第8章 三角形（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第8章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的分类 【解惑】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 【融会贯通】 1．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形．按三角形的分类标准逐选项分析. 【详解】钝角三角形属于按角分类，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键． 根据三角形的分类方法逐项判断即可； 【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误； ②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确； ③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确． 综上所述：说法正确的有②④． 答案为：②④． 3．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 类型二、画三角形的高 【解惑】如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 【详解】解：由图可得，线段是的高的图是D选项． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列各图中，正确画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，画出边上的高，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出边上的高如图： 故选D． 2．如图，以为高的三角形有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．由图可得一共10个三角形，且都以A为顶点，结合以为高即可得出结论． 【详解】解：由图可得，一共有个三角形，且都以A为顶点， 又交于D， 以为高的三角形有10个． 故答案为：10． 3．如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【详解】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 类型三、三角形的稳定性 【解惑】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．圆形桥梁的拱形结构 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．活动挂架 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行判断即可． 【详解】解：A、拱形，不是三角形，不符合题意； B、利用了四边形的不稳定性，不符合题意； C、利用了三角形的稳定性，符合题意； D、活动挂架，跟三角形的稳定性无关，不符合题意； 故选C． 【融会贯通】 1．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．空调在墙上的固定方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 2．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射圆满成功，在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 3．如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性的特点并能够在生活问题中灵活应用是解决本题的关键．根据三角形具有稳定性的特点，即可获得答案． 【详解】解：长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 类型四、三角形的内角和 【解惑】一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，如解析图中，根据受力分析图结合三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，根据受力分析图可知，， ∵斜面的坡角， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，依题意得，再求出，进而根据平行线的性质得，然后再根据即可得出的度数． 【详解】解：依题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，已知直线、相交于点，，，， ． 【答案】/30度 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，，点在直线上，点在和之间，过点作，交于点，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程，三角形内角和定理，先求得，则可求得，设，利用三角形内角和定理和平行线的性质列方程，即可解答，熟练利用相关性质列方程是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 平分， 故可设， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 类型五、三角形的外角 【解惑】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴， ∴； 故选D． 【融会贯通】 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线性质，由三角形外角性质可得，再由两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选D． 2．如图，已知，交于点，，，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 由平行线的性质推出，由三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为： 3．如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点，交线段的延长线于点，过点作于点，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故①结论正确； 如图，延长交于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②结论正确； ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴③结论正确； 若，则， ∵是的外角， ∴， 而与不一定相等， ∴不一定成立， ∴④不正确； 综上所述，正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 类型六、直角三角形的两个锐角互余 【解惑】如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先根据直角三角形两锐角互余求出，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵的直角顶点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：A． 2．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据角平分线的定义得到，设，表示出和，再利用三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 是的角平分线， ， 设，则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：58． 3．如图，中，，于，，，则 °． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 类型七、三边关系的应用 【解惑】如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是，， ∴设这个三角形第三边长为， 则x的取值范围是：，即， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 【融会贯通】 1．一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 2．三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式组．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 解得． 故答案为： 3．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，确定x的范围，再根据x为奇数，据此可求得答案． 【详解】解：根据三角形两边的和大于第三边，则．即． 根据三角形两边的差小于第三边，则，即， ， 为奇数， 的长为， ∴三角形的周长， 故答案为：12． 类型八、多边形下的内角和与外角和 【解惑】一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（    ） A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】A 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和之和为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意可得， ， 解得， 即这个多边形的边数为五， 故选：A 【融会贯通】 1．已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线问题、正多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的对角线条数与边数的关系是解答的关键．先根据凸边形有条对角线列方程求得n值，再求得正边形的外角的度数，然后由正边形的外角为列方程得到m值，然后利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵凸边形有条对角线， ∴，解得， ∵正边形每个内角是， ∴正边形每个外角是， 由得， ∴， ∴边数为15的多边形的内角和是， 故选：B． 2．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 3．若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的4倍， ， 解得， 故答案为：10． 类型九、正多边形的内角与外角 【解惑】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【融会贯通】 1．2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握多边形外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选∶A． 2．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为 ． 【答案】/114度 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键； 先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵正五边形的内角为，正六边形的内角为， 、分别平分正八边形与正六边形的内角， ∴， 故答案为：． 3．正五边形和正三角形按如图方式叠放在一起，B，P，C三点在同一直线上，经过点A，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形的内角和外角问题．根据正五边形的内角、外角的计算方法分别求出其度数，再根据三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， 是正三角形， ， ， ． 故答案为：． 类型十、网格中的三角形 【解惑】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A，B，C均在格点上． (1)过点C作，垂足为点D； (2)连接，线段，的大小关系是________（用“”连接）； (3)连接，在方格纸中找一格点E，使得的面积与的面积相等（不含点C，画出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、垂线段的性质及三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图； （2）根据垂线段最短求解； （3）根据同底等高面积相等，作是格点即可． 【详解】（1）解：如图所所示：即为所求； （2）解：由垂线段最短得：， 故答案为：； （3）解：如图所示：点E即为所求． 【融会贯通】 1．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；10 【分析】本题主要考查了网格作图，在网格中利用网格特点作垂线和平行线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）①根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向左移动4格，向上移动2格的格点，然后连接此格点与点B的直线即可作出平行线，在该次平行线上的格点，都可以作出点P； ②根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向下移动4格，向左移动2格的格点Q，连接即可； （2）根据两条直线间距离定义画出直线即可；根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，、、、中，任选一个点即可； ②如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 与直线、直线围成的图形的面积为： ．    2．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)的面积为______， (2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点； (3)在图②中，过点B作的垂线段． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格中应用与设计作图，平行线、三角形高的作法，三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题． （1）利用割补法计算即可； （2）取格点D，作直线即可； （2）取格点F，连接，由网格线的特点得，同理（2）取格点G，作直线交直线于点E即可； 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，直线为所求： （3）解：如图所示，线段为所求： 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)画出三角形关于轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (2)求三角形的面积； (3)在轴上找一点，使最小，在图中画出点，（保留作图痕迹），并写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为． 故答案为：． （3）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求，点P的坐标为：． 【一览众山小】 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，重力与水平方向夹角为，即，摩擦力的方向与斜面平行，，得到，由即可求解． 【详解】解：如图： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为，即， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， ， 故选：C． 2．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质和对顶角相等，根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．若是直角三角形，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 即 故选：D． 4．如图，是四边形的外角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，先由平角的定义求出的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，平行线的性质，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 根据正多边形的内角和定理及性质可得每个内角的度数为，如图所示，过点作，由两直线平行同位角相等得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴每个内角的度数为， ∴， 如图所示，过点作， ∵将一把直尺放在正五边形上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 6．近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，平行线的性质（两直线平行内错角相等），三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行公理的推论可证得，然后利用平行线的性质可求得和，再根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的应用，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键． （1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）延长交于点E，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长交于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴． 8．如图，在四边形中，，为上的一点，且，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质求得，结合已知求得，利用三角形内角和定理求得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 9．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（ ）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴， 即： = ∴（ ） (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，求出和的度数．（写出计算过程） (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由（写出推理过程）． 【答案】(1)见解析 (2)，； (3)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （2）先由，求出，再根据，得出，再根据三角形内角和即可得出答案； （3）根据平行线的性质得出，根据平角定义求出，由，，得出，根据三角形内角和定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴，， 即：， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， （3）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的分类 【解惑】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【融会贯通】 1．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 2．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 3．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 类型二、画三角形的高 【解惑】如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各图中，正确画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，以为高的三角形有 个． 3．如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 类型三、三角形的稳定性 【解惑】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．圆形桥梁的拱形结构 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．活动挂架 【融会贯通】 1．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 2．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射圆满成功，在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的 ． 3．如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的 ． 类型四、三角形的内角和 【解惑】一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线、相交于点，，，， ． 3．如图，，点在直线上，点在和之间，过点作，交于点，平分．若，，则的度数为 ． 类型五、三角形的外角 【解惑】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，交于点，，，那么 度． 3．如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点，交线段的延长线于点，过点作于点，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 正确结论的序号是 ． 类型六、直角三角形的两个锐角互余 【解惑】如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 3．如图，中，，于，，，则 °． 类型七、三边关系的应用 【解惑】如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 3．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 类型八、多边形下的内角和与外角和 【解惑】一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（    ） A．五 B．六 C．七 D．八 【融会贯通】 1．已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 3．若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 类型九、正多边形的内角与外角 【解惑】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，图2是奖牌的示意图，它的一个外角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为 ． 3．正五边形和正三角形按如图方式叠放在一起，B，P，C三点在同一直线上，经过点A，则的度数为 ． 类型十、网格中的三角形 【解惑】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A，B，C均在格点上． (1)过点C作，垂足为点D； (2)连接，线段，的大小关系是________（用“”连接）； (3)连接，在方格纸中找一格点E，使得的面积与的面积相等（不含点C，画出一个即可）． 【融会贯通】 1．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 2．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)的面积为______， (2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点； (3)在图②中，过点B作的垂线段． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)画出三角形关于轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (2)求三角形的面积； (3)在轴上找一点，使最小，在图中画出点，（保留作图痕迹），并写出点的坐标______． 【一览众山小】 1．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．若是直角三角形，且，则必有（    ） A． B． C． D． 4．如图，是四边形的外角，若，则 ． 5．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 6．近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为 ． 7．已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 8．如图，在四边形中，，为上的一点，且，求证：是直角三角形． 9．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（ ）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴， 即： = ∴（ ） (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，求出和的度数．（写出计算过程） (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由（写出推理过程）． 10．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$