精品解析：浙江省绍兴市嵊州市马寅初中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

2024学年第二学期马寅初中学第一次阶段性测试 高二年级数学试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 详解】. 故选：B. 2. “笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法原理即可得到答案. 【详解】每个班都有3种选择，利用分步乘法计数原理， 共有种不同选法. 故选：A 3. 的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项判断即可. 【详解】二项式展开式第项的二项式系数为. 故选：C. 4. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系. 【详解】 设，由图可得， 而， 故， 故选：C. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由，先求出的通项，令和即可得出答案. 【详解】因为， 因为的通项为：， 令可得，令可得， 所以展开式中的系数为：. 故选：A. 6. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式计算可得. 【详解】因为，即， 又，， 所以，故A错误； 又，故B正确； ，故D错误； ，故C错误. 故选：B 8. 已知，，，则（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】因为， ， 考虑构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 所以， 所以，即， 又， 所以，故， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由导数四则运算法则以及复合函数的导数即可验算. 【详解】由题意，， ，. 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断ABD；由，利用二项式的展开式的通项公式求解可判断C. 【详解】对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，， 所以，故B正确； 对于C：， 二项式的展开式的通项公式为， 所以，故C错误； 对于D：令，可得， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于A选项，， 当或时，，所以在，上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，， 在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，令，则，有两个不同的零点，等价于函数与直线有两个交点， 由A选项分析，函数的大致图象如下， 由图知，当或时， 函数与直线有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，故C错误； 对于D选项，直线过原点，且，， 记，， 易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线在的图象下方对应的值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确． 故选：AD． 【点睛】思路点睛：A选项，将不等式恒成立问题，转化为最值问题，然后利用导数求出函数最值即可；B选项，将零点个数问题转化为图象交点个数问题，再利用导数画出函数的草图，数形结合分析即可；C选项，内嵌函数零点问题，先令，则可以求，求出满足题意的t,再利用，求出对应x的值即可；D选项, 设，数形结合进行分析，利用恰有1个负整数解的要求，发现直线的斜率会介于和之间，从而得解，所以，该题总的思路就是数形结合思想的灵活应用. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值. 【详解】因为，则且，则，即，解得. 故答案为：. 13. 在的展开式中，的系数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将视作为，再利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 故答案为：. 14. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有__________种（结果用数字作答）． 【答案】336 【解析】 【分析】由排列组合以及分步乘法计数原理求解． 【详解】1从第一排开始排，满足题意有如下情况． 如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有种， 如右图，此时2所在位置3种，其他全排即可，有种， 如右图，此时2所在位置２种，其他全排即可，有种， 同理，由图形对称性知道，1从第二排开始排，与前面第一排情况数一样. 种. 故答案为：336. 四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可. （2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极大值6. 所以，得 此时， 令可得：；令可得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增 所以处取得极大值，符合题意， 所以. 又，所以 【小问2详解】 ，所以 列表如下： 0 1 2 3 + 0 0 + 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时， 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大的项是第几项. 【答案】（1） （2）； （3）第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. 小问2详解】 ， 当为整数时为有理项， 即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答） （1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； （2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数； （3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数. 【答案】（1）540 （2）672 （3）505 【解析】 【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可； （2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可； （3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可. 【小问1详解】 方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况： 有一名组长和两名组长，故共有种． 方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种． 【小问2详解】 至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员， 故共有种 【小问3详解】 既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况： 第一类：女组长当选，有种， 第二类：女组长不当选，男组长当选，有种， 共有种. 18. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【小问1详解】 当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 由知，，且， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 19. 设函数，，为函数的导函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的范围； （3）设，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求导，分和讨论导数的正负判断得解； （2）根据（1）的结论，对于恒成立问题，结合函数的单调性找到最值，计算即可； （3）通过换元和参变分离，借助导数求最值，来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对，可得. 令，则. 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， 所以时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立； 当时，由，当时，，不合题意； 综上，. 【小问3详解】 因为，恒成立， 即恒成立. 移项可得恒成立. 即， 由在上单调递增， 所以恒成立，也就是恒成立. 令，对其求导得. 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期马寅初中学第一次阶段性测试 高二年级数学试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. “笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种 A. B. C. D. 3. 的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ） A B. C. D. 4. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 6. 已知函数在内有最小值，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 8 已知，，，则（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 在的展开式中，的系数为_____________． 14. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有__________种（结果用数字作答）． 四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大项是第几项. 17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答） （1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； （2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数； （3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数. 18. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 19. 设函数，，为函数的导函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的范围； （3）设，若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $