精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

丰城九中2024-2025学年高一年级下学期期中考试数学试卷 命题人 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数集的并集运算求参数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理进行判断即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上为增函数 ，又因为函数在上为增函数， 故函数在上为增函数. 因为，则. 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B 5. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为. 故选：B. 6. 在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理计算求值即可. 【详解】 如图，因为，所以点为线段的中点，则有, 因为是的中点，所以， 所以. 所以，. 故选：B. 7. 已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 的一个周期为8 D. 是的一个对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（     ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为△的外心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由，，三点共线，有，其中，即可求得的值；对B，由向量夹角的坐标表示即可判断；对C，根据投影向量的概念结合条件即得结果；对D，根据三角形外心的概念得解. 【详解】对于A，由，，三点共线，为点，，所在直线外一点， 有，其中，即，所以，故A正确； 对于B，，因为与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于C，，， 所以在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于D，因为点为的外心，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：假设，结合题意推出矛盾；对于BC：结合选项A可知：或（且），假设，结合题意推出矛盾，可得，即可得；对于D：可求，结合单调性分析求解. 【详解】对于选项A：若，则， 可得，两者相矛盾，故A错误； 对于选项B：因为为正整数，且单调递增， 结合选项A可知：或（且）． 若（且）， 令，则； 再令，则，可得． 因为，则，即， 这与矛盾．即（且）不成立． 所以，可得，即，故B正确； 对于选项C：令，，即．故C错误； 对于选项D：令，，即． 又为正整数．且单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于本题的推理，采取正难则反的思想，关键在于利用反证法，先假设再推出矛盾. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 如果，那么___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 定义在R上的函数，恒有，当时，，则方程的解为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案． 【详解】由，可得， 又当时，， 所以， 由上的图象，可作出的图象，如图． 当时， 当时，，又 由，可得. 故答案为：或 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以. 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线和垂直的坐标公式计算即可. （2）求出向量与的坐标，根据向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 由，可得，得，故， 由，可得，得，故. 【小问2详解】 由（1），，， 设向量与的夹角为， 则. 所以向量与的夹角的余弦值为. 15. 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 【答案】（1）， （2）最大值是2， 的最小值是， 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时的值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的图象对称轴方程为． 【小问2详解】 由（1）知，在上，， 故当，即时，取得最大值为2， 当，即时，取得最小值为， 故的最大值是2，此时的最小值是，此时． 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解 （2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 17. 某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． （1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； 【小问2详解】 甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： . 18. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设． （1）求函数在上的值域； （2）若对任意的恒成立，求的最大值； （3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据周期确定的值，再求函数在上的值域. （2）先明确函数的解析式，再根据，分离参数得：，再转化为求函数的最小值即可. （3）把问题转化成两个函数值域的包含关系，求参数的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，函数的周期为. 由.所以. 当时，，所以，所以， 即所求函数的值域为：. 【小问2详解】 由题意：. 所以. 因为当时，，所以. 由. 因为（当时取“”）. 所以. 所以的最大值为：. 【小问3详解】 当时，的值域为. 设函数的值域为，由题意：. 设，则，则函数，，对称轴为. 所以，，. 由或. 当时，，所以函数在上单调递减，所以， 由； 当时，，所以函数在上单调递增，所以， 由. 综上的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年高一年级下学期期中考试数学试卷 命题人 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 的一个周期为8 D. 是的一个对称中心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（     ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为△的外心，则 10. 现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 如果，那么___________ 12. 定义在R上的函数，恒有，当时，，则方程的解为_________ 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角的余弦值. 15. 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 17. 某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． （1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 18. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设． （1）求函数在上的值域； （2）若对任意的恒成立，求的最大值； （3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $