专题05 轴对称、平移与旋转72道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题05 轴对称、平移与旋转72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 折叠问题 题型二 利用平移解决实际问题 题型三 根据垂直平分线的性质求长度 题型四 根据垂直平分线的性质求周长 题型五 根据垂直平分线的性质求角度 题型六 利用垂直平分线的性质求最值 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型九 全等三角形动点压轴题型 【经典例题一 折叠问题】 1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质： （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴。 2．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数； (3)当点落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了折叠问题，几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据折叠得出，根据，求出，即可得出答案； （2），求出，根据，求出即可得出答案； （3）分两种情况当点在内部时，当点在外部时，分别求出即可． 【详解】（1）解：如图1，由折叠可得：， 又， ， ， （2）解：如图2，， ， 由折叠可得：， ． ． （3）解：， ． 由折叠可得：， ①如图2，当点在内部时， ， ； ②如图3，当点在外部时， ， ． 综上所述：或． 3．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点B落在边上，如图②．    (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点A落在射线上，若设线段，求出x的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点H，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （3）过点H作于M，用a和b表示出和，求出和，结合已知即可求出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）若点G落在线段上时，如图1所示，    由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 若点G落在线段的延长线上时，如图2所示，    由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上：或； （3）如图3所示，过点H作于M，    ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，列代数式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE外部的点处． (1)由折叠的性质可得______≌______． (2)设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么图中∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (3)试探究∠A与∠1、∠2之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)△ADE，△A′DE (2)∠1=2x-180°，∠2=180°-2y (3)∠2-∠1=2∠A 【分析】（1）直接根据折叠的性质可得； （2）根据折叠得到∠AED=∠A′ED=x，∠ADE=∠A′DE=y，再利用平角的定义和角的和差即可求解； （3）根据（2）中的结果，观察表示各角的式子，找到其中关系，可得结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得： △ADE≌△A′DE； （2）由折叠可知：∠AED=∠A′ED=x，∠ADE=∠A′DE=y， ∴∠1=∠A′ED-∠BED=x-（180°-x）=2x-180°， ∠2=180°-∠ADE-∠A′DE=180°-2y； （3）∠2-∠1=2∠A，理由是： ∵∠A=180°-x-y， ∠1=2x-180°， ∠2=180°-2y， ∴∠2-∠1=180°-2y-（2x-180°） =360°-2x-2y =2（180°-x-y） =2∠A， 即∠2-∠1=2∠A． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，即图形翻折变换后所得图形与原图形全等． 5．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知等边三角形纸片，点E、F、G三点分别在边、、上，连接、，将沿翻折得到，直线与相交于点M；将沿翻折得到，直线与相交于点N． (1)如图1，若点M与点N重合，求的度数； (2)如图2，若点N在点M的右侧，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查折叠的性质和角的运算，根据折叠的性质可知，，又点M与点N重合，可知，最后根据计算，即可求解． （1）本题考查折叠的性质和角的运算，根据折叠的性质可知，，且，可得到的度数，最后根据计算，即可求解． 【详解】（1）解：沿翻折得到， ， 沿翻折得到， ， 点M与点N重合， ， ． （2）解：由（1）同理可证，， ， ， ． 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】 如图1，在长方形中，，点在边上移动． 【提出问题】 （1）点是的中点，点是的中点，求线段的长． 【解决问题】 点在边上移动，点在边上移动，将长方形按图2所示的方式折叠，，为折痕，点落在处，点落在处，点，，始终在同一直线上． （2）若，求的度数： 【深入探究】 （3）当点在边上移动到图3的位䈯时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不变化， 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、翻折问题及角平分线的有关计算， （1）根据线段中点定义及线段的和差计算即可； （2）由翻折得角平分线，根据角平分线的定义结合平角度数为180度即可解决； （3）根据（2）中计算方法推理说明即可． 【详解】解：（1）点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ； （2）折叠， ，， ， ， ， ； （3）不变化， 折叠， ，， ， ， ， 即． 7．（23-24七年级上·广西百色·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质，可得，即可求解； （2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解； ②分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ， ， ； （2）解：由折叠性质可知：，， ， ， 即； （3）解： ，，之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ， ； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ， ， 综上所述，，，之间的数量关系为： 或． 8．（23-24七年级上·四川内江·期末）如图（），在长方形纸片中，点在边上，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点．    (1)如图（），若点落在上，求的度数；    (2)如图（），若，求的度数；    (3)如图（），若，请直接写出的度数；    (4)若，直接写出的度数（用含 的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数为或． 【分析】（1）由翻折性质知，，结合可得答案； （2）由知，据此得，根据可得答案； （3）由知，根据可得答案； （4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出的度数，再分别根据和求解可得． 【详解】（1）解：由翻折，知和重合，和重合， 所以，． 因为， 所以； （2）解：由（），知，， 因为， 所以． 所以． 所以； （3）解：由（），知，， 因为， 所以，即． 所以； （4）解：如图3，∵，    ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图4，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题是翻折变换的综合问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点． 【经典例题二 利用平移解决实际问题】 9．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形地块上修建两条宽为b米的小路，其余部分铺上草坪，用含有a、b的式子表示草坪的总面积S．（结果化到最简） 【答案】 【分析】将两条小路平移后，草坪为一个长方形，根据长方形的面积公式，即可进行解答． 【详解】解：如图：将两条小路平移后，草坪为一个长方形， ∵，， ∴草坪的总面积． 综上： 【点睛】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用平移的性质求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个一模一样的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，求图（2）中平移距离A′A． 【答案】3 【分析】由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图（2）除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图（2）总面积的，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长． 【详解】∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等， ∴AD=A′D′=4，BC=B′C′=8， 设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x， ∴AD′=A′D′-A′A=4-x，BC′=B′C′-B′B=8-x， 由平移的性质可知：S四边形A′ABB′=S四边形D′DCC′， 又∵S阴影=S四边形A′B′CD， ∴S阴影=S四边形ABCD， ∴h（AD′+BC′）=×h（A′D′+B′C′）， 即h（4-x+8-x）=h（4+8）， 化简得：6-x=3， 解得：x=3， ∴A′A=3． 【点睛】此题考查了平移的性质，以及梯形的面积公式，平移的性质有：对应点的连线平行（或重合）且相等，对应线段平行（或重合）且相等．其中根据平移的性质及题意得出S阴影＝S四边形A′B′C′D′是解本题的关键． 11．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以CD为斜边的等腰直角三角形CDM，连接BM，并直接写出BM的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，以AB为对角线的正方形AEBF，根据正方形的性质求出正方形边长AE=，根据勾股定理构造直角三角形横1竖3，或横3竖1，利用点A平移找到点E，点F即可完成求解； （2）根据勾股定理求出CD的长，△CDM为等腰直角三角形，设CM=DM=x，再利用勾股定理，根据勾股定理构造横1竖2，或横2竖1直角三角形，利用点C平移得到点M，即可得到答案． 【详解】（1）根据勾股定理AB=， ∵以AB为对角线的正方形AEBF， ∴S正方形=， ∵正方形AEBF的边长为AE， ∴AE2=10， ∴AE=， 根据勾股定理可知构造横1竖3或横3竖1的直角三角形作线段AE、AF， 点A向下平移1格，再向左平移3格得点E，点A向右平移1格，再向下平移3格得点F， ∴连结AE，BE，BF，AF， 则正方形ABEF作图如下： （2）根据勾股定理 ， ∵△CDM为等腰直角三角形，设CM=DM=x， 根据勾股定理，即， 解得， ∴CM=DM=， 根据勾股定理构造横1竖2，或横2竖1直角三角形作线段CM、DM， 点C向右移动2格，再向上移动1格得点M，连结CM，DM， 则△CDM为所求如图． 【点睛】本题考查了正方形性质、正方形面积，边长，等腰直角三角形、腰长，勾股定理，一元二次方程，平移；解题的关键是熟练掌握正方形性质、等腰直角三角形性质，勾股定理，一元二次方程，平移，从而完成求解． 12．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移am就是它的右边线．则这块草地的面积为______m2； （2）方案二：修建一个长是宽的倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【答案】（1）m2；（2）能用，理由见解析 【分析】（1）由题意，草地的长减小am，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为m，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）由题意，把小路左边部分的草地向右平移am，得到一个长为（32-a）m，宽不变的长方形，则其面积为； 故答案为：． （2）设宽m，则长为m 依题意有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ×× 即：． 这个篮球场能用做比赛． 【点睛】本题考查了图形的平移，平方根的定义，无理数的估算等知识，难点在于对无理数的估算． 13．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键． 14．（23-24七年级下·四川内江·期末）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（1，0）． （1）求△ABC的面积；（提示：三角形ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积） （2）在x轴上找一点P，使△PAC的面积等于△ABC面积的2倍； （3）将线段AB沿水平方向以每秒1个单位的速度平移至MN（A对应M、B对应N），几秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等？ 【答案】（1）9 （2）P（，）或(，） （3）1或8秒 【分析】（1）由面积和差关系可求解． （2）先求出AC解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求解． （3）由面积和差关系可求解． 【详解】（1）由题意做出辅助线可得： ∴ （2）由题意可得： ∴ ∴ ∴P（，）或(，﹣） （3）设秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等， ∴ 若向左移动，则M（-1-t，5），N（-3-t，1） ∴ 解得 若向右移动，则M（-1+t，5），N（-3+t，1）(t＞3) ∴ 解得 答：1秒或8秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等． 【点睛】本题主要考查了坐标的平移和三角形面积的应用，运用等量代换，三角形的面积建立等式是解题的关键． 15．（23-24七年级下·山西长治·期中）如图，三角形ABO中，A（-2，-3）、B（2，-1），三角形是三角形ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点的坐标为（4，3） (1)作出三角形ABO平移之后的图形三角形，并写出两点的坐标分别为 ； ； (2)P（x，y）为三角形ABO中任意一点，则平移后对应点的坐标为 ； (3)连接、，求△的面积． 【答案】(1)， (2)． (3)6 【分析】（1）由点及其对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此得出点和点的对应点，顺次连接可得； （2）由平移的方向和距离可得答案； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）依题意，O的对应点的坐标为（4，3）可得：向右平移4个单位长度，上移3个单位长度， 则，如图所示，三角形为所求， ∴点，点， 故答案为：，． （2）∵向右平移4个单位长度，上移3个单位长度， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）如图示，连接、， 则 【点睛】本题主要考查作图平移变换，能根据平移变换的定义和性质得出变换后的对应点及割补法求面积是解题的关键． 16．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）若在方格(每小格正方形边长为上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位)，则把有序数对，叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”，可平移至点． （1）从点按“平移量”　　　　，　　　　可平移到点； （2）若点依次按“平移量”，、，平移至点， ①请在图中标出点；(用黑色水笔在答题卡上作出点 ②如果每平移需要2.5秒，那么按此方法从点移动至点需要多少秒？ ③观察点的位置，其实点也可按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”，、，、，平移至点，则相当于点按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点． 【答案】（1），；（2）①答案见解析；②25秒；③2，；，． 【分析】（1）根据“平移量”的定义即可得； （2）①根据“平移量”的定义得出点B的平移方式，再描点即可得； ②先求出点B平移至点D的平移总距离，再乘以即可得； ③根据“平移量”的定义即可得，观察点B平移至点D的规律即可得出答案． 【详解】（1）从到，向左平移2个单位，向下平移1个单位 所以平移量为 故答案为：； （2）①由题意得，先将点向右平移4个单位，向下平移3个单位；再向左平移2个单位，向上平移1个单位即可达到点D，标出点D如图所示： ②点B平移至点D的平移总距离为 则所需时间为（秒）； ③由图可知，从点直接平移至点，向右平移2个单位，向下平移2个单位 所以平移量为 观察可知：， 则点直接平移至点的平移量为，即 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平移的应用，理解新定义，找出平移规律是解题关键． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求长度】 17．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 又， ， 故的长为． 18．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，已知是锐角三角形． (1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和角平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质和勾股定理等知识，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据要求先作的垂直平分线，再作出的角平分线，交直线于点O，交点即为O点； （2）过点O作于点H．证明，利用勾股定理求出，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线，点O即为所求； （2）解：过点O作于点H． ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得：，从而将的周长转化为：，即，依此可求． 【详解】（1）解：如图所示：直线为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）如图，°，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是__________cm． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及作法、线段垂直平分线的性质及作法. （1）作的角平分线，线段的垂直平分线，两者的交点即为点P； （2）如图，根据角平分线的性质可得，再证明，可得，根据三角形面积公式，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是4cm，则的长是__________cm． 解：如图，线段的垂直平分线交于点E，过点作垂足为， 又∵， ，由作图知是的角平分线， ， 又，点到的距离是，即， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ 21．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°． (1)利用圆规和直尺，在∠A的内部找一个点P，使点P到AB，AC的距离相等，且PB=PC；(不写作法，保留作图痕迹) (2)若BC的垂直平分线交BC于点E，∠C=30° ，CE=5，求AB的长． 【答案】（1）详见解析；（2）5 【分析】（1）要使点到两边的距离相等，即绘制BC的垂直平分线即可； （2）可先求出CB的长，然后根据30°直角三角形的特点可得出AB的长． 【详解】解: (1) 如图所示，点P为所要求的点， (2)在Rt△ABC中，∠C= 30°，CE=5． ∵BC的垂直平分线交BC边于点E， ∴BC = 2CE= 10， ∴AB =BC= 5． 【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图和特殊角度直角三角形三边关系，解题关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法． 22．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并证明；若不存在，说明理由． 【答案】(1)70° (2)①7cm；②存在，图及证明见解析 【分析】根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； ①根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案. ②根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB=PA，从而得到PB+CP=PA+PC≥AC，进而得到当点P与点M重合时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：. . . 又垂直平分. . 故答案为：. （2）如图： 垂直平分． . 又的周长是. . ． 当点P与点M重合时，的值最小. ∵MN垂直平分AB． ∴PB=PA. ∴PB+CP=PA+PC≥AC. ∴当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长. ∴△PBC的周长最小值是9+7=16cm． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出． 23．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的坐标系网格，，，仅用无刻度直尺在合网格中画图． (1)在图中，画出线段关于轴的对称线段．并写出和坐标________． (2)在图中，点是线段上一点，画出点关于轴的对称点． (3)在图中，点为格点，在内画一点，使． (4)在图中，在轴上画一条长应为个单位长度的线段（点在点上方），使的值最小． 【答案】(1)作图见解析，，； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析； 【分析】（）找出，关于轴对称的点，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，然后连接，延长交交于点，即即为所求； （）作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线交于点，即即为所求； （）找点关于轴对称的点，在轴上找点，向下平移个单位得，连接，交轴于点，则即为所求； 本题考查了作图——作轴对称，作垂线，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求， 故答案为：，； （2）解：如图，连接，交轴于点，然后连接，延长交交于点， ∴即为所求； （3）解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线交于点， ∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， ∴， ∴点即为所求； （4）解：如图，找点关于轴对称的点， 向下平移个单位得， 连接，交轴于点，连接，交轴于点， ∴即为所求； 由网格可知，， ∵， ∴根据两点之间线段最短，则可知即为所求． 24．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）北师版初中数学教科书七年级下册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法：已知：如图，钝角． 求作：的角平分线． 作法：①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E； ②分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C； ③作射线OC． 所以射线OC就是所求作的角平分线． （1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹） （2）在该作图中蕴含着几何的证明过程： 由①可得：； 由②可得：______； 由③可知：； ∴____________（依据_____）． ∴可得（全等三角形对应角相等） 即OC就是所求作的的角平分线． （3）如图2，点O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜．若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）见解析 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，则可根据“SSS”判断OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE． （3）连接AB．做AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过M点． 【详解】解：（1）如图，OC为所作； （2）由①可得：OD＝OE； 由②可得：CD＝CE； 由③可知：OC＝OC； ∴OCD≌OCE（SSS）， ∴∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）． 即OC就是所求作的∠AOB的角平分线． 故答案为：CD＝CE；OCD，OCE，SSS； （3）连接AB．作AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M， 因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形． 因此，AB的垂直平分线必经过M点． 【点睛】本题为三角形综合题，主要考查了角平行线、三角形全等和中垂线的性质以及基本作图，解题的关键是画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求周长】 25．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，进而由的周长为可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长． 26．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【详解】（1）解：如图所示，是边的垂直平分线． （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 27．（24-25七年级下·山西长治·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 28．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 29．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 30．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 【答案】(1)垂直平分线 (2)； (3)的周长为． 【分析】本题考查了垂直平分线作图和垂直平分线的性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再得到，利用三角形的外角性质结合三角形内角和定理得，据此即可求得答案； （3）根据垂直平分线性质求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （2）解：根据（1）得，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴的周长 ， 即：的周长为． 31．（湖南省郴州市2024-2025学年七年级下学期11月期中数学试题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵的垂直平分线交于点D ∴ ∴的周长为：． 32．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出的对称点的坐标； (2)若与点关于某一条直线成轴对称，请你在图中用尺规作图作出这条对称轴（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在轴上确定一点，使的周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，为所求的三角形， (2)图见解析，直线为所求的对称轴 (3)图见解析，点为所求的点 【分析】本题考查的是画轴对称，作对称轴，轴对称的性质，熟练的画图是解本题的关键． （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接，根据的位置可得其坐标； （2）连接，作线段的垂直平分线即可； （3）作点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点即可； 【详解】（1）解：如图，为所求的三角形，； （2）解：如图，直线为所求的对称轴； （3）解：如图，点为所求的点． 理由：由作图可得：， ∴，此时周长最小． 【经典例题五 根据垂直平分线的性质求角度】 33．（24-25七年级下·吉林四平·阶段练习）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)求证：点在边的垂直平分线上； (2)若，则的大小为 度． 【答案】(1)证明见详解 (2)20 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段平分线的判定和性质． （1）构造辅助线，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得出等边对等角，再利用三角形的内角和定理即可求出角的度数． 【详解】（1）证明： 如图，连接， ∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ， ∴点在边的垂直平分线上； （2）解： ∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ∴的大小为， 故答案为：20． 34．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点，使，并连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当为_______度时，平分； （3）当时，的周长=__________． 【答案】（1）答案见解析；（2）30°；（3）7． 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于P点； （2）利用PA=PB得到∠PAB=∠B，利用AP平分∠BAC得到∠CAP=∠BAP，则∠BAC=2∠B，然后根据三角形内角和可求出∠B的度数． （3）先利用勾股定理计算出BC=4，然后利用PA=PB可得到△ACP的周长=AC+BC=7． 【详解】（1）如图，点P为所作； （2）∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B． ∵AP平分∠BAC， ∴∠CAP=∠BAP， ∴∠BAC=2∠B． ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=30°． 即∠B为30度时，AP平分∠CAB． （3）在Rt△ABC中，BC4． ∵PA=PB， ∴△ACP的周长=AC+PC+AP=AC+CP+PB=AC+BC=3+4=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 35．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键 （1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求： （2）解：连接， ∵为的角平分线∶ ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 36．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知：线段AB． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． ①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围是 ； ②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可； （2）①根据锐角三角形的高在三角形内即可解决． ②利用等角的余角相等证明． 【详解】（1） （2）①≤< ②图略，图形在（1）的基础上完成 证明：线段AB的垂直平分线为l 【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质及作图-基本作图，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质及作图-基本作图. 37．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点． (1)若，则的周长是多少？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)20；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可； （2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：的周长为20． ∵直线与分别是边和的垂直平分线， ， ∴的周长； （2）解：∵直线与分别是边和的垂直平分线， ， ， 又∵， ， ， ． 38．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕B点逆时针旋转得到，使得点恰好落在上，延长交于点D．    (1)求的度数； (2)若是的中点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等． （1）由旋转的性质得到，推出，由等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出； （2）连接 ，由，推出，得到，得出垂直平分，再利用等腰三角形的性质求出即可， 【详解】（1）∵绕B点逆时针旋转得到 ∴           （2）连接    ∵绕B点逆时针旋转得到      ∵绕B点逆时针旋转得到 ， 是的中点， 垂直平分 39．（24-25七年级下·山东滨州·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若，则的度数为______； (2)若，则的度数为______；（用含的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、、， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 40．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【经典例题六 利用垂直平分线的性质求最值】 41．（2024七年级下·黑龙江·专题练习）如图，在四边形中，，，，． (1)作图：在上找一点，使的值最小； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）延长至点，使，连接交于点，则点就是所作的点，即可得到答案； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据，得到，从而得到，得到，结合得到，结合直角三角形中角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案； 【详解】（1）解：如图，延长至点，使，连接交于点，则点就是所作的点， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ， ，． ，， ， ， ， ， ， 又， ， ∵，， ， ， 故的最小值为4； 【点睛】本题考查了典型问题：有关轴对称的线段和最小问题，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，掌握典型问题的解法是解题的关键． 42．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在∠AOB的内部有一个定点P． （1）试在OA、OB上确定C、D两点，使△PCD的周长最短；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若OP＝1，∠AOB＝30°，求△PCD的周长最小值． 【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】（1）作P关于OA，OB的对称点P′，P″．连接P′P″交OA、OB于C、D即可； （2）根据对称的性质可以证得△P′OP″是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： △PCD的周长最短； （2）∵P、P′关于OA对称， ∴∠POP′=2∠AOP，OP′=OP， 同理，∠POP″=2∠BOP，OP=OP″， ∴∠P′OP″=∠P′OP+∠P″OP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=60°，OP′=OP″=OP=1． ∴△P′OP″是等边三角形， ∵OP=1， ∴P′P″=1， ∴△PCD周长最小值为1． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键． 43．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图—基本作图、轴对称最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意知，当点与点重合时，取得最小值，为的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ，， ∴， 当点与点重合时，，为最小值． ，， ， 的最小值为9． 故答案为：9． 44．（23-24七年级下·北京西城·期末）尺规作图及探究： 已知：线段AB=a． （1）完成尺规作图： 点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数； （2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为，点Q的位置记为，连接，并直接回答∠的度数． 【答案】（1）见解析，67.5；（2）60 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP=，连接PA，PB即可解决问题． （2）作等边三角形P′AB即可解决问题． 【详解】解：（1）作图见图4．如图，点P即为所求． 因为：点P到AB的距离等于，PA=PB 所以：为等腰直角三角形，∠PBA=45° ∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．                                                        （2）作图见图4， 当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形， 所以是等边三角形， ∴=60°．                                                            【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 45．（2024·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 46．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在中，．    (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下， ①若，求的度数； ②若的面积是12，，点M、N分别是上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①②6 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2））①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后计算即可； ②如图，根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形三边的关系得到（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短得到当时，的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出即可． 【详解】（1）解：如图，为所作；    （2）解：①∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ②如图，∵垂直平分，    ∴， ∴（当且仅当A、N、M共线时取等号）， ∵当时，的长度最小， ∵， ∴， ∴的最小值为6． 47．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6． （1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图） ①作线段AB的垂直平分线MN； ②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等． （2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于 ． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6 【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN即可； ②利用尺规作出∠CAB的角平分线，交MN于点P，点P即为所求； （2）直线MN与BC的交点即为点Q，最小值为BC的长． 【详解】解：（1）①如图，直线MN即为所求； ②如图，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6， 故答案为：6． 【点睛】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，以及轴对称的性质，最短路径问题，正确掌握各作图方法及轴对称的性质是解题的关键． 48．（24-25七年级下·广西来宾·期中）如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)500米 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，等边三角形的判定与性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线即可； （2）根据最短最短路径问题，结合对称的性质，填空即可； （3）分别作点关于，的对称点、，连接，分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长，证明是等边三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图1所示，牛奶站应建在点处． （2）证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中， ， ． ，即最小； （3）解：如图3所示，分别作点关于，的对称点、，连接， 分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由对称的性质可得米，，， ， 是等边三角形， 米 米． 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 49．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． (1)写出点A，B的对应点； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可得； （2）由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转后得到， 点的对应点，点的对应点； （2）解：因为将绕点按逆时针方向旋转得到，所以， 所以． 50．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． (1)如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； (2)如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转图形的性质与作图，根据旋转的性质作垂直平分线确定旋转中心即可． （1）作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，再确定坐标和旋转角即可； （2）按照（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，坐标为，由图可知，所以旋转角度为，点P的坐标是， 故答案为：，，． （2）解：如图所示，点F就是旋转中心，坐标为， 故答案为：． 51．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据轴对称图形和旋转的性质作图即可； （）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴与的关系为． 52．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】(1)旋转中心为点 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点； （2）解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：由旋转性质知：，， ． 53．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【详解】（1）绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； （2），理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； （3）设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 54．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在直角中，． (1)在图中，用直尺和圆规作出的角平分线，交边于点； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在（）的条件下，已知等腰直角三角形，，点在线段上，且不与点重合，点在上，固定不动，绕点顺时针旋转，如图，当时，求旋转角的度数； (3)如图，等腰直角三角形的起始位置如图所示，，点在上，点在延长线上时，若固定不动，绕点顺时针转动，旋转角的度数小于，则当的三边依次与平行时，旋转角的度数为______． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或或 【分析】（）根据角平分线的作法画图即可； （）根据平行线的性质和旋转角的定义解答即可； （）分，和三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解； 本题考查了角平分线的画法和性质，图形的旋转，平行线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图，设与相交于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，如图， 则， ∴旋转角； 当时，如图，设与相交于点， 则， ∵， ∴旋转角； 当时，如图， 则， ∴旋转角； 综上，当的三边依次与平行时，旋转角的度数为或或， 故答案为：或或． 55．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，求此时三角板绕点的运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为或或或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据的度数就是旋转的角度求解即可； （2）由图3可知，，，则可求解； （3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间． 【详解】（1）解：， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2），理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 56．（24-25七年级下·江苏南京·期中）图形变换可以帮助我们认识图形． (1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与重合，可知：___________，___________； (2)如图③，将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，再将绕点逆时针旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图④，中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折得到．直接写出当的某一边与平行时的大小．（只写出为锐角时的大小即可，结果用含用的代数式表示） 【答案】(1)； (2)，，理由见解析； (3)或或或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质及平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质即可得出边、角之间的关系，根据平行线的判定定理可得答案； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质逐一求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，； 故答案为：； ； （2）解：，， 理由：将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， 当点恰好落在的延长线上时，是等腰三角形， ， ， ； （3）解：①当时，如图： ， ，， ； ②Ⅰ当时，如图： 此时、共线， ，由折叠可得，， 中，， ， ； Ⅱ当时，如图： ； ③Ⅰ当时，如图： ， ， ， ， ， Ⅱ当时，如图： ， ， ， 综上所述，当的某一边与平行时的大小为 或或或或． 【经典例题八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 57．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 【答案】(1)作图见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系及中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键， （1）根据中心对称的特征，延长至，使，连接，则即为所求，， （2）根据三角形的两边之和大于第三边分析即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在中，是边上的中线，延长至，使，连接，则即为所求，． （2）解：，理由： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∵在中，有，即， ∴． 58．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心； （2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 59．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再连接即可得到； （2）结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图形可得：重合的面积是中间的小正方形， ∵网格边长为1， 故重合面积为4． 【点睛】本题考查网格作图，解题的关键是掌握中心对称的性质，掌握中心对称图形的作图法． 60．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出即可； （2）由题意得，点与点关于点中心对称，结合中心对称的性质可得，，求出、的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 61．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)以A点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)作出关于坐标原点成中心对称的； (3)线段与的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称作图，直线位置关系的判断．掌握旋转和中心对称的作法及垂直的判定方法是解题的关键． （1）根据旋转的方向及角度作图，即可求解； （2）根据中心对称图形的作法作图，即可求解； （3）连接，，，，根据中心对称的性质得到，，，从而，得到，即可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求图形． （2）解：如图，即为所求图形． （3）解：连接，，，， ∵与关于坐标原点成中心对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 62．（16-17七年级下·江苏无锡·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【答案】（1）＝（2）作图见解析（3）作图见解析 【分析】（1）根据知识背景即可求解； （2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC 故答案是：=； （2）如图所示： （3）如图所示： 63．（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质即可将绕点逆时针旋转得到△； （2）线段的中点为，作关于点的对称点，连接、即可； （3）平移，使其经过点； （4）作关于直线的对称点，连接并延长，交于点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）点和如图所示：    （3）如图，且经过点；    （4）如图，点即为所求；    因为、关于直线的对称， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换和作图-平移变换，解题的关键熟练掌握旋转和平移的性质． 【经典例题九 全等三角形动点压轴题型】 65．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 66．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图， ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 67．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的性质；分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时， 点的运动时间为 秒 ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：或或． 68．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 69．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 70．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①当时，由三角形面积公式得；当时，即可； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【详解】（1）解：∵在中，为高， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：①∵ ∴， ∵，， ∴ 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段BC延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 71．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质，全等三角形的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）设点Q的运动速度为，分，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 72．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】(1)①；②5 (2)或或6 【分析】本题考查三角形的面积、垂线段最短、三角形全等的性质、一元一次方程的几何应用，解答的关键是对动点所在位置分类讨论求解． （1）①利用三角形的面积公式，利用等面积法求解即可； ②由得到，当时，最小，此时最大，进而求解即可； （2）分①点D在边上，点E在边上时；②当点D在边上，点E在边上时；③当点D在边上，点E在边上时；④当点D在边上，点E在点A处时四种情况，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，，是的高， ∴，则； ②由题意，， ∴， 当时，最小，此时最大，最大值为； （2）解：由题意，点D在上用时，在上用时， 点E在上用时，在上用时， 故分以下几种情况： ①点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， ∴，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，又，， ∴，则，解得， ∵， ∴这种情况不可能，舍去； ②当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ③当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ④当点D在边上，点E在点A处时，如图， 则，， 由得，解得，符合题意， 综上，满足条件的t值为或或6． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称、平移与旋转72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 折叠问题 题型二 利用平移解决实际问题 题型三 根据垂直平分线的性质求长度 题型四 根据垂直平分线的性质求周长 题型五 根据垂直平分线的性质求角度 题型六 利用垂直平分线的性质求最值 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型九 全等三角形动点压轴题型 【经典例题一 折叠问题】 1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数； (3)当点落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 3．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点B落在边上，如图②．    (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点A落在射线上，若设线段，求出x的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点H，连接，当时，求的值． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE外部的点处． (1)由折叠的性质可得______≌______． (2)设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么图中∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (3)试探究∠A与∠1、∠2之间有何数量关系，并说明理由． 5．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知等边三角形纸片，点E、F、G三点分别在边、、上，连接、，将沿翻折得到，直线与相交于点M；将沿翻折得到，直线与相交于点N． (1)如图1，若点M与点N重合，求的度数； (2)如图2，若点N在点M的右侧，且，求的度数． 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】 如图1，在长方形中，，点在边上移动． 【提出问题】 （1）点是的中点，点是的中点，求线段的长． 【解决问题】 点在边上移动，点在边上移动，将长方形按图2所示的方式折叠，，为折痕，点落在处，点落在处，点，，始终在同一直线上． （2）若，求的度数： 【深入探究】 （3）当点在边上移动到图3的位䈯时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 7．（23-24七年级上·广西百色·期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 8．（23-24七年级上·四川内江·期末）如图（），在长方形纸片中，点在边上，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点．    (1)如图（），若点落在上，求的度数；    (2)如图（），若，求的度数；    (3)如图（），若，请直接写出的度数；    (4)若，直接写出的度数（用含 的代数式表示）． 【经典例题二 利用平移解决实际问题】 9．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形地块上修建两条宽为b米的小路，其余部分铺上草坪，用含有a、b的式子表示草坪的总面积S．（结果化到最简） 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个一模一样的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，求图（2）中平移距离A′A． 11．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以CD为斜边的等腰直角三角形CDM，连接BM，并直接写出BM的长． 12．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移am就是它的右边线．则这块草地的面积为______m2； （2）方案二：修建一个长是宽的倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 13．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 14．（23-24七年级下·四川内江·期末）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（1，0）． （1）求△ABC的面积；（提示：三角形ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积） （2）在x轴上找一点P，使△PAC的面积等于△ABC面积的2倍； （3）将线段AB沿水平方向以每秒1个单位的速度平移至MN（A对应M、B对应N），几秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等？ 15．（23-24七年级下·山西长治·期中）如图，三角形ABO中，A（-2，-3）、B（2，-1），三角形是三角形ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点的坐标为（4，3） (1)作出三角形ABO平移之后的图形三角形，并写出两点的坐标分别为 ； ； (2)P（x，y）为三角形ABO中任意一点，则平移后对应点的坐标为 ； (3)连接、，求△的面积． 16．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）若在方格(每小格正方形边长为上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位)，则把有序数对，叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”，可平移至点． （1）从点按“平移量”　　　　，　　　　可平移到点； （2）若点依次按“平移量”，、，平移至点， ①请在图中标出点；(用黑色水笔在答题卡上作出点 ②如果每平移需要2.5秒，那么按此方法从点移动至点需要多少秒？ ③观察点的位置，其实点也可按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”，、，、，平移至点，则相当于点按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求长度】 17．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 18．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，已知是锐角三角形． (1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 19．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 20．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）如图，°，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是__________cm． 21．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°． (1)利用圆规和直尺，在∠A的内部找一个点P，使点P到AB，AC的距离相等，且PB=PC；(不写作法，保留作图痕迹) (2)若BC的垂直平分线交BC于点E，∠C=30° ，CE=5，求AB的长． 22．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并证明；若不存在，说明理由． 23．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的坐标系网格，，，仅用无刻度直尺在合网格中画图． (1)在图中，画出线段关于轴的对称线段．并写出和坐标________． (2)在图中，点是线段上一点，画出点关于轴的对称点． (3)在图中，点为格点，在内画一点，使． (4)在图中，在轴上画一条长应为个单位长度的线段（点在点上方），使的值最小． 24．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）北师版初中数学教科书七年级下册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法：已知：如图，钝角． 求作：的角平分线． 作法：①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E； ②分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C； ③作射线OC． 所以射线OC就是所求作的角平分线． （1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹） （2）在该作图中蕴含着几何的证明过程： 由①可得：； 由②可得：______； 由③可知：； ∴____________（依据_____）． ∴可得（全等三角形对应角相等） 即OC就是所求作的的角平分线． （3）如图2，点O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜．若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求周长】 25．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长． 26．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 27．（24-25七年级下·山西长治·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 28．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 29．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 30．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 31．（湖南省郴州市2024-2025学年七年级下学期11月期中数学试题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 32．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出的对称点的坐标； (2)若与点关于某一条直线成轴对称，请你在图中用尺规作图作出这条对称轴（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在轴上确定一点，使的周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【经典例题五 根据垂直平分线的性质求角度】 33．（24-25七年级下·吉林四平·阶段练习）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)求证：点在边的垂直平分线上； (2)若，则的大小为 度． 34．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点，使，并连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当为_______度时，平分； （3）当时，的周长=__________． 35．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 36．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知：线段AB． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． ①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围是 ； ②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD． 37．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点． (1)若，则的周长是多少？为什么？ (2)若，求的度数． 38．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕B点逆时针旋转得到，使得点恰好落在上，延长交于点D．    (1)求的度数； (2)若是的中点，求的度数． 39．（24-25七年级下·山东滨州·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若，则的度数为______； (2)若，则的度数为______；（用含的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 40．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【经典例题六 利用垂直平分线的性质求最值】 41．（2024七年级下·黑龙江·专题练习）如图，在四边形中，，，，． (1)作图：在上找一点，使的值最小； (2)求的最小值． 42．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在∠AOB的内部有一个定点P． （1）试在OA、OB上确定C、D两点，使△PCD的周长最短；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若OP＝1，∠AOB＝30°，求△PCD的周长最小值． 43．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 44．（23-24七年级下·北京西城·期末）尺规作图及探究： 已知：线段AB=a． （1）完成尺规作图： 点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数； （2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为，点Q的位置记为，连接，并直接回答∠的度数． 45．（2024·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 46．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在中，．    (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下， ①若，求的度数； ②若的面积是12，，点M、N分别是上的动点，求的最小值． 47．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6． （1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图） ①作线段AB的垂直平分线MN； ②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等． （2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于 ． 48．（24-25七年级下·广西来宾·期中）如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 49．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． (1)写出点A，B的对应点； (2)求的度数． 50．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． (1)如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； (2)如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标是______． 51．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 52．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 53．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 54．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在直角中，． (1)在图中，用直尺和圆规作出的角平分线，交边于点； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在（）的条件下，已知等腰直角三角形，，点在线段上，且不与点重合，点在上，固定不动，绕点顺时针旋转，如图，当时，求旋转角的度数； (3)如图，等腰直角三角形的起始位置如图所示，，点在上，点在延长线上时，若固定不动，绕点顺时针转动，旋转角的度数小于，则当的三边依次与平行时，旋转角的度数为______． 55．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，求此时三角板绕点的运动时间的值． 56．（24-25七年级下·江苏南京·期中）图形变换可以帮助我们认识图形． (1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与重合，可知：___________，___________； (2)如图③，将沿边的垂直平分线翻折得到，点对应点，点对应点，再将绕点逆时针旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图④，中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折得到．直接写出当的某一边与平行时的大小．（只写出为锐角时的大小即可，结果用含用的代数式表示） 【经典例题八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 57．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 58．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 59．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 60．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 61．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)以A点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)作出关于坐标原点成中心对称的； (3)线段与的位置关系是_______． 62．（16-17七年级下·江苏无锡·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 63．（24-25七年级下·江西宜春·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 【经典例题九 全等三角形动点压轴题型】 65．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 66．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 67．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    68．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 69．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 70．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 71．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 72．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$