精品解析：安徽省芜湖市无为市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期中学情调研 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A B. C. D. 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A. 14 B. 17 C. 20 D. 24 8. 在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，在中，于点于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和5，则斜边长为___________． 12. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______． 13. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为___________． 14. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______． 三、（本大题共2小题，母小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画和． （1）请你在方格纸中找到点，补全； （2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由． 18. 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． 【发现】请直接写出第5个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 20. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． （1）求证：． （2）已知，．求的长． 六、（本题满分12分） 21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点是线段勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级期中学情调研 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类二次根式，化简二次根式，把对应选项中的二次根式化为最简二次根式，被开方数是的二次根式才能与合并，据此求解即可． 【详解】解：A、与不能合并，不符合题意； B、与不能合并，不符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、与能合并，符合题意； 故选：D． 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．利用二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：A中，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 5. 在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 7. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A. 14 B. 17 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意可得，解得， ∴， ∴正方形周长为， 故选：C． 8. 在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可． 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 9. 如图，在中，于点于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，据此根据三角形周长公式推出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先根据折叠得到点在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 【详解】解：连接， 由折叠得， ∴点共线，即点在上， ∴当时，这时最小， ∵是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质，合理做出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和5，则斜边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，斜边长为， 故答案为：． 12. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是 故答案为： 13. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，进行计算得出答案即可． 【详解】解：∵的三边长，，分别为，2，， ∴该三角形的面积 ． 故答案为：． 14. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明．可得，过点作于点，利用含30度角的直角三角形可得，，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ． ． 故答案为：2，． 三、（本大题共2小题，母小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据完全平方公式，平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，小明在方格纸中选择格点作顶点画和． （1）请你在方格纸中找到点，补全； （2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，则四边形即为所求； （2）利用勾股定理求出，，进而求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由平行四边形的性质可得，由此可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由勾股定理得，，， ∴，， ∴是直角三角形，即， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 18. 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． 【发现】请直接写出第5个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 【答案】【发现】：；【猜想】：；【论证】：见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化-规律型，观察数字的变化，找出变化规律是解题的关键． 观察题目中的4个等式，得到第5个等式为； 观察题目中的4个等式，得到第（为正整数）个等式为； 因为等式左边等式右边，可得到猜想成立． 【详解】解：【发现】第5个等式是； 【猜想】； 【论证】证明：等式左边 等式右边， 猜想成立． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 20. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． （1）求证：． （2）已知，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题； （2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，． 由题意知，，， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】（1）点、是线段的勾股分割点；理由见解析 （2）或10． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解． （1）由，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：点、是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； 【小问2详解】 解：设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或10． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是的中位线，得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由是的中位线，得，，，由勾股定理求出，故，，由四边形为平行四边形得，，再由勾股定理求出，即，最后由的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：， 是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ， 点在的延长线上， ， 又， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：， ，且， ， 于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 的周长为：． 八、（本题满分14分） 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）作于P，于Q，证明，即可； （2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果； （3）分与夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， 作于P，于Q， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2中，在中，， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴点F与C重合，矩形为正方形， ∴． 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$