安徽省部分重点中学2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

安徽省部分重点中学高一下学期期中联考 数 学 试 卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．1 D． 2．已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（     ） A．7 B． C．9 D．10 4．设O为等腰内切圆的圆心，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（     ） A． B． C． D．2 6．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 8．棱长为的正四面体，下列说法错误的是（    ） A．正四面体的体积是 B. 正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 10．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（    ） A．正八面体的外接球体积为 B．正八面体的内切球表面积为 C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，求的最大值_________. 13．已知函数满足：．若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时， ． 14．在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. (1)当时，求的值； (2)当时，与交于点，求的值. 16．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 17．（15分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小． (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 18．（17分）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 19．（17分）为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有. （1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积； （2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； （3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？ [参考公式：三元均值不等式及变形，当且仅当时取得等号] 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C A B D D BD BCD 题号 11 答案 BCD 12． 【分析】利用辅助角公式化简函数式，三角函数的图象与性质先计算得，再计算何时取最小值即可得结果. 【详解】易知， 若，由辅助角公式得， 其中， 因为，则， 则，所以， 若，则， 其中，同上，与前提矛盾，舍去， 故， 易知以为对称中心， 根据题意函数在区间上单调，且，则 则当取得最小值时，. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：现根据确定的值，得出解析式，利用三角函数的单调性、对称性计算即可. 13． 【分析】先求底面的外接圆半径，确定三棱锥外接球球心的位置，列方程求出三棱锥外接球半径，进而可求其表面积. 【详解】如图： 设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为. 在中，，所以. 记三棱锥外接球的球心为， 由. 故三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为： 14． 【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径. 【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接和交于点， 因为，，所以，， 又和交于点，平面，所以平面ABCD， 所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等， 距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H， 所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为4， 所以，，， 所以，， 因为，，所以， 即，所以正八面体内切球的表面积为：． 故答案为： 15．（1）由已知当时，，所以，， 所以，因为，所以，. （2）所以. 16．（1）， ，； （2）为的中点，，又， ，①由余弦定理得，，②联立①②，解得， ， 17．（1）∵，∴，即， ∵，∴，∴，故. （2）由（1）得，，∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. （3）由得，则，.∵为锐角三角形，∴，故，∴，故， ∴，即的取值范围是. 18．（，又中，，所以， 所以，于是，又，所以， 又，所以.（2）由得.即，解得， 所以. 19．（1）类似地，构造一个长方体，设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为，则有：，解得： 所以 即此四面体的体积为2. （2）证明：在四面体中，因为，，， 所以四面体的四个面都是全等的三角形，只需证明一个面为锐角三角形即可. 设长方体的长、宽、高分别为abc，则，，， 所以，即，所以B为锐角；同理可证：A为锐角，C为锐角，所以△ABC为锐角三角形.所以这个四面体的四个面都是锐角三角形. （3）不妨设AD= BC= m，AB=BD=CD=AC=2，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥BC，DE⊥BC，而AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED，则三棱锥的体积，在△AED中,， AD=m， 所以，所以，当且仅当，即时等号成立.即时,三棱锥体积有最大值为 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$