精品解析：江西省南昌市新建区南昌新民外语学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

新民学校2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 2 已知平面向量，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 0 D. 3 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 4. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 6. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组向量中，可以作基底是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法中正确的是（ ） A 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D. 若向量，且，则 11. 下列结论错误的是（ ） A. 集合的真子集有7个 B. 设是两个集合，则 C. 与角的终边相同的角有无数个 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则的坐标是______. 13. 函数，若为奇函数，则等于________． 14. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________. 四、解答题（15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分，共77分） 15. 化简： （1）； （2）. 16. 已知向量, . （1）求； （2）当时，求y的值. 17. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 18. 已知. （1）求函数的最小正周期： （2）求函数在上的单调区间. 19. 设，是不共线的非零向量，且，． （1）证明：可以作为一个基底； （2）若向量，试用基底表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新民学校2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量的定义可知. 【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误； 故选：B 2. 已知平面向量，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A 3. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A 4. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 5. 已知向量，，且，则实数值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得. 故选：A 6. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 7. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的左加右减的规则即可得到. 【详解】因为目标函数，所以将函数的图象向左平移个单位即可. 故选：C 8. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是； 对于B，由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是； 对于C，由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是； 对于D，由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是. 故选：AC 10. 下列说法中正确的是（ ） A 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D. 若向量，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共线向量的性质判断即可. 【详解】对于A，或 时，比例式无意义，故A错误； 对于B，若，， 与共线，则一定有，故B正确； 对于C，若、、三点共线，则，，在一条直线上，则，，都是共线向量，故C正确； 对于D，若向量，且，则，即，故D正确. 故选：. 11. 下列结论错误的是（ ） A. 集合的真子集有7个 B. 设两个集合，则 C. 与角的终边相同的角有无数个 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据真子集的定义判断A；根据集合间的基本关系判断B；根据终边相同角的集合判断C；满足得，判断D. 【详解】对于A，集合的真子集有（个），所以A选项正确； 对于B，对于集合，若，所以B选项错误； 对于C，与角的终边相同的角用集合可以表示为， 这样的角有无数个，所以C选项正确； 对于D，若，则，所以不一定等于，故D选项错误． 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标的减法计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 函数，若为奇函数，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】若为奇函数，则.所以本题只需令，求解即可. 【详解】若为奇函数，则， 即，又， 所以． 故答案为：. 14. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________. 【答案】且. 【解析】 【分析】利用向量夹角为锐角的条件：两向量的点积大于0且不共线求解. 【详解】, 由点积大于0，得不等式： . 排除共线情况： 若与共线，则存在实数，使得且，解得，此时. 因此，排除（此时夹角为0°，非锐角）, 综上，的取值范围为且， 故答案为：且. 四、解答题（15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分，共77分） 15. 化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量的线性运算法则， 可得. 【小问2详解】 解：由向量的运算法则，可得. 16. 已知向量, . （1）求； （2）当时，求y的值. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）若，则向量模长坐标公式为；（2）利用两向量垂直满足的条件列出方程，求解y的值 【小问1详解】 【小问2详解】 若，则，解得： 17. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由向量，可得， 所以. 【小问2详解】 由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期： （2）求函数在上的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【小问1详解】 最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， 【小问2详解】 令则 由, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 19. 设，是不共线的非零向量，且，． （1）证明：可以作为一个基底； （2）若向量，试用基底表示． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）假设，共线，则存在实数，使得，推出，共线，与，是不共线的非零向量矛盾，即可得证． （2）设，得，解得，，即可得出答案． 【小问1详解】 假设，共线，所以存在实数，使得， 即，整理得， 则，共线，这与，是不共线的非零向量矛盾， 所以假设不成立，即与不共线，所以可以作为一个基底； 【小问2详解】 设 ， 因为，是不共线的非零向量， 所以，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$