精品解析：河南省新乡市红旗区新乡市第十中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

新乡十中2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷 同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，请认真审题，看清要求，仔细答题，相信你能行！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数是勾股数的是(　　) A. 6，7，8 B. 1，，2 C 5，4，3 D. 0.3，0.4，0.5 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　 A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 7. 下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A. （1）（2） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （3）（4） 8. 在菱形中，，，则（ ）． A B. C. D. 9. 如图，在中，，，M为上的一动点，于E，于F，N为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①，②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③④⑤ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 12. 要使代数式有意义，取值范围是_____________． 13. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 15. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______； 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 18. 如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四边形的四个点都在格点上． （1）四边形的周长为 ，面积为 ． （2）求证：是直角． 19. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 20. 如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O． （1）AF与DE有怎样关系？为什么？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DFEA是菱形？为什么？ 21. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°． (1)求证：△AOB是等边三角形； (2)求∠BOE的度数． 22. 我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”． 如图，已知菱形ABCD的边长为5，设菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为，即“接近度”． （1）当菱形的“接近度”＝______时，菱形就是正方形； （2）在菱形ABCD中，，求此菱形的“接近度”； （3）若菱形ABCD的“接近度”是2，求此时菱形ABCD面积． 23. 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现： （1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论． （3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，，创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形.请你证明这个结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡十中2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷 同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，请认真审题，看清要求，仔细答题，相信你能行！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解；A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列各组数是勾股数的是(　　) A. 6，7，8 B. 1，，2 C. 5，4，3 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解析】 【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证即可． 【详解】解：、，故此选项错误； 、不是整数，故此选项错误； 、，故此选项正确； 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误． 故选． 【点睛】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断． 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 6. 如图，对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　 A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴OE=BC， ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型． 7. 下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A. （1）（2） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （3）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题； 对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题； 故选：B． 【点睛】此题考查真命题定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 8. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在中，，，M为上的一动点，于E，于F，N为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．过点A作于点，根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形是矩形，故可得出，当最小时，最短，此时M与重合，据此可得出结论． 【详解】解：过点A作于点， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∴当最小时，最短，此时点M与重合， ． 故选：B． 10. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①，②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得； ②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形； ④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明； ⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：如图，连， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，，， ①∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，故②符合题意； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故③不符合题意； ④∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时， 即时，的最小值等于，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有：①②④⑤， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 12. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件， 解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 观察代数式含有二次根式，因此被开方数应大于等于；同时，代数式又含有分式，因此分母不能等于；据此建立不等式组，求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， 由得：， 对于，移项，得：， 该一元一次不等式组解集为：且， 故答案为：且． 13. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案． 【详解】解： ， 如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键． 15. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______； 【答案】 【解析】 【分析】证明得，进而得到，则由直角三角形斜边中线的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，根据垂直平分线的性质得，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，利用勾股定理得，代入数据计算则可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，确定的最小值为是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先计算乘法和除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，去掉分母，利用完全平方公式计算，最后合并内类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 18. 如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四边形的四个点都在格点上． （1）四边形的周长为 ，面积为 ． （2）求证：是直角． 【答案】（1） ，10.5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识． （1）根据勾股定理即可求出，，，，即可求出四边形的周长为；利用割补法即可求出四边形的面积为； （2）连接，根据勾股定理求出，即可得到，根据勾股定理逆定理即可证明是直角． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得，，，， ∴四边形的周长为； 如图，四边形的面积为． 故答案为： ，10.5； 【小问2详解】 解：如图，连接， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴是直角． 19. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 20. 如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O． （1）AF与DE有怎样的关系？为什么？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DFEA是菱形？为什么？ 【答案】(1) 互相平分 (2) （2）当△ABC是等腰三角形 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形中位线定理得到EF=AD，DF=AE，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到ADFE是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分即可得到结论； （2）当△ABC是等腰三角形时，证明AD=AE，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论． 试题解析：解：（1）AF与DE互相平分．理由如下： 由EF是△ABC的中位线，得EF=AB．又AD=AB，所以EF=AD．同样可得DF=AE．所以四边形ADFE是平行四边形，AF与DE互相平分． （2）当△ABC是等腰三角形时，四边形ADFE是菱形．理由如下： ∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC．∵DE是△ABC的中位线，∴AD=AE，∴平行四边形ABCD是菱形． 21. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°． (1)求证：△AOB是等边三角形； (2)求∠BOE的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)∠BOE＝75°. 【解析】 【分析】(1)由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，∠CAE＝15°，即可证明△AOB是等边三角形; (2)由等边三角形的性质，推出AB＝OB，求出∠OBC的度数，根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到OB＝BE，然后可求出∠BOE． 【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形． (2)∵△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°， ∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BAE＝∠BEA＝45° ∵AB＝OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO＝(180°﹣30°)＝75°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点． 22. 我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”． 如图，已知菱形ABCD的边长为5，设菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为，即“接近度”． （1）当菱形的“接近度”＝______时，菱形就是正方形； （2）在菱形ABCD中，，求此菱形的“接近度”； （3）若菱形ABCD的“接近度”是2，求此时菱形ABCD面积． 【答案】（1）1 （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形ABCD的对角线BD，AC的长相等，进而得出答案； （2）利用菱形性质可得△ABC是等边三角形，进而可以解决问题； （3）根据当菱形的“接近度”等于2，菱形ABCD的边长为5，可得菱形对角线长，进而得出答案． 【小问1详解】 解：当菱形的“接近度”=1时， 菱形的对角线相等，此时菱形就是正方形； 故答案为：1； 【小问2详解】 如图， 在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴该菱形形ABCD的“接近度”等于； 【小问3详解】 如图， ∵菱形ABCD的“接近度”是2， ∴ 即 ∵菱形ABCD的边长为5， ∴ 解得： ∴ ∴菱形ABCD面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及新定义，等边三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理的应用，二次根式的化简，理解“接近度”定义是解题关键． 23. 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现： （1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论． （3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，，创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形.请你证明这个结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）结合平移可得：，，可得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形的性质，求出，证明，可得四边形是菱形； （3）如（2）图， 证明为等边三角形，可得，，证明，如（3）图，由，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：由（1）图可得：四边形是矩形； ∴，， 由（2）图结合平移可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∵，点E与的中点重合， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 证明：如（2）图，∵， ∴为等边三角形， ∴，而， ∴， ∵， ∴， 如（3）图，∵， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，而， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，理解题意数形结合的方法的应用都是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $