精品解析：广西南宁市第三中学青秀校区2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024～2025学年度春季学期期中义务教育质量监测 八年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是( ) A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3， 4， 6 B. 5， 12， 13 C. 8， 40， 41 D. 1，1，2 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向上平移2个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 9. 已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 10. 关于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于点 C. 当时， D. 函数值y随自变量x的增大而减小 11. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 化简：______． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是________．（结果用不等式表示） 15. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 16. 如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，为的外角． （1）尺规作图：作的平分线，并在上截取（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形为平行四边形． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 20. 探空气球是人类研究平流层的重要工具，主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度处出发，同时，2号气球从海拔高度处出发，图中，分别表示两个气球所在的海拔高度与上升时间的关系． （1）分别求，对应的函数表达式； （2）当两气球之间的海拔高度相差时，求气球上升的时间． 21. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 （2）已知，，求的值； （3）计算：的值． 22. 综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点的横坐标为． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； （2）【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度春季学期期中义务教育质量监测 八年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，涉及二次根式性质，利用二次根式性质逐项化简即可得到答案，熟记二次根式性质及最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意； B、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意； C、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如的函数是正比例函数判断即可． 【详解】A. 不是正比例函数，不符合题意； B. 是正比例函数，符合题意； C. 不是正比例函数，不符合题意； D. 不是正比例函数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了正比例函数，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3， 4， 6 B. 5， 12， 13 C. 8， 40， 41 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理逆定理，逐一计算判定即可． 【详解】解：A、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、 ， 能构成直角三角形，此选项符合题意； C、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】解：A选项：和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； B选项：，故本选项的计算错误； C选项：，故本选项的计算正确； D选项：，故本选项的计算错误． 故选：C． 5. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，判断解答即可． 本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系， 故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系， 故C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故D不符合题意； 故选：C． 6. 将直线向上平移2个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位得到的直线是； 故选D． 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 8. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．根据直角三角形斜边上的直线的性质得出的长，再根据三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：在中，，是边上中线，， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故选：D． 9. 已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 10. 关于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 图象与x轴交于点 C. 当时， D. 函数值y随自变量x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 11. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：C． 12. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，作点关于的对称点，连接， 当、、三点共线时，取最小值，此时，由勾股定理即可求解；掌握“将军饮马”典型题型的解法，找到取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 作点关于的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值， 此时， ， 的最小值为； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是________．（结果用不等式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察图象得到，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方，即可得出答案． 【详解】如图所示，当时，一次函数的图象不在一次函数的图象的上方， 关于x的一元一次不等式的解集是 故答案为：． 15. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 16. 如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），7 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算－化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用零指数幂，绝对值，以及二次根式运算法则计算即可求出值； （2）原式利用单项式乘以多项式法则及平方差公式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式， 当时，原式． 18. 如图，在中，，为的外角． （1）尺规作图：作的平分线，并在上截取（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 证明：， ， 平分， ， ， 即， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线，然后截取即可； （2）证明，由于，则根据平行四边形的判定方法可得到结论． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 20. 探空气球是人类研究平流层的重要工具，主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度处出发，同时，2号气球从海拔高度处出发，图中，分别表示两个气球所在的海拔高度与上升时间的关系． （1）分别求，对应的函数表达式； （2）当两气球之间的海拔高度相差时，求气球上升的时间． 【答案】（1），； （2）气球上升的时间为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）令两个函数值差的绝对值为5，列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设对应的函数表达式为，由图象得，， 将时，代入中，得， 解得． 所以，对应的函数表达式为． 设对应的函数表达式为，由图象得，， 将时，代入中，得， 解得， 所以，对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当2号气球在1号气球上方时，由题意，得． 解得． 当1号气球在2号气球上方时，由题意，得． 解得． 所以，上升时间为或． 21. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数 （2）已知，，求的值； （3）计算：的值． 【答案】（1）C （2） （3）2024 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化方法是解题的关键． （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简，求出的值，将所求式子分解因式后代入计算即可； （3）先将括号内每个加数分母有理化，再相加化简，最后计算乘法即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数， 故选：C； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ． 【小问3详解】 解： ． 22. 综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点的横坐标为． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）的面积S与x之间的函数关系式为 （3） ①．理由如下： 当的面积时， ， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，； 【小问2详解】 ∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作轴， ∴F点坐标为， ∴的面积：， ∴的面积S与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①略 ②存在，点P的坐标为或． 过点F作轴交x轴于点E，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点； 情况二：∵是等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； （2）【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长即可． 【小问1详解】 解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $