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解， 本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质． 【详解】（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，， 画图如下： 即为所求， （2）解：连接、，交点即为点，画图如下： 点即为所求， ∵与关于点成中心对称，且，， 所以对称中心的坐标为，即：， 故答案为：． 【经典例题六 画已知图形关于某点对称的图形】 【例6】（23-24七年级下·全国·期中）关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（ ） A．连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 B．成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等 C．对应点的连线不一定都经过对称中心 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合，进而分析得出即可． 【详解】根据中心对称的性质： A. 连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，此选项正确； B. 根据成中心对称的两个图形的对应线段一定相等，故此选项错误； C. 根据对应点的连线一定都经过对称中心，故此选项错误； D. 以上说法都不对，此选项错误. 故答案选：A. 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的性质. 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 【答案】（0，0） 【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， 发现3次一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上（作图痕迹用黑色签字笔加黑）． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出将沿直线向上平移5个单位得到的； (3)画出，要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转 °． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查画平移后图形，画旋转图形，画中心对称图形等． （1）连接，并作反向延长线到，再依次连接，即可得到； （2）分别将点依次向上平移5个单位得到点，再依次连接即可； （3）由旋转性质可得至少旋转，与重合． 【详解】（1）解：连接，并作反向延长线到，再依次连接，即可得到，如下图所示： ； （2）解：分别将点依次向上平移5个单位得到点，再依次连接即可，如下图所示： ； （3）解：画出，如下图所示： ， ∴绕点顺时针方向至少旋转，与重合， 故答案为：． 【经典例题七 全等三角形的概念】 【例7】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．有一边对应相等的两个等边三角形全等 D．面积相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，针对每一个选项进行分析，可得答案． 【详解】A、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形可以用AAS证明两个三角形全等，故此选项不合题意； B、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故此选项符合题意； C、有一边对应相等的两个等边三角形可以利用SSS证明两个三角形全等，故此选项不合题意； D、面积相等的两个直角三角形全等，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 1．（23-24七年级下·广西崇左·期末）如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质；根据等边三角形的性质和全等三角形的性质得到，则可由周角的定义求出的度数，进而可求出的度数，据此可判断①；分别求出的度数即可判断②；延长交于E，可求出的度数，进而可求出的度数，据此可判断③；根据轴对称图形的定义即可判断④． 【详解】解：∵与是两个全等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，延长交于E， 同理可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵，且， ∴沿着的垂直平分线折叠四边形，可以使得该图形两边完全重合， ∴四边形是轴对称图形，故④正确； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等图形的概念，网格线作图，角平分线的性质． （1）利用网格线的特点，取矩形各边中点，分别连接对边中点即可； （2）同理（1）取直角三角形各边中点，分别将连接直角边中与斜边中点连接，再连接直角顶点与斜边中点即可； （3）利用网格线的特点，取格点D，连接交于点P，由网格线的性质得到为的角平分线，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示为所求：    （2）解：如图2所示为所求：    （3）解：如图3，点P所示为所求：    【经典例题八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例8】（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 2．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 3．（23-24七年级下·四川巴中·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 【经典例题九 判断中心对称图形的对称中心】 【例9】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可得到答案． 【详解】A．是轴对称图形但不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称但不是轴对称图形，故B错误； C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误； D．是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确； 故选D． 【点睛】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题． 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 . 【答案】（2,1） 【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答. 【详解】∵点P（1，1），N（2，0）， ∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1）， ∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1）， 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，已知线段，用两种不同方法求作线段的中点． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ①利用轴对称作图        ②利用中心对称作图 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．①作的垂直平分线，与的交点即为的中点；②以和为圆心，相同长度为半径，画弧，然后再以和为圆心，与上次不同的长度为半径画弧，交于点和，连接，与的交点即为的中点． 【详解】解：依题意，①利用轴对称作图，如图所示： ②利用中心对称作图，如图所示： 【经典例题十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例10】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，       则这样的有个． 故选：B． 1．（2024·四川乐山·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）方格纸中，若三角形的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与成中心对称的格点三角形 ． 【答案】如图所示. 【分析】可以将方格纸做中心对称，这样可以清楚的看到△ABC中心对称的格点三角形．画出即可． 【详解】如图． 【点睛】考查了中心对称的性质. 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影． (1)使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （3）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可． 【详解】（1）解：根据题意画出图形如图： ； （2）解：根据题意画出图形如图： ； （3）解：根据题意画出图形如图： ． 【经典例题十一 全等三角形的性质】 【例11】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质．根据旋转的定义可知，根据全等三角形对应角相等可知，从而可得，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出． 【详解】解：根据旋转的定义可知， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C ． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据和关于直线对称，确定对称三角形，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据和关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴． 又∵， ∴． 【经典例题十二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形）】 【例12】（23-24七年级下·广西崇左·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 2．（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    【答案】或（为整数） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等图形的性质，根据全等图形的性质求出旋转角度是解题的关键．对图形的部分顶点命名，再由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形，得出，分2种情况：①梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；②梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；分别求出旋转角度即可解答． 【详解】解：如图，    由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形， ，， 又， ， 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是或（为整数）． 故答案为：或（为整数）． 3．（23-24七年级下·四川攀枝花·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【经典例题十三 利用全等三角形的性质求角度】 【例1】 （2024·山西长治·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（23-24七年级下·四川简阳·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由得，，再由三角形内角和定理得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（23-24七年级下·四川内江·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点， （1）先根据图形和已知判定出全等三角形的对应边，然后根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可得解； 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴， 如图所示，为中的最短边，为中的最短边， ∵， ∴和不可能是全等三角形的对应边， ∵E在边上， ∴， ∵全等于， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的性质求长度】 【例14】（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，得到继而得到，计算即可． 【详解】．∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南开封·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等， ∴当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； ∴． 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的三边关系： （1）根据平角的定义，求出的度数，全等得到，利用三角形的内角和定理求出的度数； （2）三角形的三边关系求出的长，全等得到，进而求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十五 利用全等三角形的性质求面积】 【例15】（23-24七年级下·山西晋城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的面积，平行线的判定，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿直线边所在的直线向下平移得到， ，， ，， ，， 故A、C、D项结论正确， 平移中，当点D接近点B时，可知：，故B项结论不一定正确， 故选：B． 2．（2024·陕西汉中·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】40 【分析】根据∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°，可知∠ABC=∠ADF，根据全等三角形的判定，不难推出△ABE≌△ADF，则AE=AF；观察图形可知，，根据三角形面积公式进行计算，即可求出四边形ABCD的面积． 【详解】过A点作AF⊥CD交CD延长线于F，连接AC， ∵∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴ =×BC×AE+×CD×AF = 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的面积计算，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与面积的计算． 3．（23-24七年级下·广西百色·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （2）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 本题考查了三角形内角和性质以及全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 而， ； （2）解：，， ， ∵， ， ． 【经典例题十六 中心对称图形规律问题】 【例16】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 【答案】D 【分析】根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数与n的关系，从而解题. 【详解】解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚； 第2个图形中有8枚，即3×2+2枚； 第3个图形中有11枚，即3×3+2枚； … ∴第n个图形中有3n+2枚． 故选：D． 【点睛】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析. 2．（2024·广西桂林·模拟预测）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 【答案】125. 【分析】表格中一共有25个数，通过观察可发现，以表格中心的5为中心点，其他每个数与其中心对称位置的数之和均为10，,的数一共有12组，再加上表格中心的5，即可巧妙求解. 【详解】解：∵(1+9)+(2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5 =10×12+5 =120+5 =125 ∴这组数和为125． 【点睛】本题利用了表格中位置的中心对称关系，发现了数和数之间的关系，从而采取更为巧妙的方式进行了求和. 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答． 【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称， ∴△ABO≌△CDO， ∴OB＝OD，AB＝CD， 而AC＝BD不一定成立， 故选：B． 【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键． 5．（23-24七年级下·山西长治·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 【答案】或或 【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可． 【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形， 则两张图案构成的图形至少是正六边形， ∵正六边形的中心角是， ∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合， 所以旋转角可以是或或． 故答案为：或或． 8．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 9．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为 . 【答案】（0，0） 【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标． 【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环， ∵2016÷6=336， ∴点P2016的坐标为（0，0）． 故答案为（0，0）． 【点睛】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 【答案】(1)作图见解析，这两个图形成中心对称，对称中心是点D (2)A、B、C、D关于中心的对称点为和D 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，判定一个图形是否为中心对称图形，找出其对称中心是关键，先延长，使得；同理作：；连接，则四边形为所求的四边形． （1）根据对称中心对称的定义解答即可； （2）根据对称中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：作法：①延长，并且使得；②同理可得：；③连接，则四边形为所求的四边形，如图所示． 根据作图，可得：这两个图形成中心对称，对称中心是点D； （2）解：A、B、C、D关于中心的对称点为和D． 12．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心； （2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键． （1）由三角形外角性质求得，然后由全等三角形的对应角相等来求的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ． ， ； （2）解：，， ， ， ． 14．（23-24七年级下·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转得到，其中A，B，C分别和，，对应，画出， (2)画出关于点O成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图，旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A，B，C的对应点，，，即可得到答案； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征找到对应点的位置，即可得到图形． 【详解】（1）解：如图所示：为所求； （2）解：如图所示：为所求． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）项目主题：探索全等的图形 素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化． 素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合． 素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等． 任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和． 任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答； 任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析 【分析】本题主要考查平移，轴对称，旋转，全等三角形的性质，熟练掌握性质定理，找出对应边是解题的关键．任务一根据题意即可知道平移方式；任务二由全等得到对应边，对应角即可得到答案；任务三分别求出对应点，对应边，对应角即可得到答案． 【详解】任务一：解：在图1中，将向右平移两格，向上平移一格得到．将向右平移一格，向下平移三格得到． 任务二：解：如图所示： 绕点旋转得到； 任务三：解：对应顶点：和和和和和对应边：和和和和和；对应角：和和和和和； 两个五边形全等， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$