精品解析：重庆市实验中学教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

K12重庆市2024-2025学年度下期期中质量诊断 七年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读各题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 传送带上物品的传输 B. 电梯上下移动 C. 拉动抽屉 D. 时钟的分针不停地走动 4. 如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 5. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 6. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 三角形中最大的角一定大于或等于 C. 如果，，那么 D. 对顶角相等 8. 如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行第十三个数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 10. 对任意实数，可用表示不超过最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算：______． 12. 如图，直线、交于点，是的平分线，已知，则的度数为______． 13. 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 14. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长为______． 15. 如果是方程的一组解，那么代数式______． 16. 如果一个四位自然数前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，且各个数位上的数字均不为0，则称为“如意数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“如意数”．则．若“如意数”．则______；已知四位自然数是“如意数”，（，，，且、、、均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是______． 三、解答题：（本大题共8个小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程及方程组： （1） （2） 19. 如图，点、、分别是线段、、上的点，连接、． （1）尺规作图：在射线上作．并连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求证：． 证明：， ① ． 又， ， ． （ ② ）． 又， ③ ． 20. 已知的立方根是3，的平方根是，的小数部分为． （1）分别求出，，的值； （2）求的平方根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后三角形，并写出平移后各顶点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）点为轴上一动点，当三角形的面积是6时，直接写出点的坐标． 22. 如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 新定义：我们规定：表示的整数部分，例如：，． （1）若，则所有满足条件的整数有______；______． （2）求的值． 24. 经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1．，，，则______； （2）如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． （3）如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ K12重庆市2024-2025学年度下期期中质量诊断 七年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读各题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、开方开不尽，是无理数，符合题意； B、是分数，为有理数，不符合题意； C、0是整数，为有理数，不符合题意； D、，是整数，为有理数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B、是二元一次方程组，故符合题意； C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 传送带上物品的传输 B. 电梯上下移动 C. 拉动抽屉 D. 时钟的分针不停地走动 【答案】D 【解析】 【分析】要根据平移的性质，判断是否是平移现象，平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是一模一样的）．本题考查了图形的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、传送带上物品的传输，是平移，不符合题意； B、电梯的上下移动是平移，不符合题意； C、拉动抽屉是平移，不符合题意； D、时钟的分针不停地走动，不是平移，符合题意； 故选：D 4. 如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在点与、、、四点的连线中，线段最短，依据是“垂线段最短”． 故选：D． 5. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 6. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：∵点y轴上， ， 解得：， ， ∴点P的坐标为． 故选：C． 7. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 三角形中最大的角一定大于或等于 C. 如果，，那么 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形的内角和定理，平行公理，对顶角相等，逐项判断即可求解．本题主要考查了判断命题的真假，平行线的性质，三角形的内角和定理，平行公理，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，故本选项符合题意； B、，则三角形中最大角一定大于或等于，故原命题是真命题，故本选项不符合题意； C、如果，，那么，故原命题是真命题，故本选项不符合题意； D、对顶角相等，故原命题是真命题，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行第十三个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，数字类规律探究，正确理解题意，找出规律是解题的关键．观察数阵可得，数阵是由组成，第行有个数，第行最后一个数为，那么第八行最后一个数，即第十六个数为，即可求解第八行第十三个数． 【详解】解：依题意，数阵是由组成，第行有个数，第行最后一个数为， ∴第八行最后一个数，即第十六个数为， 那么第八行第十三个数是， 故选：D． 9. 如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断B选项；由可判断A选项；根据角平分线的定义，结合题意可判断C和D选项，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故B符合题意； ， ，故A不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故C不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故D不符合题意； 故选：B． 10. 对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义；先对138进行一次操作后的结果是，同理得对138进行两次操作后的结果是3；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，因为，故．即，得．结合是正整数．得的最大值为255．即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故①符合题意； ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴对138进行两次操作后的结果是3； 故②符合题意； 设正整数n， 则， 即， ∴， 则， 故对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1； ③不符合题意； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m， ∵正整数进行3次操作后变为1， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵要经过3次操作，故． ∴． ∵是正整数． ∴的最大值为255． 故④不正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根的性质是解题的关键． 分别求解绝对值和立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，直线、交于点，是的平分线，已知，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角互补求角度，以及角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．先根据对顶角相等得到，再根据邻补角互补求出，然后结合角平分线的定义以及即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案：． 13. 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大． 首先确定与1的大小，进行比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：>． 14. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如果是方程的一组解，那么代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的一组解，得到，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴． ∴ ． 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数的前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，且各个数位上的数字均不为0，则称为“如意数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“如意数”．则．若“如意数”．则______；已知四位自然数是“如意数”，（，，，且、、、均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是______． 【答案】 ①. 12 ②. 4117 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到各个数位上的数字，表示出和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的m的最大值． 【详解】解：由“如意数”得， ∴； ∵四位自然数是“如意数”， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴ 是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小， 则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数m的最大值是4117， 故答案为：12，4117． 三、解答题：（本大题共8个小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根、立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简立方根、算术平方根、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先分别运算乘法，以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程及方程组： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，解二元一次方程组，熟练掌握知识点以及解方程组的步骤是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：或； 【小问2详解】 解： 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19. 如图，点、、分别是线段、、上的点，连接、． （1）尺规作图：在射线上作．并连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求证：． 证明：， ① ． 又， ， ． （ ② ）． 又， ③ ． 【答案】（1）见详解 （2）；两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于，连接，即可得到答案； （2）根据平行线的性质和等量代换得到，再根据平行线的判定即可推出． 本题主要考查了尺规作图，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意画出图如图所示： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；． 20. 已知立方根是3，的平方根是，的小数部分为． （1）分别求出，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，无理数的估算问题，正确求出是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的性质可得，，即可求解，再根据无理数的估算方法求出即可； （2）把代入，进行求值，再利用平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：∵立方根是3， ∴， 解得：， ∵的平方根是， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的小数部分为； 【小问2详解】 解：由（1）将代入得， ∴其平方根即为16的平方根为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形，并写出平移后各顶点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）点为轴上一动点，当三角形的面积是6时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见详解， （2）5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，平移作图，点的坐标，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形中任意一点，平移后对应点为，得出平移规律，则分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）先设点的坐标为，结合面积公式列式，再解出的值，即可作答． 【小问1详解】 解：三角形，如图所示： 则； 【小问2详解】 解：三角形的面积． 【小问3详解】 解：∵点为轴上一动点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴ ∵三角形的面积是6， ∴ 解得或． ∴或． 22. 如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【小问1详解】 证明：， ， ∴； 【小问2详解】 解：， 平分，平分 ， ， ， ． 23. 新定义：我们规定：表示的整数部分，例如：，． （1）若，则所有满足条件的的整数有______；______． （2）求的值． 【答案】（1）；203 （2） 【解析】 【分析】（1）根据无理数的估算，求出连续整数之间的无理数的整数部分，进而即可求解 （2）按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 本题考查了数字规律，估算无理数的大小，解题的关键是熟练的掌握估算无理数的大小． 【小问1详解】 解：∵，，且为整数， ∴或或； ∵；；， ． 故答案为：；203； 【小问2详解】 解：由（1）得； ∵即时，， 此时，5，6，7，8， ∴； ∵即时，， 此时，10，11，12，13，14，15， ∴； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴， ∴ ． 24. 经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1．，，，则______； （2）如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． （3）如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【答案】（1） （2），见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理可得，，则，即可作答． （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； 【小问1详解】 解：如图1，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$