精品解析：安徽省宿州市萧县2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

萧县2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，只有一个是符合题目要求的． 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志（不包括文字部分）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 人行横道 B. 禁止车辆长时停放 C. 向左和向右转弯 D. 环岛行驶 2. 小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从A点运动到了点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 5. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为（ ） A B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法，正确是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是真命题 C. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 D. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 8. 如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 10. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 12. 如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是______． 13. 函数与的图象如图所示，当，时，的取值范围是________． 14. 如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组，请结合题填空，完成本题解答： （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图： （4）原不等式组的解集为____________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一个三角板三个顶点分别是，，． （1）操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． （1）填空：不等式的解集是________． （2）若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求值． 18. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元，根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下： 小强：x+ ＜9.5 小刚：0.5x+ ＜9.5． （1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数x表示的意义； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：x+ ＜9.5，小刚：0.5x+ ＜9.5； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程） 20. 如图，在和中，，，，延长，交于点． （1）求证：点在的平分线上； （2）若，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【背景】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递．开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是_____，接到开水的体积是_____；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； 七、（本题满分12分） 22. 近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，城乡居民的健康水平持续提升，体育运动日益成为满足人民美好生活需要的重要组成部分，对各类运动健身器材的需求也十分旺盛新年刚过，某文具店计划购进一批羽毛球拍，已知进价、售价等信息如表所示． 价格 类型 进价（元套） 售价（元套） 款：李宁 款：中国匹克 （1）第一次用元购进了、两款羽毛球拍共套，求、两款各购进多少套？ （2）如果第二次购进羽毛球拍共套，且购进款的数量不超过款数量的三分之一，那么文具店如何进货才能获利最大化？最大利润是多少？ 八、（本题满分14分） 23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 萧县2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，只有一个是符合题目要求的． 1. 交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志（不包括文字部分）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 人行横道 B. 禁止车辆长时停放 C. 向左和向右转弯 D. 环岛行驶 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握轴对称图形、中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A、D不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意． 故选：B． 2. 小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 3. 如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从A点运动到了点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】∵秋千旋转了，小刚的位置从A点运动到了点， ∴，， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【解析】 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD. 【详解】解： 需要添加条件为：BC= BD或AC= AD,理由为: 若添加的条件为：BC= BD 在Rt△ABC与Rt△ABD中,   ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL) ; 若添加的条件为：AC=AD 在Rt△ABC与Rt△ABD中, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD( HL). 故选：A. 【点睛】本题考查了利用HL公理判定直角三角形全等，熟练运用HL公理是解题的关键 5. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的相关知识． 由限高图片的含义可知，车高不能超过，同时车高不能是负数和0，由此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵x表示的是车高， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度．直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点对应点为， 线段是由线段先向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到， 而点的对应点为， 点的坐标为． 故选：C 7. 下列说法，正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是真命题 C. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 D. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法、命题的真假判断、逆命题的概念，根据等腰三角形的性质，对顶角相等、角平分线的性质，反证法的应用等知识，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、没说哪条边的高线中线，必须是底边的，描述不清，故本选项说法错误，不符合题意； B、它的逆命题为相等的角是对顶角，是假命题，故本选项说法错误，不符合题意； C、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法正确，符合题意； D、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意； 故选： C． 8. 如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 9. 如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，掌握“平移前后对应线段相等”是正确解答的关键． 根据平移的性质可得，，由，得到即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断出三角形为等边三角形，从而求得腰长． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为60°， ∴三角形为等边三角形， ∴腰长＝底边长＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟知有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 12. 如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知左边的物体质量比右边的物体质量大，从而可得答案. 【详解】由图可知，. 故答案为. 【点睛】本题考查了列不等式，仔细观察图形得出左边物体的质量比右边物体的质量大是解答本题的关键. 13. 函数与的图象如图所示，当，时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质和图象，一次函数的性质与图象，根据图象分别求出当，时x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：对，当时，， 有图象知：当时，， 当时，， ∴x的取值范围为：． 故答案为：． 14. 如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，线段垂直平分线的性质，得到，证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∵垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组，请结合题填空，完成本题的解答： （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）在同一条数轴上表示不符式①和②的解集，如图： （4）原不等式组的解集为____________________． 【答案】（1） （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解不等式②，得； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 原不等式组的解集为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． （1）操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 【答案】（1）图见解析；图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 【小问2详解】 解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． （1）填空：不等式的解集是________． （2）若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案； ②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； ②∵一次函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 18. 如图：已知在中，，D为边中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【小问1详解】 证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元，根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下： 小强：x+ ＜9.5 小刚：0.5x+ ＜9.5． （1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数x表示的意义； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：x+ ＜9.5，小刚：0.5x+ ＜9.5； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程） 【答案】（1）小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数；（2）：0.5（15﹣x），（15﹣x）；（3）可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚 【解析】 【分析】（1）根据这些硬币的总币值小于9.5元，结合两人所列不等式可得； （2）由（1）可得答案； （3）解不等式得出x的范围，从而得出答案． 【详解】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下： 小强：x+0.5（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+（15﹣x）＜9.5 小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数； （2）由（1）知小强：x+0.5（15﹣x）＜9.5 小刚：0.5x+（15﹣x）＜9.5 故答案为：0.5（15﹣x），（15﹣x）； （3）设有5角的硬币x枚， 根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9.5 解得：x＞11， ∵x是自然数，x＜15， ∴x可取12，13、14， 答：可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键． 20. 如图，在和中，，，，延长，交于点． （1）求证：点在的平分线上； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，角平分线的判定，勾股定理； （1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可解决问题； （2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在和中， ∵，，， ， ， ，， 平分， 点在的平分线上； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 设， ， 在中，， ， ． ． 六、（本题满分12分） 21. 如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【背景】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递．开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是_____，接到开水的体积是_____；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； 【答案】（1）， （2）至少应接温水秒 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． （1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可． （2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可． （3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵温水水流速度是， ∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是， ∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为， 故答案为，； 【小问2详解】 解：由上可得温水的体积是，开水的体积为， 当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时， 可得， 解得， ∴则至少应接温水秒； 【小问3详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴， 解得：. 七、（本题满分12分） 22. 近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，城乡居民的健康水平持续提升，体育运动日益成为满足人民美好生活需要的重要组成部分，对各类运动健身器材的需求也十分旺盛新年刚过，某文具店计划购进一批羽毛球拍，已知进价、售价等信息如表所示． 价格 类型 进价（元套） 售价（元套） 款：李宁 款：中国匹克 （1）第一次用元购进了、两款羽毛球拍共套，求、两款各购进多少套？ （2）如果第二次购进羽毛球拍共套，且购进款的数量不超过款数量的三分之一，那么文具店如何进货才能获利最大化？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进款40套，款60套 （2）购进款25套，款75套，利润最大化，最大利润为2125元 【解析】 【分析】（1）设购进款套，款套，由题意得，，解得，，则（套），然后作答即可； （2）设购进款套，款套，利润为元，由题意得，，，解得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购进款套，款套， 由题意得，， 解得，， ∴（套）， ∴购进款40套，两款60套； 【小问2详解】 解：设购进款套，款套，利润为元， 由题意得，， ，解得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大，元， ∴（套）， ∴购进款25套，款75套，利润最大化，最大利润为2125元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式． 八、（本题满分14分） 23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$