精品解析：2025年4月吉林省伊通满族自治县满族初级中学校教育集团九年级第二次模拟测试数学试卷

九年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答. 【详解】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱． 故选C． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 系数化为1得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及在数轴上表示，熟练掌握解集在数轴上的表示方法是解题关键． 4. 某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意进行分段计算． 根据题意，把8分成5千克和3千克两部分进行计算，再相加便是答案． 【详解】解：元， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理， 首先求出，然后利用等边对等角，三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴，   故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15 分） 7. 科技融入生活，绿色引领未来．今年2月我国新能源汽车的销售量约为辆，数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，解不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 9. 如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为________度． 【答案】54 【解析】 【分析】先根据正六方形和正八边形的内角和其每个角度数，再根据及三角形内角和定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵多边形是正八方形， ∴ ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， .故答案为：54． 10. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，平分， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，扇形的面积．过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答． 【详解】过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，19 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握运算法则． 先由完全平方公式和平方差公式进行化简，再进行整式的加减计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图： 共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果有5种， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 14. 某班级师生为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．求购买1件甲种奖品需要的钱数． 【答案】购买1件甲种奖品需35元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，利用数量=总价÷单价，结合用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值． 【详解】解：设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：购买1件甲种奖品需35元． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 如图，为所作： （3） 如图，点F为所作： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识； （1）连接格点P、Q与交于点，连接即为所求作的中线； （2）取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E，则为所作； （3）取格点S、T，连接交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 解：如图，连接格点P、Q与交于点， 由于四边形是矩形，则点D为的中点， ∴为边上的中线； 【小问2详解】 解：； 如图，取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴平分， ∴平分， 即为所作； 【小问3详解】 解：如图，取格点S、T，连接交于点F， ∵， ∴， ∴， 即， 故点F满足题意． 16. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】（1）； （2）提前8天完成此项工程． 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【小问1详解】 解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． 【小问2详解】 解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 17. 如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ， 设， 则，，． 在中， ，即， 解得， ， 此时无人机的高度为． 18. 某学校组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动，七年级某班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 （1）这里采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2）填空： ， ，并把频数分布直方图补充完整； （3）若将抽取的部分家庭月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”所对应的扇形的圆心角的度数是 ； （4）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？ 【答案】（1）抽样调查，50 （2）12，0.08； 补全频数分布直方图如下： （3） （4）640户 【解析】 【分析】本题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图综合应用，根据已知得出样本数据总数是解题关键． （1）根据“普查”或“抽样调查”的定义即可得到结论； （2）中频数为6，频率为0.12，则调查总户数为，进而得出在范围内的频数以及在范围内的频率； （3）根据“”所占的百分数即可得到结论； （4）根据样本数据中超过的家庭数，即可得出1000户家庭超过10t的家庭数． 【小问1详解】 解：这里采用的调查方式是抽样调查， ∵被调查的总户数为（户）， ∴样本容量是50； 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 解：，； 故答案为：12，0.08； 图略 【小问3详解】 解：月均用水量“”所对应的扇形的圆心角的度数是； 【小问4详解】 解：该小区月均用水量超过的家庭大约有（户）． 19. 4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【答案】（1）48 （2） （3）8千克或13千克 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用， （2）分和用待定系数法可求得； （3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可． 【小问1详解】 解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元， ∴甲采摘园的门票费用是48元． 故答案为：48； 【小问2详解】 当时： 设， 把代入，得， 解得， ∴． 当时： 设，把和代入，得 解得 ∴ 综上， 【小问3详解】 ∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得 甲采摘园的费用函数为． 分情况讨论： 当时，令， 解得， 当时，令， 解得， ∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克． 20. 【感知】如图①，在中，点D、E在边上，连接，若，则 度； 【探究】如图②，在中，点D、E分别在边上，连接，若 ，求的度数； 【应用】如图③，在中，点E在边上，点D、F在边上，连接、，且，，， 则= ． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理； ①根据题意证出，再结合全等三角形的性质得到，即可求出； ②根据题意证出，再结合全等三角形的性质得到，即可求出； ③根据题意证出，再结合相似三角形的性质得到，再证出，得到，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：①∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ 故答案为：； ②∵ ∵ ∵ 在和中， ∴ ∴ ∵ ； ③∵ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， 故答案为：． 21. 如图， 是等边三角形，，点P 从点A 出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点 C运动，过点 P 作，交折线于点Q．以点Q为直角顶点，在上方作直角三角形，使 ，设与重叠部分图形的面积为 y（平方单位），点P 的运动时间为x（秒）． （1）当点 M落在边上时，直接写出x的值； （2）当点Q在边 上时，求证：四边形 是平行四边形； （3）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形. （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，再证明四边形 是平行四边形，得，然后 根据，，得，则，即，求解即可； （2）证明，，即可由平行四边形的定义得出结论； （3）分三种情况：①当，即点M在左侧或上，且点Q在边 上时；②当，即点M在右侧，且点Q在边 上时；③当，即点M在右侧，且点Q在边 上时；分别求解即可. 【小问1详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形. ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：. ∴x的值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当，即点M在左侧或上，且点Q在边 上时， 由（2）四边形 是平行四边形 ∴ 在中，， ∴， ②当，即点M在右侧，且点Q在边 上时，如图， ∵四边形是平行四边形. ∴ 在中，， ∵四边形是平行四边形. ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； ③当，且点Q在边 上时，如图， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴是的中线， ∴ 综上，y与x之间的函数关系式为. 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求动点问题的函数解析式；解直角三角形，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键，注意分类讨论. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； （3）将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； （4）以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）依题意，把代入解析式，得，再根据对称轴是直线 ，得，即可作答． （2）结合，得，再根据是的中线，结合中点的公式得出，解得；即可作答． （3）先求出顶点坐标以及关于对称轴对称的点为，再进行分类讨论，当经过点得，当经过点，得或，即可作答． （4）根据题意，分别逐个情况作图，运用数形结合思想以及分类讨论，进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵点P 在该抛物线上，横坐标为m， ∴， ∵的面积被x轴平分， ∴是的中线， ∵点A的坐标为． ∴， 整理得， ， ∴， 故； 【小问3详解】 解：∵设点 A 的坐标为，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B， ∴直线的解析式为， ∵将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，且图象G与直线只有一个公共点， 当经过点，得， 解得， 当经过点，得， 整理得， 解得或， 当时，图象G与直线只有一个公共点，如图所示： 当时，图象G与直线只有一个公共点，如图所示： 综上：故图象G与直线只有一个公共点时，或； 【小问4详解】 解：令， 得， 抛物线与轴交点坐标为和， ∵以为对角线作矩形，轴， ∴当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，则整理得， 解得或， 当时，如图所示，抛物线与矩形无交点，不符合题意； 当时，如图所示：此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示：抛物线与矩形无交点，不符合要求 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而增大，不符合题意； 综上：抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时， m的取值范围为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，中线平分三角形的面积，二次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15 分） 7. 科技融入生活，绿色引领未来．今年2月我国新能源汽车的销售量约为辆，数据用科学记数法表示为_______． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 9. 如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为________度． 10. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为_________. 11. 如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留π）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 ． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 14. 某班级师生为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．求购买1件甲种奖品需要的钱数． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 16. 某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 17. 如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 18. 某学校组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动，七年级某班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 （1）这里采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2）填空： ， ，并把频数分布直方图补充完整； （3）若将抽取的部分家庭月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“”所对应的扇形的圆心角的度数是 ； （4）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？ 19. 4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 20. 【感知】如图①，在中，点D、E在边上，连接，若，则 度； 【探究】如图②，在中，点D、E分别在边上，连接，若 ，求的度数； 【应用】如图③，在中，点E在边上，点D、F在边上，连接、，且，，， 则= ． 21. 如图， 是等边三角形，，点P 从点A 出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点 C运动，过点 P 作，交折线于点Q．以点Q为直角顶点，在上方作直角三角形，使 ，设与重叠部分图形的面积为 y（平方单位），点P 的运动时间为x（秒）． （1）当点 M落在边上时，直接写出x的值； （2）当点Q在边 上时，求证：四边形 是平行四边形； （3）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； （3）将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； （4）以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $