专题05 三角形80道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题05 三角形80道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 多边形内角和与外角和综合 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 根据三角形中线求面积 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形中旋转问题压轴题型 题型六 三角形折叠问题压轴题型 题型七 三角形中位线的实际应用 题型八 三角形三边关系的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合】 1．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和． (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 3．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是多少． （2）如图，，与交于点O，，，求的度数． 4．（23-24七年级下·四川简阳·阶段练习）如图是四边形的一个外角，与互补．    (1)如果，求的大小； (2)求证：． 5．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 6．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图． （1）求图形中的x的值； （2）求：∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 7．（23-24七年级下·广西百色·期末）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数； （2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数． 8．（23-24七年级下·山西长治·期末）已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． (1)若多边形为四边形ABCD． ①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； ②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． (2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数． 9．（23-24七年级下·四川资阳·期末）知：如图，边形. (1)求证：边形的内角和等于； (2)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和； (3)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 . 10．（23-24七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 现在我们时论三角形的外角及外角和． 如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角写内角有什么关系呢？ 在图9.1.10中，显然有 （外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 依据三角形的内角和等于，我们有． 由上面两个式子，可以推出 ． ． 因而可以得到你与你的同伴所发现的结论： ． 由此可知，三角形的外角有两条性质： 1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和． 2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度． 【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 11．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，边长为和的两个正方形并排放在一起，求三角形的面积．（单位：） 12．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是边上的中线，于点，若的面积是10，求的长． 13．（23-24七年级下·重庆·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 15．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 16．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 17．（23-24七年级下·四川内江·期中）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】已知：在中，， (1)请你用尺规作边上的高交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，；求的长． 18．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 19．（24-25七年级上·重庆·期中）在长方形中，，；F，E分别为，边上的点，且满足．点P为一动点，从点E出发，沿折线，到点F后终止运动，它的速度为1个单位每秒．设点P运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长度（填空）； 解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． (2)当时，连接，；用含t的代数式表示的面积； (3)在整个运动过程中，当的取值范围是_____时，有最大值，其最大值为_____； (4)当时，连接，，．直接用含t的代数式表示的面积_____． 20．（2024·河南新乡·模拟预测）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【经典例题三 根据三角形中线求面积】 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是边的中点，连接，若图中阴影部分的面积为8，求的面积． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 23．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 24．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D、E分别是的中点，相交于点G．    (1)求证：； (2)若的面积是，则的面积为______． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 26．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 27．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 28．（23-24七年级下·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 30．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 31．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 32．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 33．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 34．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，点为延长线上一点，点在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 35．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 36．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，绕点旋转后与重合，点在上． (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 37．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 38．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． (1)请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） (2)求证：． 39．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________． 40．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【经典例题五 三角形中旋转问题压轴题型】 41．（23-24七年级下·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 42．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒． (1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程） (2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果） 43．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知、是两个完全一样的三角形，其中，． (1)将它们摆成如图①的位置（点E、F在上，点C在上，与相交于点G）．求的度数． (2)将图①的固定，把绕点F按逆时针方向旋转． ①当旋转到DEAB的位置时（如图2），_________； ②若由图①旋转后的能与的一边垂直，则n的值为_________． 44．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将两个完全相同的直角三角板、放置在一起，点B、D重合，点F在上，与交于点G．已知，．    (1)_____________________°； (2)现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转一定角度，旋转时间为t秒，在旋转的过程中，当恰有一边与平行时，请直接写出t的值． 45．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副直角三角板如图放置，点D是边AB上一个定点，△ABC与△DEF在直线AB同侧，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠B＝60°，∠E=45°. (1)如图1，当边DE恰好经过点C时，则∠1＋∠2＝_________°； (2)将△DEF从射线DA开始绕点D顺时针旋转α(0°＜α＜135°)，直线DF与直线AC交于点M，直线BC与直线DE交于点N. ①如图2，当点C落在∠EDF的内时，∠AMD＋∠BND是否为定值？ 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. ②在旋转过程中，若∠AMD与∠BND满足其中一个角是另一个角的4倍，求出旋转角α. 46．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，△ABC和△ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形，∠B=30°，△ABC固定不动，将△ADE绕直角顶点A旋转，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），∠PAC和∠PCA的平分线交于点I． (1)当△ABP是等腰三角形时，求∠PAC的度数； (2)在△ADE的旋转过程中，PD的长度在不断发生变化，当PD取最大值时，求∠AIC的度数； (3)确定∠AIC度数的取值范围． 47．（23-24七年级下·山西晋城·期末）综合与探究：将两块三角尺按图1摆放，固定三角尺，将三角尺绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为 ． (1)当时（如图2），求的值； (2)当时（如图3），与相交于点F，求的值； (3)当时，连结（如图4），直线与相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值；若改变，请说明理由． 48．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： (1)若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数； (2)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (3)请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）． 49．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，在中，平分，平分． (1)若，则的度数为______； (2)若，直线经过点D． ①如图2，若，求的度数（用含α的代数式表示）； ②如图3，若绕点D旋转，分别交线段于点M，N，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线，与线段交于点N，与的延长线交于点M，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）． 50．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【经典例题六 三角形折叠问题压轴题型】 51．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点落在外的点处，，，，求的度数． 52．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    53．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 55．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 56．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 57．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则_______度； 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则_______度． 58．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，均为锐角且不相等，线段是中边上的高，是的角平分线．      (1)如图1，，，求的度数； (2)若，，则______； (3)是射线上一动点，C、H分别为线段A，上的点（不与端点重合），将沿着折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出，与的数量关系． 59．（23-24七年级下·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 60．（23-24七年级下·全国·单元测试）问题探索(一) 如图1，是的延长线，探索与，之间的数量关系． （1）图 1中，，，则__________； （2）图2中，，，则__________． （3）若，，则_________(用含α，β的式子表示)． 问题探索(二) 如图3，将沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……不断重复上述操作，若经过第n次操作，余下部分沿的平分线折叠，点与点C 刚好重合，则称是“可折叠三角形”． 例如，图4为一次“可折叠三角形”，图5为二次“可折叠三角形”，图6为三次“可折叠三角形”． 请利用问题探索(一)中的结论，分析解答下列问题： （1）推断图5中，与之间的数量关系，并说明其正确性； （2）直接写出图6中，与之间的数量关系：__________； （3）猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为__________． 【经典例题七 三角形中位线的实际应用】 61．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，的周长为32，，边上的中线，的周长为23，求边的长． 62．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在中，点D，E，F分别为的中点，且，则图中阴影的面积是多少？ 63．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 64．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)于，求之长． 65．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 66．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，画出的三边中线交点O； (2)在图②中，在的边AC上画点P，使面积为面积的2倍． 67．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 68．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 69．（23-24七年级下·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 70．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【经典例题八 三角形三边关系的综合应用】 71．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 72．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 73．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）一个等腰三角形的周长为． (1)若腰长是底边的2倍，求各边的长； (2)若其中一边的长为，求另两边的长． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)某人买了一张体育彩票，结果中了奖； (2)用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形； (3)射击运动员连续射击10次，每次都命中10环． 75．（23-24七年级下·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 76．（23-24七年级下·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 77．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 78．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 79．（23-24七年级下·福建福州·期末）综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 80．（23-24七年级下·福建福州·期末）某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究．    (1)【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； (2)【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； (3)【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形80道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 多边形内角和与外角和综合 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 根据三角形中线求面积 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形中旋转问题压轴题型 题型六 三角形折叠问题压轴题型 题型七 三角形中位线的实际应用 题型八 三角形三边关系的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合】 1．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和． (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案； （2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：多边形的内角和公式为， ，这个多边形的内角和； （2）解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为， 由题意可得，解得． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 3．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是多少． （2）如图，，与交于点O，，，求的度数． 【答案】（1）这个多边形的边数为8；（2）的度数为 【分析】（1）设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和建立方程，解方程即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数为8； （2），， ， ，， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题关键． 4．（23-24七年级下·四川简阳·阶段练习）如图是四边形的一个外角，与互补．    (1)如果，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据多边形的内角和定理解答即可； （2）根据多边形的内角和定理和等角的补角相等证明即可． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵与互补， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、等角的补角相等，多边形的内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 5．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【答案】(1)能，小东一共走了 (2)正六边形，正六边形的内角和为 【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案； （2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转， ， 小东一共走了：（）； （2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等， 由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等， ∴走过的路径是一个边长为的正六边形； ∴正六边形的内角和为：． 6．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图． （1）求图形中的x的值； （2）求：∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 【答案】（1）x=30°；（2）∠A=∠B=90°，∠C=60°，∠D=120° 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列出方程求解即可； （2）把x的值代入计算即可求解． 【详解】解：（1）依题意有： 3x+3x+4x+2x=360°， 解得x=30°； （2）∠A=∠B=3×30°=90°， ∠C=2×30°=60°， ∠D=4×30°=120°． 【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其性质. 7．（23-24七年级下·广西百色·期末）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数； （2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数． 【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可； （2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得． 【详解】解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得 ， 解得， ∴该多边形的边数为8； （2）∵是的角平分线，且， ∴，， 又∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质． 8．（23-24七年级下·山西长治·期末）已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． (1)若多边形为四边形ABCD． ①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； ②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． (2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由，可推出，由角平分线的性质可得，再由求解即可； ②连接，由可得，进而可得，，求解即可； （2）延长交于点Q，根据五边形的内角和可得，进而可得，再根据角平分线的性质进一步推导出，求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴在四边形ABCD中，， ， ∵多边形的外角和的平分线分别为BM，DN， ∴， ； ②当时，， 证明：如图，连接， ∵， ， ， 即， ， ， ∴； （2）如图，延长交于点Q， ∵，， ， ∴， ∵平分，平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，能够准确找到角之间的关系是解题的关键． 9．（23-24七年级下·四川资阳·期末）知：如图，边形. (1)求证：边形的内角和等于； (2)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和； (3)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 . 【答案】(1)见详解 (2)1260° (3)100°，8 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，这（n−3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于180°解答； （2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，根据题意列出方程可得答案； （3）根据多边形的内角和公式（n−2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解． 【详解】（1）证明：如图： ∵从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线， ∴（n−3）条对角线把n边形分成（n−2）个三角形， ∵这（n−2）个三角形的内角和都等于180°， ∴n边形的内角和是（n−2）•180°， ∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋＋…＋∠An＝（n−2）•180° （2）解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°， 由题意，得（3α＋20）＋α＝180， 解得α＝40， 即多边形的每个外角为40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴多边形的边数为360°÷40°＝9， 内角和为（9−2）×180°＝1260°， 答：这个多边形的内角和为1260°； （3）设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则 （n−2）•180°＝1180°−α， ∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数， ∴小明多加的一个外角为100°， ∴这是6＋2＝8边形的内角和． 答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8． 故答案是：100°，8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理的证明和运用，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数． 10．（23-24七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 现在我们时论三角形的外角及外角和． 如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角写内角有什么关系呢？ 在图9.1.10中，显然有 （外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 依据三角形的内角和等于，我们有． 由上面两个式子，可以推出 ． ． 因而可以得到你与你的同伴所发现的结论： ． 由此可知，三角形的外角有两条性质： 1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和． 2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度． 【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________． 【答案】【感知】260°；【探究】∠A+∠C =∠DFC+∠BEC；【应用】75° 【分析】（1）邻补角的和是180°及四边形内角和求解即可． （2）根据四边形内角和及邻补角的和求解即可． （3）根据（2）【探究】中的结论可得∠A+∠C=210°= ∠DFE+∠BEF，最后根据三角形内角和求解． 【详解】（1）【感知】邻补角互补 ∴∠BEF+∠AEF=180°  ∠DFE+∠CFE=180° ∴∠BEF+∠AEF+∠DFE+∠CFE=360° 又∵∠AEF +∠A+∠CFE +∠C=360°，∠A+∠C=260° ∴∠BEF+∠DFE=260° 故答案为：260° （2）【探究】∵四边形AECF内角和360° ∴∠A+∠C+∠AFC+∠CEA=360° 邻补角互补 ∴∠AFC+∠DFC=180°，∠CEA+∠BEC=180°， ∴∠AFC+∠DFC+∠CEA+∠BEC=360° ∴∠A+∠C+∠AFC+∠CEA=∠AFC+∠DFC+∠CEA+∠BEC ∠A+∠C =∠DFC+∠BEC 故答案为：∠A+∠C =∠DFC+∠BEC （3）【应用】根据（2）【探究】中结论可得 ∠A+∠C=210°= ∠DFE+∠BEF 又∵FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线 ∴=105° ∵三角形内角和180° ∴∠M=180°-105°=75° 故答案为：75°． 【点睛】此题考查四边形内角和、邻补角、外角、三角形内角和，熟记并应用相关角的度数是解题的关键． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 11．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，边长为和的两个正方形并排放在一起，求三角形的面积．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积的求解，比的应用，我们求出的面积，然后再求出，再运用和比问题的解决方法进行解答即可． 【详解】解： ， ， ． 12．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，是边上的中线，于点，若的面积是10，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高线等知识点，掌握三角形的中线平分三角形成为解题的关键． 由三角形中线的性质可得，再根据三角形面积公式列方程求出即可． 【详解】解：为的中线， ， ， 解得：． 13．（23-24七年级下·重庆·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵的边上的高为，中线为，，， ∴， 的面积； （2）解：∵的面积， ∵， ∴． 15．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）（1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形是5边形 【分析】该题主要考查了三角形面积计算，多边形内角和以及外角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等面积法求解即可； （2）根据多边形内角和以及外角和定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 即． （2）设这个多边形是n边形， ∵一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ， ∴， 解得：， 故这个多边形是5边形． 16．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查作图-基本作图， 解题的关键是掌握三角形高线的定义和三角形的面积公式． （1）根据三角形高的定义作图即可得； （2） 依据求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ． 17．（23-24七年级下·四川内江·期中）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】已知：在中，， (1)请你用尺规作边上的高交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，；求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形面积的计算公式，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线的画法和三角形面积公式计算是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点M、N；2． 分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P（异于点C）连接CP并延长，交于点D，则即为边上的高． （2）利用三角形的面积可以用来计算，也可以用来计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： 即为边上的高， （2）在中， ，，， ， 18．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 19．（24-25七年级上·重庆·期中）在长方形中，，；F，E分别为，边上的点，且满足．点P为一动点，从点E出发，沿折线，到点F后终止运动，它的速度为1个单位每秒．设点P运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长度（填空）； 解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． (2)当时，连接，；用含t的代数式表示的面积； (3)在整个运动过程中，当的取值范围是_____时，有最大值，其最大值为_____； (4)当时，连接，，．直接用含t的代数式表示的面积_____． 【答案】(1) (2) (3)，24； (4) 【分析】本题主要考查了动点问题的几何分析、三角形面积的计算、几何图形的性质以及代数表达式的化简，熟练掌握动点轨迹与位置分析、、分段讨论、代数表达式的构建与化简是解题的关键； （1）当P在线段上运动时，即当时，表示出即可． （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可； （3）分别表示出当时，当时，当时，面积变化情况，即可得出答案， （4）利用，分别代入即可解答； 【详解】（1）解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． 当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点D至终点P之间的线段的长度，该路程等于点P的运动速度点P的运动时间t，减掉，即， ， 故答案为： （2）解：当时，P在线段上运动时， 当时，当P在线段上运动时， 在长方形中，，在这个时间段内的长度始终不变 当点P在上时，点P到的距离为， ， ， 当时，由于P在线段上运动时， ， 综上所述： （3）当时，，随着t的增大，面积逐渐增加。当时， 当时，，随着t的增大，面积不变。 当时，，随着t的增大，面积逐渐减小，当时 当时，有最大值，其最大值为24 故答案为：，24； （4）解：当时， 根据题意得：，，，， ， ， ， 20．（2024·河南新乡·模拟预测）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义：等高三角形定义及其性质，利用此性质是解题的关键； （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【经典例题三 根据三角形中线求面积】 21．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是边的中点，连接，若图中阴影部分的面积为8，求的面积． 【答案】 【分析】根据“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”即可求解． 本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【详解】解：因为是边的中点，是的中线， 所以是的中线， 所以． 因为， 所以． 因为是的中线， 所以， 所以． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 23．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等面积法． （1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （2）由点是中点得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，（已知） ∴，（角平分线的定义） ∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（三角形内角和推论）； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D、E分别是的中点，相交于点G．    (1)求证：； (2)若的面积是，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形判定及性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的重心性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的解答． （1）先利用三角形中位线的性质得到，则证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例的性质得到结论； （2）根据是中线可得，再根据得，可得． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D、E分别是的中点， ． ． ． ． （2）解：∵是的中线， 又 ∴ ∴ 故答案为：． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 【答案】(1)20 (2) (3)见解析 【分析】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答． （1）根据三角形中线的性质得出面积即可； （2）根据三角形面积公式得出即可； （3）根据三角形面积公式进行证明解答． 【详解】（1）解：为中线，且， ， 故答案为：20； （2）解：为中线，，分别为，的中点，， ， ， ， ； （3）证明：为中线，，分别为，的中点， ， ，， ， ． 26．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】本题考查三角形中的动点问题，三角形的中线，通过点P运动到不同位置所满足的条件，确定点P的位置，然后计算出运动的时间t，其中，分析周长平分以及的面积为具体的数值时点P所处的位置特点是解题的关键． （1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求得t； （2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 27．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 28．（23-24七年级下·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型． （1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可． （2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可． 【详解】（1）根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ， E是的中点， ， ． 30．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【详解】解：（1）∵点D是边上的中点， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，取中点E，连接， 则， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 31．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 【答案】36度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，即可得到． 【详解】解：∵于， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 32．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：，， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不存在）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或． 33．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握相减性质是解答本题的关键． （1）设，根据线段垂直平分线的性质可得 ，得，，由得，再根据三角形内角和定理得可得； （2）由题意得到，再将转化成，则问题可解． 【详解】（1）解：设， ∵垂直平分． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，点为延长线上一点，点在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据三角形全等的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ∴． （2）解：在中，，， ， 又， ， ， ， ． 35．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则； （2）同理求出，则由三角形外角的性质得到； （3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，绕点旋转后与重合，点在上． (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用； （1）先证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得； 【详解】（1）解： 绕点旋转后与重合， ， ， ； （2）解：， ， ，， 又， ． 37．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时， ∴， 两式相减得，， ∴； ②如图2，当点D在线段上时， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时， ∴， 两式相减得，， ∴． 综上所述，与的数量关系是． 38．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． (1)请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意正确作出图形是解题的关键． （1）按题干直接画图即可． （2）连接，由作图得，，可得 再求得可得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：完成作图如解图． （2）证明：如图，连接， 由作图得，， ∴， ∴． 39．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________． 【答案】（1）90；（2）40；（3）；理由见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理． （1）利用三角形内角和定理即可解决问题； （2）利用三角形内角和定理即可解决问题； （3）根据题意可得，在中，利用三角形内角和定理即可证明； （4）在中，利用三角形内角和定理可得，再由，两式相减，即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：90； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：40； （3）；理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， 即； ∴； （4）． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 40．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； [定理证明]利用三角形内角和定理及邻补角的定义，即可证明结论； [问题解决]（1）由题意可知，，结合三角形的外角的性质，内角和定理求得，，，进而求得，，即可求解； （2）分两种情况：当为的靠近的三分线时，当为的靠近的三分线时，根据三角形的外角的性质，进行讨论求解即可． 【详解】[定理证明]证明：如图，∵， 又∵， ∴． ∴． [问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，， ∴，， 在中，由三角形的外角可知，， ∴，， 在中，由三角形的内角和定理可知，， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知，； （2）∵，， ∴， ∵ 为的靠近的三分线， ∴， 当为的靠近的三分线时，， 则； 当为的靠近的三分线时，， 则； 综上：或． 【经典例题五 三角形中旋转问题压轴题型】 41．（23-24七年级下·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【答案】(1) (2)3；21 (3)6秒或15秒或24秒 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （3）分，，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图（1），当时，， ∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21． （3）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6秒或15秒或24秒时，有两个内角相等． 42．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒． (1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程） (2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果） 【答案】(1)35秒 (2)95 【分析】（1）先画出图形，记的交点为，利用平行线的性质结合三角形的外角的性质可得，再进一步可得时间； （2）先画出图形，延长交于，，利用平行线的性质结合三角形的内角和可得，再进一步可得时间； 【详解】（1）解：如图，记的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角的动态定义；三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 43．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知、是两个完全一样的三角形，其中，． (1)将它们摆成如图①的位置（点E、F在上，点C在上，与相交于点G）．求的度数． (2)将图①的固定，把绕点F按逆时针方向旋转． ①当旋转到DEAB的位置时（如图2），_________； ②若由图①旋转后的能与的一边垂直，则n的值为_________． 【答案】(1)∠AGD＝150°； (2)①60；②60或90或150． 【分析】（1）根据三角形外角的性质先求出∠DEA，再求出∠AGD即可； （2）①根据平行线的性质求出∠E＝∠EFA＝60°可得答案； ②分情况讨论：当EF⊥AC时；当EF⊥AB时；当EF⊥BC时，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵∠DFE＝90°，∠D＝30°， ∴∠DEA＝30°＋90°＝120°， ∵∠A＝30°， ∴∠AGD＝∠DEA＋∠A＝120°＋30°＝150°； （2）①∵∠DFE＝90°，∠D＝30°， ∴∠E＝60°， ∵DEAB， ∴∠E＝∠EFA＝60°， ∴n＝60； 故答案为：60； ②分情况讨论： 当EF⊥AC于点G时，如图，则∠AGF＝90°， 由三角形内角和定理可得：∠EFA＝180°−90°−30°＝60°， ∴n＝60； 当EF⊥AB时，如图， ∴∠EFA＝90°， ∴n＝90； 当EF⊥BC于点H时，如图，则∠BHF＝90°， ∴∠EFA＝∠B＋∠BHF＝60°＋90°＝150°， ∴n＝150； 综上，n的值为60或90或150， 故答案为：60或90或150． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是要考虑全面，不要漏解，作出图形会更加直观． 44．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将两个完全相同的直角三角板、放置在一起，点B、D重合，点F在上，与交于点G．已知，．    (1)_____________________°； (2)现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转一定角度，旋转时间为t秒，在旋转的过程中，当恰有一边与平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)120 (2)3或12或15 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余得出，即可求解； （2）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时；分别画出图形，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ∴， 故答案为：120； （2）解：①当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②当时： ∵，， ∴， ∴， ∴；    ③当时，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    综上：t的值为3或12或15． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；三角形的内角和为． 45．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副直角三角板如图放置，点D是边AB上一个定点，△ABC与△DEF在直线AB同侧，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠B＝60°，∠E=45°. (1)如图1，当边DE恰好经过点C时，则∠1＋∠2＝_________°； (2)将△DEF从射线DA开始绕点D顺时针旋转α(0°＜α＜135°)，直线DF与直线AC交于点M，直线BC与直线DE交于点N. ①如图2，当点C落在∠EDF的内时，∠AMD＋∠BND是否为定值？ 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. ②在旋转过程中，若∠AMD与∠BND满足其中一个角是另一个角的4倍，求出旋转角α. 【答案】(1)135° (2)①∠AMD+∠BND=135°（定值）；②123°或42° 【分析】（1）根据互余，互补及三角形的内角和求解； （2）①根据互补关系及四边形的内角和求解；②分情况讨论点C落在∠EDF外时∠AMD+∠BND=135°(定值),根据两角的关系及三角形的内角和列方程求解. 【详解】（1）解：∵∠1＝∠EDF+（90°﹣∠2）， ∴∠1+∠2＝∠FDE+90°＝135°； 故答案为：135． （2）解：①∠AMD+∠BND=135°（定值）． 理由：∵∠AMD＝180°﹣∠CMD，∠BND＝180°﹣∠CMD， ∴∠AMD+∠BND＝180°﹣∠CMD+180°﹣∠CMD ＝360°﹣（∠CMD+∠CMD） ＝360°﹣（360°﹣∠EDF﹣∠C） ＝∠EDF+∠C＝135°． ②当点C落在EDF的右边时，如图所示， 设 与交于点 ， 当点C落在EDF的左边时，如图所示， 设 与交于点 ， 同理可得 故 若∠AMD＝4∠BND， ∵又∠AMD+∠BND＝135°， ∴∠AMD＝108°， ∴α＝∠ADF＝180°﹣30°﹣108°＝42°； 若∠BND＝4∠AMD时， ∵又∠AMD+∠BND＝135°， ∴∠AMD＝27°， ∴α＝∠ADF＝180°﹣30°﹣27°＝123°， 综上，旋转角α为123°或42°. 【点睛】本题考查了三角形的内角和，四边形的内角和、补角、余角等有关知识，掌握角之间的相互关系是解题的关键． 46．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，△ABC和△ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形，∠B=30°，△ABC固定不动，将△ADE绕直角顶点A旋转，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），∠PAC和∠PCA的平分线交于点I． (1)当△ABP是等腰三角形时，求∠PAC的度数； (2)在△ADE的旋转过程中，PD的长度在不断发生变化，当PD取最大值时，求∠AIC的度数； (3)确定∠AIC度数的取值范围． 【答案】(1)60°或15° (2)135° (3)105°<∠AIC<150° 【分析】（1）分AP=BP和AP=BP两种情况讨论，计算即可求解； （2）当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直，利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解； （3）设∠BAP=α，利用角平分线的定义得到∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：当AP=BP时， ∵∠B=30°， ∴∠B=∠BAP=30°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=90°-30°=60°； 当AB=BP时， ∵∠B=30°， ∴∠APB=∠BAP=(180°-30°)= 75°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=90°-75°=15°； 综上，∠PAC的度数为60°或15°； （2）解：∵AD长为定值， ∴当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直， ∵∠B=30°，∠BAC=90°， ∴∠ACP=60°，∠CAP=30°， ∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠ICA=∠ACP=30°，∠IAC=∠CAP=15°， ∴∠AIC的度数为180°-30°-15°=135°； （3）解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°−α， ∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA， ∴∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA) =180°− (∠PAC+∠PCA) =180°− (90°−α+60°) =α+105°． ∵0<α<90°， ∴105°<α+105°<150°，即105°<∠AIC<150°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 47．（23-24七年级下·山西晋城·期末）综合与探究：将两块三角尺按图1摆放，固定三角尺，将三角尺绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为 ． (1)当时（如图2），求的值； (2)当时（如图3），与相交于点F，求的值； (3)当时，连结（如图4），直线与相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)大小不变，其值为． 【分析】（1）由可得，则可求解； （2）由可得，根据三角形内角和可求，则可求α的值； （3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出关系式可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：大小不变，其值为． ∵，，， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 48．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： (1)若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数； (2)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (3)请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)∠ACB＝145° (2)∠ACB＋∠DCE＝180°；理由见解析 (3)存在；∠ACE＝30°，45°，120°，135°，165° 【分析】（1）先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE可得出结论； （3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°，画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠DCB＝90°−35°＝55°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋55°＝145°． （2）解：∠ACB＋∠DCE＝180°；理由如下： ∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°． （3）存在； ①当∠ACE＝30°时，，理由如下，如图1所示： ∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°， ∴∠DCB＝∠D， ∴； ②当∠ACE＝45°时，，理由如下，如图2所示： ∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠E＝45°， ∴∠ACE＝∠E， ∴； ③当∠ACE＝120°时，，理由如下，如图3所示： ∵∠ACE＝120°，∠A＝60°， ∴∠ACE+∠A=120°+60°=180°， ∴； ④当∠ACE＝135°时，，理由如下，如图4所示： ∵∠ACE＝135°， ∴∠DCE＝135°−90°＝45°， ∵∠E＝45°， ∴∠DCE＝∠E， ∴； ⑤当∠ACE＝165°时，，理由如下： 延长AC交BE于F，如图5所示： ∵∠ACE＝165°， ∴∠ECF＝15°， ∵∠E＝45°， ∴∠CFB＝∠ECF＋∠E＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠A＝∠CFB， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算、三角形外角的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 49．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，在中，平分，平分． (1)若，则的度数为______； (2)若，直线经过点D． ①如图2，若，求的度数（用含α的代数式表示）； ②如图3，若绕点D旋转，分别交线段于点M，N，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线，与线段交于点N，与的延长线交于点M，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②结论不变．；③． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义和三角形内角和定理得，然后把的度数代入计算； （2）①利用平行线的性质，三角形内角和定理求解即可； ②利用三角形的外角的性质和角平分线的定义即可解决问题； ③根据平角的定义，得到，据此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图2中， ∵， ∴，， ∴ ； ②结论不变．理由如下： 如图3中， ∵ ， ∴结论不变； ③结论：如图4中，． 理由如下： ∵，， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 50．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①40；②15或45或55 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）①根据，即可证明；②先得到，再由，即可证明； （2）①由平行线的性质得到，则，据此可得答案；②分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴ 当时，则， ∴， ∴； 当时，延长交于F，则， ∴， ∴； 综上所述，t的值为15或45或55． 【经典例题六 三角形折叠问题压轴题型】 51．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点落在外的点处，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，折叠的性质，互补的计算，掌握折叠的性质，三角形内角和定理，互补的计算方法是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，根据周角可得，由折叠的性质可得，，再根据互补的计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 52．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    【答案】40° 【分析】根据翻折变换的性质得出，再根据直角三角形的性质可得，即，最后利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵将沿折叠，使点B落在边上的E处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活利用相关性质是解题关键． 53．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点， (1)先由三角形的内角和定理求得,再根据折叠的性质，得到,从而即可求解； (2)根据折叠的性质，得到,进而计算周长即可； 熟练掌握折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：,, ， 由折叠可知，， , ； （2）解：由折叠可知，， 的周长. 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题， （2）由折叠可知和，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 55．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵，， ， ∵点恰好落在边 BC上， ． ， ， ， 由折叠的性质，知 ． 56．（24-25七年级下·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 57．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则_______度； 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则_______度． 【答案】[问题再现]（1）；[问题推广]（2）；（3） 【分析】[问题再现]（1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，代入计算即可求解； [问题推广]（2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得，由此可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （3）根据上述计算可得，根据折叠的性质可得，根据平角的性质可得，由此可得，结合三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[问题再现]（1）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， 故答案为：； [问题推广]（2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）∵的平分线交于点， ∴由（1）可得，， ∵将沿折叠，使得点与点重合， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，折叠的性质，掌握以上知识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键． 58．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，均为锐角且不相等，线段是中边上的高，是的角平分线．      (1)如图1，，，求的度数； (2)若，，则______； (3)是射线上一动点，C、H分别为线段A，上的点（不与端点重合），将沿着折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出，与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，求出，则，再求出，最后根据求解即可； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，进而得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （3）连接，根据三角形的外角定理得出，再根据折叠的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线． ∴， ∵线段是中 边上的高， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，线段是中边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，      ∵，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，直角三角形两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 59．（23-24七年级下·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角． （1）先由折叠得出，再利用三边关系，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴； （1）证明：由折叠知，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由折叠知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 60．（23-24七年级下·全国·单元测试）问题探索(一) 如图1，是的延长线，探索与，之间的数量关系． （1）图 1中，，，则__________； （2）图2中，，，则__________． （3）若，，则_________(用含α，β的式子表示)． 问题探索(二) 如图3，将沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……不断重复上述操作，若经过第n次操作，余下部分沿的平分线折叠，点与点C 刚好重合，则称是“可折叠三角形”． 例如，图4为一次“可折叠三角形”，图5为二次“可折叠三角形”，图6为三次“可折叠三角形”． 请利用问题探索(一)中的结论，分析解答下列问题： （1）推断图5中，与之间的数量关系，并说明其正确性； （2）直接写出图6中，与之间的数量关系：__________； （3）猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为__________． 【答案】问题探索（一）：（1）；（2）；（3）；问题探索（二）：（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题探索（一）：（1）根据三角形的内角和得出的度数，再利用邻角互补解答即可； （2）根据三角形的内角和得出的度数，再利用互补解答即可； （3）根据三角形的内角和得出的度数，再利用互补解答即可； 问题探索（二）：（1）由折叠的性质可得，，再由问题探索（一）可得，即可得解； （2）由折叠的性质可得，，，由问题探索（一）可得：，，即可得解； （3）根据（1）（2）总结得出规律即可． 【详解】解：问题探索（一）： （1）∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ∴； 问题探索（二）： （1），理由如下： ∵将沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴； （2）∵将沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴； （3）结合（1）（2）可得：猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为． 【经典例题七 三角形中位线的实际应用】 61．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，的周长为32，，边上的中线，的周长为23，求边的长． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，二元一次方程组的应用，设，，则，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意设，，则， ∴，， 解得， ∴边的长为10． 62．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在中，点D，E，F分别为的中点，且，则图中阴影的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的面积，三角形的中线的性质，灵活运用三角形中线的性质求解三角形的面积之间的关系是解题的关键．根据三角形中线的性质可求得，，，，进而可求得，即可求解． 【详解】解：点，，分别为，，的中点， ，，，， ，， ， ， ， ． 63．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形的中线等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长； （2）由是的中线可得，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：， （）； （2）解：是的中线， ， （）． 64．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)于，求之长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵，， ∴， ， 在中，，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． （2）解：在中，，，， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，涉及等边对等角，利用等积法求线段的长．熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 65．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质可以求出结果； （2）根据是的中线，与的周长差为，可得到，根据的周长为，，即可得到，进而可求出的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 是的中线， ； （2）是的中线，与的周长差为， ， 的周长为，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键． 66．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，画出的三边中线交点O； (2)在图②中，在的边AC上画点P，使面积为面积的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形的中线： （1）运用矩形对角线的交点可确定三角形边的中点即可找出三角形这条边上的中线； （2）如图，分别作出两个矩形的对角线即可确定点P的位置 【详解】（1）解：如图，点O即为所作； （2）解：如图，点P即为所作； 67．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 68．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 69．（23-24七年级下·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】[解决问题]任务1：；任务2：2；[拓展应用]12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． [解决问题]任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； [拓展应用]点是的重心，类比任务1，任务2可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：[解决问题]任务1：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； [拓展应用] 点是的重心，类比任务1，任务2可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 70．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2），32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积； 拓展：（1）如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论； （2）连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 【详解】解：探究：，理由如下： 过点作，交于， ∵是中边上的中线，则， ∴， 即：； 应用：连接，，， ∵点A、B、C分别是、、的中点， ∴，，， ∴， 则， 同理可得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：24； 拓展：（1）如图，连接，． ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积 ． 故答案为：54； （2）连接并延长交于， ∵点、是、边上的中点， ∴是边上的中线， 记6个小三角形的面积分别为，，，，，， 则，，，， ∴，即：， ∴，即：， 同理可知，， ∴， ∴四边形面积， 要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大， ∵中，，， ∴要使得的面积最大，则只需要， ∴的面积最大值为， 则四边形面积最大值为， 故答案为：，32． 【经典例题八 三角形三边关系的综合应用】 71．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论． 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下： ∵，且， ∴， ∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 72．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 73．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）一个等腰三角形的周长为． (1)若腰长是底边的2倍，求各边的长； (2)若其中一边的长为，求另两边的长． 【答案】(1)底边长为5，腰长为 (2)另两边的长为 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键， （1）设底边长为，则腰长为，根据周长为，列出方程即可得到各边的长； （2）根据等腰三角形的性质分两种情况讨论：①腰长为时；②当底边长为时，再利用三角形三边关系验证即可得到答案． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题可得：， 解得：， ∴， ∴底边长为5，腰长为． （2）解：∵在等腰三角形中，一边的长为， ①当腰长为时，底边长为：， ∵，不符合三角形三边关系，故舍去， ②当底边长为时，底边长为：， ∴另两边的长都为：． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)某人买了一张体育彩票，结果中了奖； (2)用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形； (3)射击运动员连续射击10次，每次都命中10环． 【答案】(1)随机事件，理由见解析 (2)必然事件，理由见解析 (3)随机事件，理由见解析 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答（1）、（2）、（3）． 【详解】（1）解：∵买一张彩票，可能中奖也有可能不中奖， ∴某人买了一张体育彩票，结果中了奖是随机事件； （2）解：∵， ∴用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形，是必然事件； （3）解：∵射击比赛有很多不确定的因素， ∴射击运动员连续射击10次，每次都命中10环，是随机事件． 75．（23-24七年级下·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 76．（23-24七年级下·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【答案】(1)可以设计2种不同规格的三角形框架，理由见解析 (2)最少费用为53元 【分析】本题考查三角形三边关系． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4； （2）解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少， ∵铁条长度可以切割，但不能拼接 ∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少， 由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个， ∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少， 最少费用为：（元）． 答：购买铁条共需53元． 77．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）如图：延长至G，使，连接，先证明，得到、，再证明，即可得到即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 78．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）如图①，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，推出； （2）如图②，当D不在线段上时，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，当D在线段上时，，于是． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，，理由如下： 当D不在线段上时，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 当D在线段上时，， 综上可知，． 79．（23-24七年级下·福建福州·期末）综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】问题情境：见解析；实践探究：见解析；类比探究： 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形三边关系的应用： 问题情境：由三角形外角的性质可得； 实践探究：证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； 类比探究：由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：问题情境：∵， ∴； 实践探究：∵，， ∴； 如图所示，折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； 类比探究：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 80．（23-24七年级下·福建福州·期末）某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究．    (1)【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； (2)【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； (3)【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门．    【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为． 【分析】（）连接，然后作的垂直平分线即可， （）连接，，交直线于点，根据垂直平分的性质和三角形的三边关系即可求解； （）分别作出的垂直平分线，同（）即可求解； 本题考查了垂直平分线的作法，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，作的垂直平分线，      ∴直线即为所求； （2）解：如图，选择点，连接，，交直线于点，    ∵直线垂直平分， ∴， ∴，即； （3）解：如图，分别作出的垂直平分线，    同（）根据垂直平分线的性质可得： 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为． 学科网（北京）股份有限公司 $$